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专题三 图表信息问题
考情透析：
图表信息题是中考常考的一种新题型，它是通过图象、图形及表格等形式给出信息，通过认真阅读、观察、分析、加工、处理等手段解决的一类实际问题．主要考查同学们的读图、识图、用图能力，以及分析问题、解决问题的能力．图表信息问题往往和“方程(组)、不等式(组)、函数、统计与概率”等知识结合考查.
题型特征：信息类试题是指通过图(如图片、图象、图形等)、表(表格、统计表等)以及实物等形式呈现信息,要求答题者通过观察、比较、分析、筛选,从中获取有用的信息,进而建立数学模型,使所给问题得到解决的一类题型.
策略分析：信息型问题解题的基本思路:.
解题基本思路： “细读图表→分析→理清关系→解决问题”。 首先要注意细心地观察、搜集、整理和加工题目中所透露出来的信息,包括题目中的细微之处,努力回想相应的知识点,并进行梳理,作出合理的推断和决策；然后在捕捉有用信息的基础上,将其转化为数学模型,并进行解释与应用。
具体做法：
1.细读图表：
(1)通过整体阅读，搜索有价值的信息；
(2)重视数据变化；
(3)注意图表细节．这些细节往往起提示作用.
2.理清关系：对已获取的信息加工、整合，理清各变量之间的关系.
3.选择适当的数学工具，通过建立数学模型，解决问题.
主要基本类型:
(1)图文信息型；(2)图形信息型；(3)表格信息型；（4）统计图表信息型；（5）函数图、表信息型。
类型一 图文信息型
这类试题往往以图文形式提供一定的数学情景，让学生通过对图画中的情景(或对话等)的分析和理解，抽象出数学本质，建立合理的数学模型解决问题．
典例1 小张把两个大小不同的苹果放到天平上称,当天平保持平衡时的砝码重量如图所示.问:这两个苹果的重量分别为多少g?
【全解】 设大苹果的重量为xg,小苹果的重量为yg,
由题意,得故大苹果的重量为200g,小苹果的重量为150g.
【技法梳理】 本题通过图片提供已知信息.考查了二元一次方程组的应用.解答时根据图片,找出等量关系,列方程组求解.
举一反三
1. 若某种计算器进行计算,则按键的结果为( ). A. 21 B. 15 C. 84 D. 67
2.天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,推出了如下收费标准(如图所示):
(第2题)
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游?
【小结】 通过图片辅以文字的形式呈现信息,与传统的文字信息题不同的是,它的形式更新颖、直观.抽去“形式”,这类试题实质上仍是通过文字传递信息的.这类题一般与从图片中可以获得数量关系和等量关系,然后列方程或不等式解答.
类型二 图形信息型
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 如图,∵三角形的斜边长为a,
【技法梳理】 根据图形中提供的形状和数据分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积,然后计算比值即可.本题考查了正多边形和圆,正六边形的边长等于半径,面积可以分成六个等边三角形的面积来计算.
举一反三
3.水仙花是漳州市花,如图,在长为14m,宽为10m的长方形展厅,划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花,则每个小长方形的周长为 m.
(第3题)
4.某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( ).
(第4题)
A. 甲种方案所用铁丝最长B. 乙种方案所用铁丝最长
C. 丙种方案所用铁丝最长D. 三种方案所用铁丝一样长
【小结】 图形信息题往往是题目给出图形或通过某些图形变化来揭示有关信息,解答时,必须认真观察图形的特征、构成的基础上,找出构成图形各元素之间的位置关系、数量关系或图形变化前后的不变量,就能解决问题.先求得两个三角形的面积,再求出正六边形的面积,求比值即可.
类型三 表格信息型
以表格的形式给出数据信息是这类信息题的特征，分析表中的数据，能从表格中发现两个量之间存在规律，归纳出相应的关系式是解决此类问题的关键
典例3 某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表:
医疗费用范围
报销比例标准
不超过8000元
不予报销
超过8000元且不超过30000元的部分
50%
超过30000元且不超过50000元的部分
60%
超过50000元的部分
70%
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元.
(1)直接写出x≤50000时,y关于x的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;
(2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元,问他住院医疗费用是多少元?
【全解】 (1)由题意得:
①当x≤8000时,y=0;
②当8000<x≤30000时,y=(x-8000)50%=0.5x-4000.
③当30000<x≤50000时,y=(30000-8000)50%+(x-30000)60%=0.6x-7000.
(2)当花费30000元时,报销钱数为y=0.530000-4000=11000,
∵20000>11000,∴他的住院医疗费用超过30000元.
把y=20000代入y=0.6x-7000中得20000=0.6x-7000,解得x=45000.
故他住院医疗费用是45000元.
【技法梳理】 (1)首先把握x,y的意义,报销金额y分3段①当x≤8000时,②当8000<x≤30000时,③当30000<x≤50000时分别表示;
(2)利用代入法,把y=20000代入第三个函数表达式即可得到x的值.
举一反三
5. 桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子,杯深均为15公分,各装有10公分高的水,且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积.今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯,过程中水没溢出,使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子厚度,则甲杯内水的高度变为多少公分?( ).
底面积/平方公分
甲杯
60
乙杯
80
丙杯
100
A. 5.4 B. 5.7 C. 7.2 D. 7.5
6.某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A,B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
月污水处理能力(吨/月)
200
160
经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于1380吨.
(1)该企业有几种购买方案?
(2)哪种方案更省钱,说明理由.
【小结】 表格传递信息具有文字少、容量大、易归类的特点,所以有几类信息,且同类信息比较多时常用表格表述信息.此类题常用于考查方程、不等式、函数等知识.
类型四 统计图表信息型
此类题是通过常见的统计图表(频数分布表、频率分布直方图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图等)给出数据信息和变化规律的常考题型．考查读图、识图能力和分析数据、处理数据的能力，同时考查学生“用数据说话”的应用意识．
典例4 据XX市2016年国民经济和社会发展统计公报显示，2016年XX市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
(1)求经济适用房的套数，并补全频数分布直方图；
(2)假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符号购买条件，老王是其中之一．由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2011年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？
(3)如果2017年新开工廉租房建设的套数比2016年增长10%，那么2017年新开工廉租房有多少套？
分析 (1)根据扇形统计图中公租房所占比例以及条形图中公租房数量即可得出XX市新开工的住房总数，从而得出经济适用房的套数．
(3)根据2016年廉租房共有6 250×8%＝500套，得出500(1＋10%)＝550套，即可得出答案．
解：(1)∵1 500÷24%＝6 250， 6 250×7.6%＝475，∴经济适用房的套数有475套．
补全频数分布直方图如上右图：
(3)2016年廉租房共有6 250×8%＝500套，500(1＋10%)＝550套，∴2017年新开工廉租房550套．
类型五 函数图、表信息型
此类题目主要是运用函数图象(一次函数、二次函数、反比例函数的图象等)表示物体的变化规律(体现在两个变量之间的数量关系)，考查数形结合的思想和函数建模能力．解答时往往根据图象的形状、位置、变化趋势等信息来判断、分析、解决问题．
典例5 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
分析 (1)用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5小时．
(2)求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后，求得交点坐标即可求得被妈妈追上的时间．
(3)设从家到乙地的路程为m km，则点E(x1，m)，点C(x2，m)分别代入两直线方程，依妈妈比小明早10分钟到达乙地列式求解．
解 (1)由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5＝20(km/ h)．在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．
(2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)如图，设直线BC解析式为y＝20x＋b1，
(3)设从家到乙地的路程为m km
课后精练：
类型一
1.如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.
(第1题)
根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何?( ).
A. 向北直走700公尺,再向西直走100公尺 B. 向北直走100公尺,再向东直走700公尺
C. 向北直走300公尺,再向西直走400公尺 D. 向北直走400公尺,再向东直走300公尺
2.按照如图所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为 .
(第2题) (第3题)
3.如图,矩形ABCD的面积为 .(用含x的代数式表示)
类型二
4.如图,在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为( ). A. a2+4 B. 2a2+4a C. 3a2-4a-4 D. 4a2-a-2
(第4题) (第5题)
5.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.(≈1.4)
6.一个大正方形和四个全等的小正方形按图(1),(2)两种方式摆放,则图(2)的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 (用a,b的代数式表示).
(1) (2)(第6题)
类型三
7.小明在某商店购买商品A,B共三次,只有一次购买时,商品同时打折,其余两次均按标价购买,三次购买商品A,B的数量和费用如下表:
(1)小明以折扣价购买商品是第 次购物. (2)求商品A,B的标价.
(3)若品A,B的折扣相同,问商店是打几折出售这两种商品的?
8.为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买A,B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同,每台设备价格及月处理污水量如下表所示:
污水处理设备
A型
B型
价格(万元/台)
m
m-3
月处理污水量(吨/台)
220
180
(1)求m的值;
(2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元,问有多少种购买方案?并求出每月最多处理污水量的吨数.
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