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专题五 图形操作与方案设计
考情透析：
近年来，中考数学试题加强了对动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发展结论，从而解决问题．
操作题是指通过动手测量、作图(象)、取值、计算等，对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括等来解决的一类问题．考查学生的动手能力、实践能力，分析和解决问题的能力．方案设计题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案．有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优.
题型分析：
1．利用图形的变换作图
(1)利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定 距离；
(2)利用旋转：把一个图形绕一个定点旋转一定 角度；
(3)利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形；
(4)利用位似：把一个图形按照一定的比例放大或缩小．
温馨提示：利用图形的变换作图是近几年中考的热点和重点，关键是掌握各种变换的特征.
2．设计测量方案
对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学数学知识，设计测量方案，得出测量结果．
温馨提示：设计与生活密切相关的测量方案，是中考的热点，注意平时对实际操作能力的培养.解决测量问题常构造直角三角形，利用锐角三角函数等知识解决.
3．动手操作题
动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等类型．
类型一：图形折叠型动手操作题
图形折叠型动手操作题就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．
类型二：图形拼接型动手操作题
图形拼接问题就是将已知的若干个图形重新拼接成符合条件的新图形．
类型三：图形分割型动手操作题
图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，然后再把它们拼接成一个符合条件的图形．
类型四：作图型动手操作题
作图型动手操作题就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出已知图形的变换图形．
思路分析：
(1)解决操作题的基本思路是“作图→分析问题→解决问题”，具体做法：
①作图：作出符合题意的图形(象)，如折叠、拼接、分割、平移、旋转等；
②分析问题：找出(证)作图前后哪些几何量变化、哪些没变；
③解决所提出的问题.
(2)解决方案设计题的基本思路是“阅读信息→进行方案设计→寻求最优方案”.
一、折叠剪拼类操作
图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．解决折叠问题(实质就是轴对称问题)，可利用轴对称变换的性质解题．
【例1】定义：长宽比为：1(n为正整数)的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.则四边形BCEF为矩形．
阅读以下内容，回答下列问题：
(1)在图①中，所有与CH相等的线段是______，tan∠HBC的值是______；
(2)已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；
(3)将图②中的矩形BCMN沿用(2)中的操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是____．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝，由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A＝∠BFE，∴EF∥AD，∴＝，即＝，∴BF＝，∴BC：BF＝1：＝：1，∴四边形BCEF为矩形．
分析：(1)由折叠即可得到DG＝GH＝CH，根据DG＋BG＝BD，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；
(2)只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；
(3)同(2)中的证明可得：将矩形沿用(2)中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此规律即可求出．
【例2】如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以
【点拨】对剪开后的纸片进行旋转和平移操作，可得上右的图形：
∴甲、乙都可以拼成和原来面积相等的正方形．故选A.
二、图形变换类操作
此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这类题的关键．
【例题3】如图，将△ABC在带有平面直角坐标系的网格中依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3(网格中每个小正方形的边长均为1)．
(1)△ABC与△A1B1C1的相似比等于____；
(2)在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称；
(3)请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得 到的？
(4)设点P(x，y)为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为_____．
【点拨】(1)由AB＝2，A1B1＝4可知相似比为；(2)可先求出三个顶点关于y轴对称点的坐标，然后顺次连接；(3)由图形看出点A2的坐标为(0,2)，A3的坐标为(－2,4)，可得应先向左平移2个单位，再向上平移 2个单位；(4)点P(x，y)第一次位似变换后的坐标为(2x,2y)，第二次关于y轴对称后的坐标为(－2x,2y)，第三次平移后的坐标为(－2x－2,2y＋2)．
【例题4】 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1. (1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
(2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积．
分析：(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．
(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．
三、利用图形进行方案设计
此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一．主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等．
【例题5】 某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案： 方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.
分析 本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．
解 方案(1)
画法1：如图1：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法2：如图2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法3：如图3(1)在AD上取一点H，使DH＝CF；(2)在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形．
方案(2)画法：如图4：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，(2)在AB上取一点Q，连接PQ，
(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM、PN、MN则四边形QMNP就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)
四、利用方程、不等式、函数方案设计
此类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多，这些问题可以结合方程和不等式(组)来解决．一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．
【例6】南海地质勘探队在南沙群岛的一个小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．
(1)设运送这些矿石的总运费为y元，若使用甲货船x艘，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种方案运费最低并求出最低费用．
分析：(1)根据这些矿石的总费用为y＝甲货船运费＋乙货船运费，即可解答；
(2)根据A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，列出不等式组，确定x的取值范围，根据x为整数，确定x的取值，即可解答．
解：(1)y＝1000x＋1200(30－x)，即y＝－200x＋36000 (2)由题意得解得23≤x≤25，因为x为整数，所以x＝23，24，25.方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，运费y＝1000×23＋1200×7＝31400(元)；方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，运费y＝1000×24＋1200×6＝31200(元)；方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，运费y＝1000×25＋1200×5＝31000(元)；经分析得方案三运费最低，为31000元
【例题7】小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养)．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：
(1)小王有哪几种养殖方式？ (2)哪种养殖方案获得的利润最大？
(3)根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%(0＜a＜50)，B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？(利润＝收入－支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)
解 (1)设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．由题意，得(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≥700，
且(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≤720，
又∵x为整数，∴x＝39，40，41，42. 所以他有以下4种养殖方式：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；
③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱．
(2)法一 A种鱼的利润＝100×0.1－(2.3＋3)＝4.7(百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4－(4＋5.5)＝12.5(百元)．
四种养殖方式所获得的利润：①4.7×39＋12.5×41－120＝575.8(百元)；
②4.7×40＋12.5×40－120＝568(百元)；③4.7×41＋12.5×39－120＝560.2(百元)；
④4.7×42＋12.5×38－120＝552.4(百元)．所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
法二 设所获的利润为y百元，则y＝4.7x＋12.5(80－x)－120＝－7.8x＋880
∴当x＝39时，y有最大值为575.8. 所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
(3)价格变动后，A种鱼的利润＝[100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)](百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4×(1－20%)－(4＋5.5)＝8.1(百元)．
设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)＝8.1，解得a＝34.
由此可见，当a＝34时，利润相等；
当a＞34时第④种方式利润最大；当a＜34时，第①种方式利润最大．
当堂训练：
1．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用为_________元
3.综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4 cm，容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计)．
(1)请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
(2)请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC＝12 cm，AB＝DC＝6 cm，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠EAB＝∠EDC＝90°.
(1)试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明；
(2)图2中的五棱柱盒子可按如图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少 cm？请直接写出结果．(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗均忽略不计)
解：任务一：(1)如图：
(2)设矩形纸板的宽为x cm，则长为2x cm，由题意得4(x－2×4)(2x－2×4)＝616，解得x1＝15，x2＝－3(不合题意，舍去)，∴2x＝2×15＝30，则矩形纸板的长为30 cm，宽为15 cm
任务二：(1)AE＝DE，证明：延长EA，ED分别交直线BC于M，N，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠ABM＝∠DCN＝60°，又∵∠EAB＝∠EDC＝90°，∴∠M＝∠N＝90°－60°＝30°，∴EM＝EN，又∵AB＝DC，∴△MAB≌△NDC(AAS)，∴AM＝DN，∴EM－AM＝EN－DN，∴AE＝DE (2)长至少为(18＋4) cm，宽至少为(4＋8) cm
4．为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
解：（1）设大货车用m辆，小货车用n辆，根据题意得解得∴大货车用8辆，小货车用7辆
（2）解：n＝800m＋900(8－m)＋400(10－m)＋600[7－(10－m)]，即n＝100m＋9400(3≤m≤8)
（3）解：由题意得12m＋8(10－m)≥100，解得m≥5，又∵3≤m≤8，∴5≤m≤8且为整数，∵n＝100m＋9400，k＝100＞0，n随m的增大而增大，∴当m＝5时，n最小，最小值为n＝100×5＋9400＝9900(元)，则使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村，3辆大货车、2辆小货车前往B村，最少运费为9900元
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