资源描述
4.3解二元一次方程组
教学内容分析：本节课是在学生已具备的知识基础——二元一次方程的解与二元一次方程组的解的概念，而如何求出二元一次方程组的解，是学生最关心的、最迫切想知道的。本课要解决的就是让学生掌握用代入法解二元一次方程组，体验数学的化
归思想。求二元一次方程的解是学生必须掌握的技能，也为下面利用二元一次方程组解应用题打下基础。
教学目标：
1、解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想。
2、了解代入法的概念，掌握代入法的基本步骤。
3、会用代入法求二元一次方程组的解。
教学重点、难点：重点是了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程，难点是对代入消元法解方程组过程的理解及例2中当方程组设有一个字每系数为1（或－1）时，如何用一个未知数代替另一个未知数。
教学准备：多媒体动画显示梨换成苹果与砝码的过程（也可用投影片抽拉，或实物演示）
教学过程：
用我国一个古代问题作为情景引入，既激发学生的求知欲，也体现了人文精神。
用多媒体（或投影片抽拉），能让学生直观地看出“消元”的过程能让学生深刻地体验到转化的过程，展示了“直观教学”的优势。
一、创设情景，引出课题
1、看课文的节前语，提出一个中国古代的问题，今有鸡兔同笼、上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？
根据学生列出的方程组 问：如何求它的解？
2、引出课题：4.3 解二元一次方程组
二、直观显示，体验转化
1、用多媒体（或投影片抽拉或实物演示）显示用（y）代替苹果和砝码（x＋10）把方程组中的二元转化为一元的过程。
2、合作学习，求出x、y的值。
3、让学生谈谈如何求二元一次方程组的解。
4、归纳：①解二元一次方程组的基本思路是“消元”即二元→一元，②用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
三、学习新知，形成体系
用动画（或投影片抽拉）显示方程②中的（y－1）代替方程①中的x的过程：进一步让学生体会“消元”是如何进行的。
要求学生口头检验其方程组的解，能培养学生良好的学习习惯与思维品质。
这一组练习是刚刚学习的代入法的应用，讲解时可指出2x＋y＝2中如何用一个未知数表示另一个未知数。
用x表示y，还是用y表示x，应让学生思考、体会，然后选择。
把和用彩笔代替，抓住了本节课的重点与难点，从例1到例2是一个从易到难的过程，体现了循序渐进的教学原则。
2y－3x=1 ①
1、典例讲解：例1，解方程组
x＝y－1 ②
先让学生议论：如何用代入法解方程组？
这里的合作学习，让学生充分观察、讨论，然后自觉地归纳出步骤，比教师一步一步地解析给学生听，要好得多，能让学生完成知识的自我建构。
这里的练习，教师要及时发现学生的错误，选取一些典型性的错误，及时提出。
自主归纳，能有效地让学生把新知纳入自己的知识结构，当然，教师的强调、补充、修正是必不可少的。
师归纳：关键是把“二元”→“一元”，用y－1代替x代入①式中的x（可以动画显示y－1代替x的过程）
解：把②代入①，得
2y－3(y－1)＝1
2y－3y＋3＝1
（求得y后，让学生讨论：如何求x，代入②还是代入①简便?）
把y＝2代入②，得x＝2－1＝1
∴方程组的解是
注意：把2y-3(y-1)＝1中的（y－1），x＝2－1＝1中的2用彩色粉笔处理。
问：且不是原方程的解，应如何检验？
生：把解代入方程组。
师：解方程组与解方程一样，要养成口头检验的良好习惯。
2、做一做，P94做一做（1），（2）。
2y－7x=8 ①
3、典例讲解：例2，解方程组
3x－8y－10＝0 ②
问：方程组的两个方程中未知数系数都不是1（或－1）
如何实现用一个未知数表示另一个未知数。
生： （或）
师指出：一般选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示，这样代入后能使计算简便。
解：由①得2x＝8＋7y，即 ③
把③代入②得
∴
∴
（讨论：求x的值时，把代入方程①②③中都可，代入哪个方程比较简便？）
把代入③，得
∴方程组的解是
如果学生基础好，解题能力强，那么可选取一些题让学生“吃饱”如例1可用多种方法解题，如果学生错误较多，可用练习（1）进行防 练习2、3两题是针对作业题与第5题的设计的。
4、合作学习：观察刚才用代入法解方程组的过程，用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样？
归纳：用代入消解二元一次方程组的一般步骤是：（投影显示，师用彩色粉笔在例2的解题过程中标上序号）。
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数用能含有另一个未知数的代数式表示。
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。
（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。
（4）写出方程组的解。
5、做一做，P95，课内练习（1）～（4）。
投影显示学生解题过程。
根据学生练习中存在的问题指出：①用一个未知数表示另一个未知数要注意移项变号，②得一元一次方程后，要注意去分母、去括号、移项等出现的错误。
6、解决本节课开头提出的问题。
四、归纳小结，充实结构
问：这节课同学们有什么收获？
可以围绕以下几个问题讨论：
1、解二元一次方程组的基本思想是“消元”即消去一个未知数。
2、代入法的一般步骤。
3、养成口头检验的良好习惯。
4、在解题过程中，常会出现什么错误？
五、布置作业
教科书P95作业题、作业本，或根据学生的实际情况，从下列的各选题中选做。
备选例题
解方程组
2x－3y=7 ①
备选练习：1、用代入解方程组 时，消去x数，得到y的
3x+2y＝4 ②
一元一次方程。
正确的是（ ）
A、3（7＋3y）+2y=4 B、
C、 D、
2、解方程组：（1） （2）
3、已知二元一次方程组的两个解为和
求a、b的值
设计思想：
设计说明
本题既对上节课的复习，也是本节课的引例，起着承上启下的作用。
要及时鼓励学生的求异思维与造新思维，激发学生的学习热情。
要让学生理解加减法，不是件容易的事，通过实物或多媒体能给学生以直观的形象，把形象思维与抽象思维有机结合，避免了学生机械的模仿。
教学内容分析：通过上节课的学习，学生已体验到解二元一次方程组的基本思路是消元，可以通过代入法来达到消元的目的，但也发现当方程组的两个方程中没有字母的系数为1（或－1）时，用一个未知数的代数或表示另一个未知数代入另一个数，计算比较麻烦，这样本节课的加减消元法可使消元的手段变得简单，本节课要使学生掌握用加减法解二元一次方程组。这样学生解二元一次方程组的技能已形成，为下面解应用题，为后来的解二元一次方程组打下基础。
教学目标：1、体会加减消元法形成的思路。
2、了解加减消元法解二元一次方程组一般步骤。
3、掌握用加减法解二元一次方程组。
4、初步形成用便捷的消元法（即加减法和代入法）来解题。
教学重点、难点：重点是了解加减法的一般步骤，会用加减法解二元一次方程。难点是如例4那样没有未知数的系数相同（或相反数），要通过将一个（或两个）方程乘以一个常数以达到未知数系数相同（或相反）。
教学准备：多媒体动画显示拿掉“正方形”和“圆柱体”天平仍平衡的过程（或投影片抽拉或实物演示）。
教学过程：
一、复习旧知 练习引入
1、你是如何用代入法解二元一次方程组的？
2x+3y=100 ①
2、解方程组
4x+3y=130 ②
投影显示学生的解题过程，对把（100－2x）作为3y整体代入的同学要及时表扬与激励。
二、直观显示 体验转化
1、同多媒体（投影片抽拉或实物）显示天平的一边拿掉2个小立方体和3个小圆柱，右边拿掉100克的砝码，天平仍显示平衡。
2、合作学习：如何使方程组 达到消元的目的。
3、让学生发表对解本题的体会（①方法的不同；②比较两种解法哪个更便捷）。
4、归纳：通过将方程组中的两个方程相加式相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）。
三、学习新知 自主建构
加减法的具体实施，开始阶段让学生掌握这种打“抄稿”的形式，能减少学生计算的错误。
把代哪条方程，可以让学生多去尝试，然后体会代入系数绝对值较小的方程中比较便捷。
本例题的教学要注意与学生的互动，让学生去尝试、体验，能让学生完成知识的自我构建。
这种错误是学生最容易发生的，教学中一定要强调。
让学生合作讨论得出，能让学生“意会”就行。
2s+3t＝2 ①
1、典例选讲例3，解方程组
2s－6t＝－1 ②
先让学生观察讨论：如何使用加减法，然后学生发表意见，师在黑板上演算：
可以与上节课的加减法相比较，让学生形成辨别用何种方法便捷的能力。
对学生归纳得不完整的地方，老师均可修正、补充、强调。
例1先将（a＋b）与（a－b）看成一个整体，运用整体思想解题，先求a＋b、a－b的值，再求a、b的值。
例2主要让学生自主掌握练系数解题的步骤。
第1题是加强学生用加减法解二元一次方程组的技能。
第2题是运用待定系数法解题，第3题主要是针对课后作业的组题设计的。
解：①－②得9t＝3 ∴t＝
把t＝代入①，（代入②可以吗？），得
∴
∴方程组的解是
2、做一做，P97的做一做
3、归纳：将两方程相加还是相减看什么？（相同字母数相同用减法，相同字母系数相反用加法）。
3x－2y＝11 ①
4、典例选讲：例4，解方程组
2x＋3y＝16 ②
先让学生观察，然后问：本题与上面刚刚所做的二道题有什么区别？应用什么方法来解？（如果学生有回答用代入法来解，可以让学生先动手用代入法来解一解，再问：本题能否用加减法？如何使x或y的系数变为相等或相反？）
解：①×3，得，9x－6y＝33 ③
②×2，得，4x＋6y＝32 ④
③＋④，得，13x＝65
∴x＝5
把x＝5代入①，得3×5－2y＝11
解得y＝2
归纳：①方程变形时，要乘以相同字母的最小公倍数；②方程左边乘以某一个常数时，不能忘了右边的常数也要乘。
变式：本题如果消去x，那么如何将方程变形？
5、学生合作讨论：归纳解二元一次方程组的一般步骤。
（1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。
（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得一个一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，得到这个未知数的值。
（4）将求得的未知数值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值。
（5）写出方程组的解。
6、做一做：P98课内练习。
7、探究活动。（P98课本的探究活动）
探究后让学生发表解本题的心得，哪种解法简便，为什么？
四、归纳小节 充实提高
问：这节课大家有什么收获？
或以围绕以下几个问题开展讨论：
1、解二元一次方程组有两种消元途径——代入法、加减法。
2、加减法的一般步骤。
3、用加减法解题常会出现什么错误？
4、解二元一次方程组用加减法还是用代入法简便，应如何选择？
五、布置作业
教科书P99作业题，作业本，或根据学生的实际情况，从下列的备选题中选做。
备选例题：
例1、解二元一次方程组
例2、已知 是方程组 的解，求a、b的值。
备选练习：
1、解下列二元一次方程组：
（1） （2）
2、关于x、y的二元一次方程组 与 的解相同，求a、b的值。
3、一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数字与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数。
假设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，则原来的两位数可表示为
，十位数字与个位数字对调后的数为 ，则可列方程组： 。
设计思想：
1、本教案试图运用练习质疑，直观演示，尝试体验，合作学习等多种手段，让学生理解消元的另一种技能——加减法，并能用加减法解二元一次方程组。
2、本教案意在让学生真正成为学习的主体，观察、尝试练习，合作讨论、探究学习等都把时间还给学生，体现建构主义的教学观。
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