江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目》教案.doc

平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目【学习内容】一. 关于平行四边形性质及识别的典型题目： 例1. 如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD的和为28，CD5。 （1）求COD的周长。 （2）AOB、BOC、COD、DOA的面积相等吗？为什么？若平行四边形ABCD的面积是56，则AOB的面积等于多少？ （3）ACD与BCD的面积相等吗？为什么？图1 解：（1）由于在平行四边形ABCD中，AOOC，BOOD，且ACBD28 所以COOD14 又因为CD5 所以，COD的周长为19。 （2）AOB、BOC、COD、DOA的面积相等。其理由是： 平行四边形ABCD中，BOOD，且AOB与AOD中边OB、OD上的高相同，都是AE（过A作AEBD，点E是垂足）所以 亦即AOB的面积为14 例2. 如图2，在ABC中，BD平分ABC，DE/BC，EF/AC，说明线段BE与CF相等。图2 解：因DE/BC知23 又BD平分ABC，可知12 故13 得DEEB 而DE/BC，EF/AC知四边形DECF是平行四边形 有DECF 故可知EBCF 例3. 如图3，已知E、F分别为平行四边形ABCD的边CD、AB上的一点，AE/CF，BE、DF分别交CF、AE于H、G，试说明EGFH。图3 解：因为AE/CF，AF/CE 所以四边形AECF是平行四边形 所以AFCE 又因为ABCD 所以BFDE 所以四边形BFDE是平行四边形 所以EGFH 说明：EGFH，从位置上看只要说明四边形EGFH是平行四边形即可。由于EG/FH，而EGFH是要说明的结果，所以首选的方法是DF/BE，故要说明相等的线段是四边形的一组对边时，常常先说明这个四边形是平行四边形。 例4. 如图4，在平行四边形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，使BEDF，说明AC与EF互相平分。图4 解：可连接AF、CE 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB/CD，ABCD 又因为BEDF 所以ABBECDDF 即有AECF 所以四边形AECF是平行四边形，AC与EF互相平分。 说明：要说明两条线段互相平分，只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形即可。 例5. 如图5，在ABC中，ABAC，点D在BC上，DE/AC交AB于E，DF/AB交AC于F，说明DEDFAB。图5 解：在ABC中，DF/AB，故而FDCB 又ABAC知CB 有CFDC 有DFFC 有DEAF 故DEDFAFFCACAB 例6. 如图6，在ABC中，D、E分别是其AB、AC的中点，说明： 图6 解：（1）先延长DE至F，使得DEEF 故在四边形ADCF中，AEEC，DEEF 四边形AFCD是平行四边形 CF/AD，即CF/AB，CF/DB 而CFAD，ADDB 有CFDB 知四边形DBCF是平行四边形 有DF/BC，即DE/BC 说明：（1）此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下，尽可能构造出两组线段互相平分，得到平行四边形，用平行四边形的知识作桥梁，将条件转化，得到结论。 （2）此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质： 中位线：连接中点的连线段。 性质：中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。二. 关于特殊平行四边形的一些典型题目： 例7. 如图7，在矩形ABCD中，E在BC上，AEAD，DFAE于F，说明CEFE。图7 解：连结DE 因为四边形ABCD是矩形，所以 ADC90，CDEADE90 因为DFAE 所以EDFAED90 因为AEAD ADEAED 故CDEEDF（等角的余角相等） 因为DFAE，CDBC 所以CEFE（角平分线上的点到角两边距离相等） 注意：这里DFAE，CDBC，要说明ECEF，只要说明DE是CDF的平分线即可。 即要说明两条线段相等，只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点到角的两边的距离即可。 例8. 如图8，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE15，求BOE的度数。图8 解：因为四边形ABCD是矩形，所以BAD90，ABC90 因为AE平分BAD 所以BAE45AEB 所以ABBE 因为CAE15 所以OAB60 因为OAOB 故OBA60，OBAB 所以OBE30，OBBE 所以BEOBOE75 说明：由此题的过程知道：矩形的对角线将其分成四个面积相等的等腰三角形。 例9. 如图9，在菱形ABCD中，AEBC于点E，BECE，求菱形的各内角的度数。图9 解：连结AC 由题意BEEC，B、E、C在一直线且AEBC 故可知ABE与ACE关于轴AE成轴对称图形 可知ABAC 而四边形ABCD是菱形，可知ABBC 于是ABACBC ABC是等边三角形 B60 故D60，BADBCD120 例10. 如图10，在正方形ABCD中，E是BD上一点，EFBC，EGCD，垂足为F、G，试说明AE与GF的关系，为什么？图10 解：延长GE与AB交于H 由EGDC知EHAB 而BD是正方形ABCD的对角线，故EBF45 又EFBC知BEF45，故EFBF 在四边形HBFE中，EHHB，ABF90，EFBF，EFBF 知四边形HBFE是正方形 有HEEF，HBBF且HF与BE相互垂直平分 而在正方形ABCD中，AC与BD相互垂直平分 故可将A、C看作关于BD的一组对称点 H、F看作关于BD的一组对称点 故AHE与EFC关于轴BD对称 AEEC 在矩形EFCG中，GF、EC为对角线ECGF AEGF 例11. 如图11，在梯形ABCD中，CD/AB，BADABC90，M、N分别为AB、CD的中点。图11 证明：过点N作NE/DA交AB于E，NF/CB交AB于点F 则NEMBAD，NFMABC 所以NEFNFE90，所以FNE90 又四边形ADNE、CNFB是平行四边形 所以AEDN，BFCN 又AMBM 所以MEMF 本课小结： 1. 在理解平行四边形性质及识别方法的基础上，着重落实用其性质及其识别方法进行逻辑推理。 2. 在理解特殊四边形及其识别方法的基础上，着重应用其特性进行推理，另外，在进行识别特殊四边形时，多用其基本识别方法。 3. 在推理的过程中，注意推理的逻辑性与连贯性。【模拟试题】 1. 已知：如图12，点D是AB的中点，点E是AC上的一点，EF/AB，DF/BE，猜想DF与AE之间关系并说明理由。图12 2. 如图13，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，作DE/AC，CE/BD，DE与CE交于点E，试说明四边形OCED是菱形。图13 3. 如图14在平行四边形ABCD中各个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，猜想EG和FH之间的关系。图14 4. 如图15，等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长。图15 5. 如图16，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN/BC，设MN交BCA的平分线于点E，交ABC的外角ACD平分线于点F。 （1）试说明线段OEOF。 （2）试猜想：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由。图16【试题答案】 1. 解：在四边形DFEB中，DF/BE，DB/EF 故四边形DBEF是平行四边形 有EFDB 又D是AB之中点，故ADDB 由此可知EFAD 而EF/AD 故四边形AFED是平行四边形 AE与DF互相平分 2. 解：在四边形OCED中，DE/OC，CE/OD 故四边形ODCE是平行四边形 而四边形ABCD是矩形 3. 解：在平行四边形ABCD中，AD/BC，故BADABC180 而BF平分ABC，AH平分BAD 故四边形EFHG是矩形，EG和FH是相等且互相平分的关系 4. 解：过点D作DF/AC交BC的延长线于F 而AD/CF 故四边形ACFD是平行四边形 ACDF 而在等腰梯形ABCD中，ACBD，ACBD，又DF/AC 故BDDF，DBDF DBF是等腰直角三角形 5. 解： （1）在 而MN/BC，故 OEOC 同理OFOC 故OEOF （2）只要O是AC中点时，四边形AECF是矩形 这是因为OEOF，OAOC，则四边形AECF是平行四边形 故四边形AECF是矩形