1、平行四边形【学习内容】一. 知识结构： 二. 具体知识点的梳理： 1. 平行四边形： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）性质： 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。 平行四边形的对角线互相平分。 （3）识别方法： 用定义识别。（从边看） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（从边看） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（从边看） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（从角看） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。（从对角线看） （4）平行四边形的知识运用包括三个方面： 直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。
2、 判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。 先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。 2. 矩形： （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）性质： 矩形的四个内角都是直角。 矩形的对角线相等且互相平分。 除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。 （3）矩形的识别方法： 有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 有三个角是直角的四边形。 3. 菱形： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）性质： 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积底高对角线乘积的一半。 它还拥有平行
3、四边形的一切性质。 （3）判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四边都相等的四边形是菱形。 4. 正方形： （1）定义： 有一个角是直角的菱形是正方形。 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）性质： 它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。 两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。 （3）判定方法： 一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。 一组邻边相等的矩形是正方形。 一个角是直角的菱形是正方形。 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 4. 梯形 （1）定义：只有一组对边平行
4、的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。 （2）等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。【典型例题】 例1. 如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC21cm，BEAC，垂足为E，且BE5cm，AD7cm，试求AD与BC之间的距离。 分析：此题看似无法求解，但注意观察告知AD之长，又求AD与BC之间距离，而ADAD与BC间的距离S平行四边形ABCD，因而我们可以想到用面积法求解。只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。 解： 例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，AEBD于E，CFBD于F，四边形AECF是平行
5、四边形吗？ 分析：这里AEBD，CFBD，可知AE/CF，但要说明四边形AECF是平行四边形，还需AECF。 解：四边形AECF是平行四边形，因为 AECF 刚才已证明AE/CF 故四边形AECF是平行四边形。 例3. 如图3，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明四边形MNPQ是平行四边形。 分析：此题中中点较多，而且还与角平分线有关，故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。 解：在平行四边形ABCD中，DB、AC是对角线，而M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点 同理OQON 即在四边形MNPQ中，其对角
6、线互相平分，因此四边形PQMN是平行四边形。 例4. 如图4，D、E、F分别在三角形ABC的边BC、AB、AC上，且DE/AF，DEAF，G在FD的延长线上，DGDF，试说明AG和ED互相平分。 分析：要说明两条线段互相平分，最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线，从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。 解： 故四边形DEAF是平行四边形 所以AE/DF，AEDF 又DGDF，故AEDG 而AE/DF，故AE/DG 所以四边形AEDG是平行四边形 故其对角线ED、AG互相平分。 例5. 如图5，在平行四边形ABCD中，AB2BC，M为AB的中点，说明CMDM。 分析：DMCM
7、，直接证明较有困难，但观察题目中有AB2BC，M是中点，可使我们想到过M作MN/AD，从而得到菱形，从菱形的对角线垂直入手。 解：过M作MN/AD交DC于N，连结AN 故四边形AMND是菱形，于是AN与DM是互相垂直的。 又由于NC/AM，NCAM 故四边形NCAM是平行四边形 于是MC/AN 例6. 已知：如图6，MN/PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D，猜想AC和BD之间的关系，为什么？ 分析：初从图形看，AC可能与BD相等，而题目中有很多的角平分线，故可以得到很多的垂直关系，故可以想象从证明四边形是矩形，从矩形入手。 解： 于是四边形ABCD是矩形，AC和BD
8、相等。 例7. 如图7，在ABC中，ACB90，BAC，ABC的平分线相交于点O，ODAC，OEBC，垂足分别为D、E，试说明四边形CDOE为正方形。 分析：先说明四边形是矩形，由于角平分线较多，且有距离，故可知用角平分线的性质即可求解。 解： 故四边形ODEC是矩形 于是ODOF，OFOE（角平分线上的点到角两边距离相等） ODOE 于是四边形ODEC是正方形 例8. 如图8，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，AD/BC，DECE，试说明CDBCAD。 分析：梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将AED绕点E旋转到BEF的位置，拼成DFC把问题转化于三角形中解决。 解： 故EFED，ADBF
9、故CDCF 而CFFBCBADBC 故CDADBC 本课小结： 1. 本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质，并且还将其识别方法罗列出来，请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择。 2. 在图形的性质和图形的识别中，要注意清楚逻辑关系，不要在进行识别时用了图形的性质。 3. 本课有的例题中引了辅助线，辅助线的作法有多种，只要能帮助解决问题，而且能迅速解决问题，都是最好的方法。【模拟试题】 1. 如图，平行四边形ABCD中，E在AC上，AE2EC，F在AB上，BF2AF，如果，则的面积是？ 2. 如图，在平行四边形ABCD中，G是CD上一点，BG交AD的延长线于点E，AFCG，。 （1）
10、试说明DFBG。 （2）求的度数。 3. 如图，平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分，试确定四边形ABEF是菱形。 4. 如图，将平行四边形ABCD沿AC折叠，点B落在处，交DC于点M，求证：折叠后重合的部分是等腰三角形。 5. 如图，矩形ABCD中，垂足为M，AN平分，交MC的延长线于点E，请问ACCE吗？为什么？【试题答案】 1. 解： 2. 解：（1）在平行四边形ABCD中，DC/AB，DCAB 又GCAF 故四边形DGBF是平行四边形 DFBG （2）又，故 3. 解：在平行四边形ABCD中，BF平分，有 而有 故ABAF 同理EBEF 又AF/BE知 AE平分，FB平分，故 得 故而在和中 4. 解：折叠前， 折叠中， 故而 即 有MAMC 5. 解：作于H，又 有 得 又AN平分，故 得 得 又 故 即 ACCE
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