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平行四边形
【学习内容】
一. 知识结构：
二. 具体知识点的梳理：
1. 平行四边形：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）性质：
<1>平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。
<2>平行四边形的对角线互相平分。
（3）识别方法：
<1>用定义识别。（从边看）
<2>两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（从边看）
<3>一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（从边看）
<4>两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（从角看）
<5>对角线互相平分的四边形是平行四边形。（从对角线看）
（4）平行四边形的知识运用包括三个方面：
<1>直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。
<2>判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。
<3>先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。
2. 矩形：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）性质：
<1>矩形的四个内角都是直角。
<2>矩形的对角线相等且互相平分。
<3>除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。
（3）矩形的识别方法：
<1>有一个角是直角的平行四边形；
<2>对角线相等的平行四边形；
<3>有三个角是直角的四边形。
3. 菱形：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）性质：
<1>菱形的四条边都相等。
<2>菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
<3>菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
<4>它还拥有平行四边形的一切性质。
（3）判定方法：
<1>有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
<2>对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
<3>四边都相等的四边形是菱形。
4. 正方形：
（1）定义：
<1>有一个角是直角的菱形是正方形。
<2>有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）性质：
<1>它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
<2>正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。
两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。
（3）判定方法：
<1>一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。
<2>一组邻边相等的矩形是正方形。
<3>一个角是直角的菱形是正方形。
<4>既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
4. 梯形
（1）定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。
（2）等腰梯形的性质：
<1>等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
<2>等腰梯形的两条对角线相等。
【典型例题】
例1. 如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，试求AD与BC之间的距离。
分析：此题看似无法求解，但注意观察告知AD之长，又求AD与BC之间距离，而AD×AD与BC间的距离＝S平行四边形ABCD，因而我们可以想到用面积法求解。只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。
解：
例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，四边形AECF是平行四边形吗？
分析：这里AE⊥BD，CF⊥BD，可知AE//CF，但要说明四边形AECF是平行四边形，还需AE＝CF。
解：四边形AECF是平行四边形，因为
AE＝CF
刚才已证明AE//CF
故四边形AECF是平行四边形。
例3. 如图3，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明四边形MNPQ是平行四边形。
分析：此题中中点较多，而且还与角平分线有关，故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。
解：在平行四边形ABCD中，DB、AC是对角线，而M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点
同理OQ＝ON
即在四边形MNPQ中，其对角线互相平分，因此四边形PQMN是平行四边形。
例4. 如图4，D、E、F分别在三角形ABC的边BC、AB、AC上，且DE//AF，DE＝AF，G在FD的延长线上，DG＝DF，试说明AG和ED互相平分。
分析：要说明两条线段互相平分，最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线，从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。
解：
故四边形DEAF是平行四边形
所以AE//DF，AE＝DF
又DG＝DF，故AE＝DG
而AE//DF，故AE//DG
所以四边形AEDG是平行四边形
故其对角线ED、AG互相平分。
例5. 如图5，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，M为AB的中点，说明CM⊥DM。
分析：DM⊥CM，直接证明较有困难，但观察题目中有AB＝2BC，M是中点，可使我们想到过M作MN//AD，从而得到菱形，从菱形的对角线垂直入手。
解：过M作MN//AD交DC于N，连结AN
故四边形AMND是菱形，于是AN与DM是互相垂直的。
又由于NC//AM，NC＝AM
故四边形NCAM是平行四边形
于是MC//AN
例6. 已知：如图6，MN//PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D，猜想AC和BD之间的关系，为什么？
分析：初从图形看，AC可能与BD相等，而题目中有很多的角平分线，故可以得到很多的垂直关系，故可以想象从证明四边形是矩形，从矩形入手。
解：
于是四边形ABCD是矩形，AC和BD相等。
例7. 如图7，在ΔABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D、E，试说明四边形CDOE为正方形。
分析：先说明四边形是矩形，由于角平分线较多，且有距离，故可知用角平分线的性质即可求解。
解：
故四边形ODEC是矩形
于是OD＝OF，OF＝OE（角平分线上的点到角两边距离相等）
OD＝OE
于是四边形ODEC是正方形
例8. 如图8，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，AD//BC，DE⊥CE，试说明CD＝BC＋AD。
分析：梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将ΔAED绕点E旋转到ΔBEF的位置，拼成ΔDFC把问题转化于三角形中解决。
解：
故EF＝ED，AD＝BF
故CD＝CF
而CF＝FB＋CB＝AD＋BC
故CD＝AD＋BC
本课小结：
1. 本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质，并且还将其识别方法罗列出来，请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择。
2. 在图形的性质和图形的识别中，要注意清楚逻辑关系，不要在进行识别时用了图形的性质。
3. 本课有的例题中引了辅助线，辅助线的作法有多种，只要能帮助解决问题，而且能迅速解决问题，都是最好的方法。
【模拟试题】
1. 如图，平行四边形ABCD中，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果，则的面积是？
2. 如图，在平行四边形ABCD中，G是CD上一点，BG交AD的延长线于点E，AF＝CG，。
（1）试说明DF＝BG。
（2）求的度数。
3. 如图，平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分，试确定四边形ABEF是菱形。
4. 如图，将平行四边形ABCD沿AC折叠，点B落在处，交DC于点M，求证：折叠后重合的部分是等腰三角形。
5. 如图，矩形ABCD中，，垂足为M，AN平分，交MC的延长线于点E，请问AC＝CE吗？为什么？
【试题答案】
1. 解：
2. 解：（1）在平行四边形ABCD中，DC//AB，DC＝AB
又GC＝AF
故四边形DGBF是平行四边形
DF＝BG
（2）又，故
3. 解：在平行四边形ABCD中，BF平分，有
而有
故AB＝AF
同理EB＝EF
又AF//BE知
AE平分，FB平分，故
得
故而在和中
4. 解：折叠前，
折叠中，
故而
即
有MA＝MC
5. 解：作于H，又
有
得
又AN平分，故
得
得
又
故
即
AC＝CE
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