江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平移、旋转和平行四边形》教案.doc

平移、旋转和平行四边形

二. 重点、难点：
1. 学习重点：
（1）平移、旋转的特征。
（2）平行四边形的识别与特征。
（3）几种特殊的平行四边形。
2. 学习难点：
（1）平行四边形的识别与特征。
（2）特殊平行四边形的性质。

三. 学习内容：
（一）平移与旋转
1. 平移：
图形的平行移动，称为平移。在平移中，要注意基本元素的平移。在平移过后，能找到原来元素的对应元素。
例1.

按课本上第3页的方法，作△ABC的平移图形，找到其中的对应元素。
解：先作AB的对应线段A'B'，然后作BC的对应线段B'C'，连接A'C'
△A'B'C'即为△ABC平移后的图形
A'B'，B'C'，C'A'分别为AB、BC、CA的对应线段
而∠A'，∠B'，∠C'分别为∠A，∠B，∠C的对应角
2. 平移的特征：
经过观察，发现平移后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在一直线上）并且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有改变，改变的只是图形的位置。
观察图2：

我们还可以看到，△ABC上的每一点都作了相应的平移：
A→A'，B→B'，C→C'
而且还发现：AA'∥BB'∥CC'，AA'＝BB'＝CC'
这就是说，平移后对应点所连成的线段平行并且相等。
3. 图形的旋转：
物体绕着某个点转动，叫做旋转。
绕着旋转的点，叫做旋转中心。旋转中心在旋转过程中保持不变。图形的旋转由旋转中心和旋转的角度决定。
例如：在图3中，△AOB旋转45°后，变成△A'OB'。

观察到点B的对应点为点B'，点A的对应点为点A'
线段OB的对应线段OB'，线段OA的对应线段OA'
∠OAB的对应角为∠OA'B'，∠OBA的对应角OB'A'
旋转中心在点O
旋转的角度为45°
4. 旋转的特征：
观察上面图3，发现：
OA＝OA'，OB＝OB'
∠AOB＝∠A'OB'，∠OBA＝∠OB'A'，∠OAB＝∠OA'B'
这就是说：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等，图形的大小和形状未发生改变。
5. 旋转对称图形和中心对称图形：
某图形如果绕固定圆心旋转60°（或120°或180°）后，能与自身重合。这种图形就称之为旋转对称图形，如电扇的转叶。
而某一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。
而如果一个图形绕着某一点旋转180°，能与另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对应点，叫关于中心的对称点。如图4所示，△ABC和△ADE成中心对称，点A是对称中心，点B的对称点是点D，点C的对称点是点E。

点B绕着点A旋转180°到达D处，故B、A、D三点共线，且有AB＝AD。
同理还有A、C、E共线，AC＝AE
并且由于中心对称图形可以看作旋转得到，因此它有旋转的一切特征。

（二）平行四边形
1. 平行四边形的特征：
平行四边形的定义为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。因此其最大特征是其两组对边平行。
另外，人们发现，如果绕着对角线的交点O将平行四边形ABCD旋转，发现旋转180°后，与原图形完全重合。
由此可以得到：
AD＝BC，AB＝DC
∠A＝∠C，∠B＝∠D
即平行四边形的对边平行，对角相等

例2. 在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，且AB＝8，周长为24，求各角度数、各边长度。

解：在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，且AB//CD，故∠D＝140°
由平行四边形性质知道∠A＝∠C＝40°，∠B＝∠D＝140°
又平行四边形ABCD周长为24，AB＝8，由平行四边形特征知DC＝AB，AD＝BC
则DC＝AB＝8，故AD＋BC＝24－16＝8
而AD＝BC，故AD＝BC＝4
在刚才旋转平行四边形时，还发现平行四边形ABCD的对角线交点O是这个中心对称图形的对称中心，所以：
OA＝OC，OB＝OD
即平行四边形的对角线互相平分。

例3. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于O，△AOB周长为15，AB＝6，求对角线AC和BD之和。

解：已知AO＋BO＋AB＝15，AB＝6
故AO＋OB＝15－6＝9
又因为平行四边形对角线互相平分，故
AC＋BD＝2AO＋2BO
＝2（AO＋BO）
＝18

2. 平行四边形的识别：
（1）根据平移的特征和平行四边形的定义知道：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
例4. 如图8，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形。

解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC（平行四边形对边平行）
即AE//CF
又AE＝CF（已知）
所以四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）根据中心对称和平行四边形的知识知道：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例5. 在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知点E、F分别是AO、OC的中点，说明四边形BFDE是平行四边形。

解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD（平行四边形对角线互相平分）
又E、F是AO、OC的中点，有OE＝OF
所以四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

例6. 在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，说明四边形ABCD是平行四边形。

解：在四边形ABCD中，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
∠A＝∠C，∠B＝∠D
故∠A＋∠B＝180°
从而AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）
同理，AB//CD
所以，四边形ABCD是平行四边形。
由上面例6可以知道：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
实际上，还有：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
由此，共了解五种判定平行四边形的方法。

3. 几种特殊的平行四边形：
（1）矩形：也叫长方形，是每个内角都是直角的平行四边形。
平行四边形所有的特征，矩形都有。而且，矩形还有另外的特征：
①矩形的四个内角都是直角。
②矩形的对角线相等且互相平分。
实际上，要说明一个四边形是矩形，首先要说哪个四边形是平行四边形，然后再说明它有一个直角。
（2）菱形：四条边都相等的平行四边形，叫菱形。
菱形四边相等，且其对角线互相垂直平分。
例7. 如图11，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，说明△ABC是等边三角形。

解：四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC
∠B＋∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠BAD＝2∠B（已知）
可得∠B＝60°
在△ABC中，AB＝BC，所以∠BAC＝∠BCA
又∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°
故∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°
从而AB＝BC＝AC
即△ABC是等边三角形
（3）正方形：正方形是非常特殊的四边形，它既可以看作有一个角是直角的菱形，又可以看作有一组邻边相等的矩形。
它既是中心对称图形，又是轴对称图形。
例8. 如图12，在正方形ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。

解：由于正方形是一个角为直角的菱形，对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，所以：

∠DOC＝90°

4. 梯形：
在梯形中，主要研究等腰梯形。
发现：（1）等腰梯形是一个轴对称图形；
（2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等。
例9. 如图13，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，CE//DA，已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长。

解：因为AB//DC，CE//DA
所以四边形AECD是平行四边形
从而CE＝DA＝CB＝6，
AE＝DC＝5，
EB＝AB－AE＝8－5＝3
于是△CEB的周长为CE＋EB＋BC＝6＋3＋6＝15

［本课小结］
1. 由日常的图形的位置关系得出平移、旋转及中心对称的概念，讨论了平移、旋转与轴对称都是图形的主要变化，研究了其主要特征，帮助将来进一步研究其他复杂图形的特征。
2. 在平行四边形中，我们研究了平行四边形的主要性质、特征及识别方法。在此基础上，研究了几类特殊的平行四边形。它们都各有自己的特征，最后研究了梯形的性质。其中重点是平行四边形的识别及性质。

【模拟试题】
1. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？

2. 在平行四边形ABCD中，∠BAC＝68°，∠ACB＝36°，求∠D和∠BCD的度数。

3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明四边形MNPQ是平行四边形。

4. 平行四边形的一个内角比它的邻角大42°，求四个内角度数。
5. 在梯形ABCD中，AD//BC，AD＝AB，BC＝BD，∠A＝120°。求其他内角的度数。

6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝60°，DE//AB。
证明：（1）DE＝DC；（2）△DEC是等边三角形。

【试题答案】
1. （1）旋转中心是点A；
（2）旋转角度为∠BAD＝90°；
（3）如果连接EF，则△AEF是等腰三角形
因为经过旋转AE和AF重合，故AE＝AF
所以△AEF是等腰三角形
2. 解：在△BAC中，
而在平行四边形ABCD中，∠D＝∠B＝76°

3. 证明：在平行四边形ABCD中，OD＝OB，OA＝OB
而M、P、N、Q是OA、OC、OB、OD之中点
有，故有
同理，有OM＝OP
所以四边形MNPQ是平行四边形
4. 解：设平行四边形一个内角为x°，它的邻角为x°－42°
因为在平行四边形中，一个内角与之邻角之和为180°
故

四个内角分别为111°、69°、111°、69°
5. 解：在△ABD中，AD＝AB，∠A＝120°
故∠ABD＝∠ADB＝30°
而AD//BC，故∠ADB＝∠DBC＝30°
在△BCD中，∠DBC＝30°，DB＝BC，∠C＝∠CDB＝75°
故∠ABC＝60°，∠ADC＝105°，∠C＝75°
6. 证明：（1）在梯形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC
故有∠C＝60°
而AB＝DE，有∠B＝∠DEC＝60°
故∠C＝∠DEC＝60°
DE＝DC
（2）在（1）中已知∠C＝∠DEC＝60°
故△DEC是一个等边三角形