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平行四边形的性质与识别
［学习内容］
一. 平行四边形的性质：
1. 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，如图1，这里可将平行四边形ABCD记为平行四边形ABCD。
2. 平行四边形的性质：
（1）将上面的平行四边形ABCD绕着其对角线的交点O转动，当旋转180°后，发现旋转后的平行四边形和原来的平行四边形完全重合，由此可知平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。
由此可以得到：
即平行四边形的对边相等，对角相等。
这样，我们就清楚了平行四边形的边和边、角和角之间关系。
其对边相等，邻边无关，对角相等，邻角互补。
例1. 如图2，在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，求其它各角的度数。
图2
解：由于平行四边形的对角相等，所以
∠C＝∠A＝40°
因为AD//BC
例2. 在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长。
图3
解：由于平行四边形对边相等，所以AB＝DC，AD＝BC
由已知AB＝8
AB＋BC＋CD＋DA＝24
解得CD＝8
故AD＝BC＝4
（2）在刚才旋转时发现，平行四边形ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，所以（在图1中）
OA＝OC，OB＝OD
即平行四边形的对角线互相平分
例3. 如图4，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？
解：已知AO＋BO＋AB＝15
又AB＝6
因为平行四边形对角线互相平分，所以
（3）两条平行线之间的距离：
作两条互相平行的直线，在其中一条上取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度。
图5
即过两条平行直线上其中一条直线上任一点作另一条直线的垂线段，这些垂线段的长度相等，如果将这些垂线段的长度称为平行线中一条直线到另外一直线的距离或称之为两条平行线间的距离，又可得到：平行线之间的距离处处相等。
二. 平行四边形的识别方法：
1. 定义识别法：
如果在一个四边形中，有两组对边分别平行，这样的四边形就称之为平行四边形。
2. 在纸上先画一组对边平行且相等的四边形ABCD，这里可将BC边看作是AD边平移得到的，而根据平移的特征可以知道：
AD//BC，AD＝BC
这里可以看出，线段AD平移到BC，在此过程中A与B，D与C互为对应点，根据平移的特征，有AB//DC，又AD//BC。
根据平行四边形的定义，可知四边形ABCD是平行四边形。
故可以得到：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
例4. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，请说明四边形AFCE是平行四边形。
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC（对边平行）
即AE//CF
又AE＝CF（已知）
故四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
例5. 已知平行四边形ABCD中E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明：四边形EGFH是平行四边形。
解：在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC
而已知E、F分别为AD、BC的中点，所以AE//FC
所以四边形AFCE、EBFD都是平行四边形
故AF//EC，BE//FD
即有GF//EH，GE//FH
四边形EGFH是平行四边形
3. 在纸上画两条相交于一点O并且在O点处互相平分的线段AC和BD，顺次连结AB、BC、CD、DA组成一个四边形ABCD，如图9。
实际上，在作图过程中，A与C，B与D是关于点O成中心对称的对应点。
根据中心对称的特征可知：AB//DC，AD//BC
据平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形。
由此可知：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例6. 如图10，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，已知点E、F分别是AO、OC的中点，试说明四边形BFDE是平行四边形。
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD（平行四边形对角线互相平分）
又E、F分别是AO、OC的中点，有OE＝OF
故四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
例7. 如图11，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，试说明四边形ABCD是平行四边形。
图11
解：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
因为∠A＝∠C，∠B＝∠D（已知）
故∠A＋∠B＝180°
从而AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）
同理AB//CD
故四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
因此可以得到下面结论：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
实际上：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
因为如图11，如果AB＝CD，AD＝BC，再连结对角线AC，故由三角形具有稳定性及平移和旋转知识可知：
经过调整ΔABC可以和ΔCDA重合，有∠B＝∠D
同理∠A＝∠C
由上面的判定方法可知四边形ABCD是平行四边形
例8. 已知E、F分别是平行四边形ABCD中BD上的点，且BE＝DF，试说明四边形AECF是平行四边形。
解：连结AC与BD相交于O
因为平行四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝DO
而BE＝DF
故在四边形AECF中，AO＝OC，OE＝OF
四边形AECF是平行四边形
例9. 已知平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD交BC、DC于E、F，试说明四边形AECF是平行四边形。
解：在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AD//BC
而AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD
故∠EAD＝∠BCF
即∠EAF＝∠FCE
又AD//BC，有∠EAF＋∠AEC＝180°
∠FCE＋∠AFC＝180°
故∠AEC＝∠AFC（等角的补角相等）
故在四边形AECF中，∠AEC＝∠AFC，∠EAF=∠ECF
所以四边形AECF是平行四边形
本课小结：
1. 本课首先学习了平行四边形的性质两条。
（1）平行四边形的对边相等、对角相等。
（2）平行四边形的对角线互相平分。
2. 在研究平行四边形的基础之上，又学习了平行线之间的距离相等。
3. 最重要的是学习平行四边形的四种判别方法：
（1）如果两边分别平行，则四边形是平行四边形。
（2）如果有一边平行且相等，则四边形是平行四边形。
（3）如果有两组对角相等，则四边形是平行四边形。
（4）如果有两组对边相等，则四边形是平行四边形。
4. 实际上，将平行四边形判定的条件和结论调换，就变成了平行四边形的性质，而将性质中条件结论调换，就变成了判定方法。
【模拟试题】
1. 如图，在平行四边形ABCD中，，求平行四边形各角的度数。
2. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且。
（1）说明是等腰三角形。
（2）的哪两边之和等于平行四边形ABCD的周长，为什么？
3. 已知，如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，试说明四边形ABCD也是平行四边形。
4. 如图，D、E、F分别在的各边上，且，延长FD至G，使得FG＝2DF，求证：ED与AG互相平分。
5. 如图，已知AD是的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，AE＝EF，试说明BF＝AC。
【试题答案】
1. 解：由平行四边形对边平行，所以AD//BC
所以
解这个方程组得
所以
2. 解：
（1）在平行四边形ABCD中，AD//BC，AB//CD
所以
又已知，所以
故是等腰三角形
（2）中，平行四边形ABCD的周长
由（1）得
所以
所以
即平行四边形ABCD的周长
3. 解：由四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形，可知，
所以，所以四边形ABCD为平行四边形
4. 连结AD、EG
因为，所以四边形EDFA是平行四边形
所以
又因为，且DG、DF在同一直线上
所以，
所以四边形AEGD是平行四边形
所以ED、AG互相平分
5. 解：延长AD至N，使ND＝AD，连BN、CN
因为BD＝CD，所以四边形ABNC是平行四边形
所以
因为
又因为
故
所以BF＝AC
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