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第十六章《16.1 平行四边形》
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
专题讲座（二） 平行四边形
学习要求：
1. 掌握平行四边形的一些性质，识别方法。
2. 掌握特殊平行四边形的性质及其识别方法。
3. 梯形的性质。
二. 重点、难点：
学习重点：
1. 平行四边形的性质及识别方法。
2. 特殊平行四边形的性质及识别方法。
学习难点：梯形与平行四边形的综合运用。
【典型例题】
（一）平行四边形：
1. 平行四边形的性质：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
2. 平行四边形的识别：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3. 相关链接：
（1）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上的任一点到另一条直线上的距离，叫做这两条平行直线间的距离。
性质：两条平行线间的距离处处相等。
（2）平行四边形的面积：
①如图1所示：S平行四边形ABCD=BC·AF=CD·AE
注意：这里底是相对于高而言，也就是说平行四边形任一边均可作底。
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
4. 平行四边形知识的应用：
（1）直接运用其特征去解决问题，求角的度数，线段长度，证明角相等，互补等，证明线段长度相等成倍分。
（2）先识别一个四边形是平行四边形，然后用其性质解决问题。
例1. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠BAF，（1）试说明△CEF是等腰三角形，（2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长，请说明为什么？
解：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD。
所以∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，
又已知∠EAD=∠BAF，所以∠E=∠F。
所以△CEF是等腰三角形。
（2）△CEF中，（CE+CF）与平行四边形ABCD的周长相等。
由（1）得∠EAD=∠BAF=∠E=∠F，所以DE=AD，FB=AB，
所以CE+CF=CD+AD+CB+AB
即有 CE+CF与平行四边形ABCD的周长相等。
例2. 如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PF∥AC，PE∥BC，E、F、D分别在AB、BC和AC上，说明：PD+PF+PE=AB
解：延长DP与BC相交于G，过F作FH∥PD与AC相交于H，
DG∥AB，EP∥BC，故四边形EBPG是平行四边形，
得EP=BG
PF∥AC，FH∥PD得四边形PDHF是平行四边形。
得PD=FH
又FH∥PD∥AB，得∠HFC=∠B=60°
而∠C=60°
而△FHC为等边三角形
FH=FC
又PG∥AB 得∠PGF=∠B=60°
PF∥AC 得∠PFG=∠C=60°
故△PGF是等边三角形，得PF=GF
故PD+PE+PF=FC+BG+GF=BC=AB。
例3. 如图4，平行四边形ABCD中，AE=CF，点M、N分别是DE、BF之中点，试说明FM=EN。
解：在平行四边形ABCD中，DC∥AB，DC=AB。
又AE=CF，故BE=DF
又BE∥DF
得四边形BEDF是平行四边形。
BF∥DE，BF=DE
而M、N分别是DE、BF之中点，
得ME=FN
又ME∥FN
故四边形FMEN是平行四边形，
得：FM∥EN。
例4. 如图5，已知在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，EF∥AC。
试说明：BE=FC。
解：DE∥BC，EF∥AC，故而四边形EFDC是平行四边形。
得CF=DE。
又ED∥BC得∠EDB=∠DBC，
而BD平分∠ABC，知∠ABD=∠DBC，
故而∠EDB=∠ABD
即∠EDB=∠EBD
得EB=ED
故而CF=BE。
（二）特殊的平行四边形：
1. 矩形：
（1）特性：①四个角都是直角。②对角线相等。
（2）识别方法：
①三个角是直角的四边形是矩形。
②一个角是直角的平行四边形是矩形。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
2. 菱形：
（1）特性：①四边相等；②对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角。
（2）识别方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②四边相等的四边形是菱形。
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3. 正方形：
（1）特性：①四边相等；②四个直角；③对角线平分一组对角且垂直；④对角线相等。
（2）识别方法：
①先识别其为菱形，再说明其有一个内角是直角。
②先识别其为矩形，再说明其有一组邻边相等。
例5. 如图6，已知在矩形ABCD中，M是BC的中点，BC=2AB，试说明MA⊥MD。
解：在矩形ABCD中，∠B=90° BC=2AB
故可知∠AMB=45°
同理：∠DMC=45°
故∠AMD=180°－45°－45°=90°
即AM⊥MD。
例6. 如图7，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC边相交于点E，∠B的平分线与AD相交于点F，试说明四边形ABEF是菱形。
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，所以∠AFB=∠FBE
又BF平分∠ABE，∠ABF=∠FBE
故而∠ABF=∠AFB
AB=AF
同理：AB=BE
故而AF=BE，
又AF∥BE
得四边形ABEF是平行四边形
AB=AF
故而四边形ABEF是菱形。
例7. 如图8，四边形ABCD是正方形，△DCE是等边三角形，AC、BD交于点O，AE交BD于F。
（1）求∠AED的度数。
（2）若OF=1，求AF的度数。
解：（1）四边形ABCD是正方形，得AD=DC，∠ADC=90°
而△DCE是等边三角形，得DC=CE=DE，∠CDE=60°
故而AD=DE，∠ADE=150°
（2）由（1）知∠DAE=15°
故而∠FAO=∠DAO－∠DAE
又在正方形DCBA中，∠DAO=45°，AO⊥OD
得∠FAO=45°－15°=30°
又在△AOF中，∠AOF=90°，∠OAF=30°
又OF=1
得AF=2
（三）梯形：
1. 等腰梯形的性质：两腰相等、两底角相等、对角线相等。
例8. 如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD方向向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向B点以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间t秒，求t为何值时，梯形ABCD是等腰梯形？
解：设P、Q运动到如图位置，梯形PQCD是等腰梯形，分别过D、P作DM⊥BC于M，PN⊥BC于N。
此时，QN=MC=BC－BM=BC－AD=21cm－18cm=3cm。
QN=BN－BQ=AP－BQ=t－（21－2t）=3t－21
所以 3t－21=3 t=8
答：t=8秒时，梯形PQCD是等腰梯形。
例9. 如图10，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点D与D'关于BC对称。
（1）试问四边形ABD'C是平行四边形吗？为什么？
解：（1）在等腰梯形ABCD中，AC=BD，AB=CD，
又D与D'关于BC对称，得BD=BD'，CD=CD'
故而AC=BD'，AB=CD'
四边形ABD'C是平行四边形。
（2）过A作AE∥DC，又AD∥BC
AD=DC
得四边形AECD是菱形。
AD=AE=EC
故E是BC之中点。
在平行四边形ABCD'中，E是BC的中点，
，
故而其对角线相等。
得四边形ABD'C是矩形。
本课小结：
1. 本课主要讲解了平行四边形及特殊平行四边形以及梯形的一些基础知识，请同学们掌握这些基础知识。
2. 在平行四边形的应用中，特别注意边与边、边与角、边与对角线之间的关系。
3. 特殊的平行四边形是重点内容，因为特殊的平行四边形包含平行四边形的一切性质，而且它还含有特殊的性质。
4. 梯形实质上是平行四边形的应用，注意将梯形拆分开来运用平行四边形的知识求解。
【模拟试题】
1. 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于点F，试说明BE=DF。
2. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的两点，且AE=CF，AF、DE相交于点M，BF、CE相交于点N，试说明四边形EMFN是平行四边形。
3. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE的度数是多少？
4. 如图，在平行四边形ABCD中，DC=2AD，E、F在BC两侧的延长线上，CE=BC=BF，AE交CD于N，DF交AB于M，试说明AE⊥DF。
5. 如图，矩形ABCD中，∠B的平分线交对角线于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别为E、F，说明四边形EBFN是正方形。
【试题答案】
1. 解：在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，FD平分∠ADC
故而∠EBF=∠ABC=∠ADC=∠EDF ①
∠EBA=∠ABC=∠ADC=∠FDC
而∠A=∠C
故∠EBA+∠A=∠FDC+∠C
即∠BED=∠DFB ②
由①、②知四边形ABCD是平行四边形。
2. 解：在平行四边形ABCD中，AE=FC，而AE∥FC，
得四边形AECF是平行四边形，
故AF∥CE
即MF∥EN。
知DE∥FB
即ME∥FN
故四边形MENF是平行四边形。
3. 解：在矩形ABCD中，∠DCE∶∠ECB=3∶1
故而∠BCE= ∠DCE
∠CDB= ∠DBC=
在等腰△OCB中，∠OCB=∠OBC=
故而∠OCE=∠OCB－∠ECB=45°
4. 解：由题知：AD∥BF，AD=BF，故而四边形AFBD是平行四边形。
同理：AD=DN。
故AM=DN，
又AB∥DC得AM∥DN
得四边形AMND是平行四边形。
而AM=AD
故四边形AMDN是菱形，
AN⊥DM
即AE⊥DF
5. 解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，BM平分∠ABC，得∠ABM=45°
而ME⊥AB，
得∠EMB=45°
故EM=EB，
在四边形EBMF中，∠EBF=90°，ME⊥EB，MF⊥BF
故四边形EBFM是矩形，
又EM=EB，
得四边形EBMF是正方形。
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