江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目》教案.doc

平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目
【学习内容】
一. 关于平行四边形性质及识别的典型题目：
例1. 如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD的和为28，CD＝5。
（1）求ΔCOD的周长。
（2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA的面积相等吗？为什么？若平行四边形ABCD的面积是56，则ΔAOB的面积等于多少？
（3）ΔACD与ΔBCD的面积相等吗？为什么？

图1
解：（1）由于在平行四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，且AC＋BD＝28
所以CO＋OD＝14
又因为CD＝5
所以，ΔCOD的周长为19。
（2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA的面积相等。其理由是：
平行四边形ABCD中，BO＝OD，且ΔAOB与ΔAOD中边OB、OD上的高相同，都是AE（过A作AE⊥BD，点E是垂足）所以

亦即ΔAOB的面积为14

例2. 如图2，在ΔABC中，BD平分∠ABC，DE//BC，EF//AC，说明线段BE与CF相等。

图2
解：因DE//BC知∠2＝∠3
又BD平分∠ABC，可知∠1＝∠2
故∠1＝∠3
得DE＝EB
而DE//BC，EF//AC知四边形DECF是平行四边形
有DE＝CF
故可知EB＝CF

例3. 如图3，已知E、F分别为平行四边形ABCD的边CD、AB上的一点，AE//CF，BE、DF分别交CF、AE于H、G，试说明EG＝FH。

图3
解：因为AE//CF，AF//CE
所以四边形AECF是平行四边形
所以AF＝CE
又因为AB＝CD
所以BF＝DE
所以四边形BFDE是平行四边形

所以EG＝FH
说明：EG＝FH，从位置上看只要说明四边形EGFH是平行四边形即可。由于EG//FH，而EG＝FH是要说明的结果，所以首选的方法是DF//BE，故要说明相等的线段是四边形的一组对边时，常常先说明这个四边形是平行四边形。

例4. 如图4，在平行四边形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，使BE＝DF，说明AC与EF互相平分。

图4
解：可连接AF、CE

因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，AB＝CD
又因为BE＝DF
所以AB＋BE＝CD＋DF
即有AE＝CF
所以四边形AECF是平行四边形，AC与EF互相平分。
说明：要说明两条线段互相平分，只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形即可。

例5. 如图5，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，说明DE＋DF＝AB。

图5
解：在ΔABC中，DF//AB，故而∠FDC＝∠B
又AB＝AC知∠C＝∠B
有∠C＝∠FDC
有DF＝FC

有DE＝AF
故DE＋DF＝AF＋FC＝AC＝AB

例6. 如图6，在ΔABC中，D、E分别是其AB、AC的中点，说明：

图6
解：（1）先延长DE至F，使得DE＝EF

故在四边形ADCF中，AE＝EC，DE＝EF
四边形AFCD是平行四边形
CF//AD，即CF//AB，CF//DB
而CF＝AD，AD＝DB
有CF＝DB
知四边形DBCF是平行四边形
有DF//BC，即DE//BC

说明：（1）此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下，尽可能构造出两组线段互相平分，得到平行四边形，用平行四边形的知识作桥梁，将条件转化，得到结论。
（2）此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质：
中位线：连接中点的连线段。
性质：中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

二. 关于特殊平行四边形的一些典型题目：
例7. 如图7，在矩形ABCD中，E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，说明CE＝FE。

图7
解：连结DE

因为四边形ABCD是矩形，所以
∠ADC＝90°，∠CDE＋∠ADE＝90°
因为DF⊥AE
所以∠EDF＋∠AED＝90°
因为AE＝AD
∠ADE＝∠AED
故∠CDE＝∠EDF（等角的余角相等）
因为DF⊥AE，CD⊥BC
所以CE＝FE（角平分线上的点到角两边距离相等）
注意：这里DF⊥AE，CD⊥BC，要说明EC＝EF，只要说明DE是∠CDF的平分线即可。
即要说明两条线段相等，只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点到角的两边的距离即可。

例8. 如图8，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数。

图8
解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD＝90°，∠ABC＝90°
因为AE平分∠BAD
所以∠BAE＝45°＝∠AEB
所以AB＝BE
因为∠CAE＝15°
所以∠OAB＝60°
因为OA＝OB
故∠OBA＝60°，OB＝AB
所以∠OBE＝30°，OB＝BE
所以∠BEO＝∠BOE＝75°
说明：由此题的过程知道：矩形的对角线将其分成四个面积相等的等腰三角形。

例9. 如图9，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE＝CE，求菱形的各内角的度数。

图9
解：连结AC

由题意BE＝EC，B、E、C在一直线且AE⊥BC
故可知ΔABE与ΔACE关于轴AE成轴对称图形
可知AB＝AC
而四边形ABCD是菱形，可知AB＝BC
于是AB＝AC＝BC
ΔABC是等边三角形
∠B＝60°
故∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°

例10. 如图10，在正方形ABCD中，E是BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足为F、G，试说明AE与GF的关系，为什么？

图10
解：延长GE与AB交于H

由EG⊥DC知EH⊥AB
而BD是正方形ABCD的对角线，故∠EBF＝45°
又EF⊥BC知∠BEF＝45°，故EF＝BF
在四边形HBFE中，EH⊥HB，∠ABF＝90°，EF⊥BF，EF＝BF
知四边形HBFE是正方形
有HE＝EF，HB＝BF且HF与BE相互垂直平分
而在正方形ABCD中，AC与BD相互垂直平分
故可将A、C看作关于BD的一组对称点
H、F看作关于BD的一组对称点
故ΔAHE与ΔEFC关于轴BD对称
AE＝EC
在矩形EFCG中，GF、EC为对角线ÞEC＝GF
\AE＝GF

例11. 如图11，在梯形ABCD中，CD//AB，∠BAD＋∠ABC＝90°，M、N分别为AB、CD的中点。

图11

证明：过点N作NE//DA交AB于E，NF//CB交AB于点F

则∠NEM＝∠BAD，∠NFM＝∠ABC
所以∠NEF＋∠NFE＝90°，所以∠FNE＝90°
又四边形ADNE、CNFB是平行四边形
所以AE＝DN，BF＝CN
又AM＝BM
所以ME＝MF

本课小结：
1. 在理解平行四边形性质及识别方法的基础上，着重落实用其性质及其识别方法进行逻辑推理。
2. 在理解特殊四边形及其识别方法的基础上，着重应用其特性进行推理，另外，在进行识别特殊四边形时，多用其基本识别方法。
3. 在推理的过程中，注意推理的逻辑性与连贯性。

【模拟试题】
1. 已知：如图12，点D是AB的中点，点E是AC上的一点，EF//AB，DF//BE，猜想DF与AE之间关系并说明理由。

图12
2. 如图13，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，作DE//AC，CE//BD，DE与CE交于点E，试说明四边形OCED是菱形。

图13
3. 如图14在平行四边形ABCD中各个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，猜想EG和FH之间的关系。

图14
4. 如图15，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长。

图15
5. 如图16，ΔABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交ΔABC的外角∠ACD平分线于点F。
（1）试说明线段OE＝OF。
（2）试猜想：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由。

图16

【试题答案】
1. 解：在四边形DFEB中，DF//BE，DB//EF
故四边形DBEF是平行四边形
有EF＝DB
又D是AB之中点，故AD＝DB
由此可知EF＝AD
而EF//AD
故四边形AFED是平行四边形
AE与DF互相平分

2. 解：在四边形OCED中，DE//OC，CE//OD
故四边形ODCE是平行四边形
而四边形ABCD是矩形

3. 解：在平行四边形ABCD中，AD//BC，故∠BAD＋∠ABC＝180°
而BF平分∠ABC，AH平分∠BAD

故四边形EFHG是矩形，EG和FH是相等且互相平分的关系
4. 解：过点D作DF//AC交BC的延长线于F

而AD//CF
故四边形ACFD是平行四边形
AC＝DF
而在等腰梯形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，又DF//AC
故BD⊥DF，DB＝DF
ΔDBF是等腰直角三角形

5. 解：
（1）在
而MN//BC，故

OE＝OC
同理OF＝OC
故OE＝OF
（2）只要O是AC中点时，四边形AECF是矩形
这是因为OE＝OF，OA＝OC，则四边形AECF是平行四边形

故四边形AECF是矩形