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7.2正弦、余弦
教学目标：
1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学重点、难点：
1、掌握在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
教学过程:
一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即sinA＝________=________.
3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.
___________________________________________.
4、例1、已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
例2、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
(1)怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？
sin30°＝ ，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）观察与思考：
试比较sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
试比较cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
锐角α的正弦、余弦的取值范围？
(4)、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、拓展延伸：
1、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，求tanB的值.
(第2题)
四．小结与思考：今天你有什么收获？还有什么疑惑？
五．课后作业
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA=________
2．如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则 sin=_______，cos＝________
(第3题)
3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4．一辆汽车沿倾斜角为的斜坡前进500米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝___．
6．已知锐角满足关系式，则的值为______．
7、在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，△ABC的周长为60，求△ABC的面积。
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC=，BC=2 ，
求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
课后作业：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
2.在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 （ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=( )
A． B． C． D．
4.比较大小①sin40゜ cos40゜；②sin80゜ cos30゜；③sin45゜ cos45゜.
5.方程的两根为直角三角形的两条直角边，则其最小角的余弦值为______．
6．如图：在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的
值为（ ）
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
8．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为 米(结果用含的三角函数表示)。
9.在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA, 则∠A的度数是（ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º
10.如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点， P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
第7题 第8题 第10题 第11题
11.如图6，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 2/x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = k/x的图象上，且OA⊥0B ，cotA= /3，则k的值为( )
A．-3 B.-6 C.- D.-2
12. 在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90°求:（1）cosA； (2)当AB=4时,求BC的长.
13. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。
14. 如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
7.2正弦、余弦
教学过程：
一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即sinA＝________=________.
3、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________________________________________.
4、例1、已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
例2、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
(1)怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？
sin30°＝ ，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）观察与思考：
试比较sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
试比较cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
锐角α的正弦、余弦的取值范围？
(4)、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、拓展延伸：
1、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求sinB,cosB,tanB.
(第2题)
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，求tanB的值.
四．小结与思考：今天你有什么收获？还有什么疑惑？
五、课后作业
(第3题)
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA=________.
2．如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则
sin=_______，cos＝________.
3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4．一辆汽车沿倾斜角为的斜坡前进500米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝____．
6．已知锐角满足关系式，则的值为______．
7、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，△ABC的周长为60，求△ABC的面积。
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC=，BC=2，求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
课后作业：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
2.在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 （ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=( )
A． B． C． D．
4.比较大小①sin40゜ cos40゜ ②sin80゜ cos30゜ ③sin45゜ cos45゜
5.方程的两根为直角三角形的两条直角边，则其最小角的余弦值为______．
6．如图：在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
8．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为 米(结果用含的三角函数表示)。
9.在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA, 则∠A的度数是（ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º
10.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B 两点， P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα D．（sinα，cosα）
第7题 第8题 第10题 第11题
11.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = 的图象上，且OA⊥0B ，cosA= ，则k的值为( ) A．-3 B.-4 C.- D.-2
12. 在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90°求:（1）cosA； (2)当AB=4时,求BC的长.
13. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。
14. 如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证AC=AD•AB
（2）若AD=,sinB=,求线段BC的长
15. 如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
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