重庆市万州区丁阳中学八年级数学上册《第十五章整式 》复习教案 人教新课标版.doc

重庆市万州区丁阳中学八年级数学上册《第十五章整式 》复习教案 人教新课标版

课型：复习
本章视点
一、课标要求与内容分析
1.本章的课标要求是：(1)了解整式的概念，会进行简单的整式运算；(2)会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘)；(3)会推导来法公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，(a+b)2= a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；(4)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).
2.经历探索事物之间的数量关系，建立初步的符号感，发展抽象思维，在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系并用代数式表示，理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会现实世界与数学的联系，理解整式的含义，掌握整式的加减运算的实质，即去括号、合并同类项，并会求代数式的值，掌握整式的乘法运算及其逆运算——因式分解；掌握整式的除法运算(单项式除法和多项式除以单项式).
3.本章的重点是代数式和整式的加、减、乘、除运算，以及因式分解.难点是规律的探求及根据代数式推断代数式反映的规律.
二、学法指导
学习本章要注意从具体情境中探索数量关系和变化规律，培养和发展自己的符号感.要注重对运算法则的探索过程的理解.另外，不仅要注意观察和实验，还要注意归纳、类比、转化等思想方法的运用，因为整式的运算是解方程、解不等式的重要基础，这一知识在初中数学体系中起着承上启下的作用，所以，本章学习整式的运算等内容，会给我们研究数量及其关系带来极大的方便，应引起充分的重视.

章末总结
知识网络图示

基本知识提炼整理
一、基本概念
1.代数式
用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.单项式
数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.
(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.
(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
3.多项式
几个单项式的和叫做多项式.
(1)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.
(2)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.
4.整式
单项式和多项式统称整式.
5.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.
6.合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
7.整式乘法的平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
8.整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
二、基本运算法则
1.整式加减法法则
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
2.合并同类项法则
合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.
3.同底数幂的乘法法则
am·an=am+n(m，n是正整数).
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
4.幂的乘方法则
(am)n=amn(m，n是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
5.积的乘方的法则
(ab)m=ambm(m是正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
6.多项式来法法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
7.单项式与多项式相来的乘法法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
8.添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
9.同底数幂的除法法则
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
10.单项式除法法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
11.多项式除以单项式的除法法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
三、因式分解常见的方法
1.提公因式法.
2.公式法.
3.分组分解法.
4.式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
专题总结及应用
一、整式的加减
在整式的加减中，基本可以分为以下几种类型题.
1.不含括号的直接合并同类项
例1 (1)合并同类项3x2-4xy+4y2-5x2+2xy-2y2；
(2)化简5xy-x3y2-xy+x3y2-xy-x3y-5.
解：(1)原式=(3-5)x3+(-4+2)xy+(4-2)y2
=-2x2-2xy+2y2.
(2)原式=(5-)xy+(-)x3y2-x3y-5
=-4x3y2-x3y-5.
2.有括号的情况
有括号的先去括号，然后再合并同类项，根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化.
例2 化简.
(1)3x-[5x+(3x-2)]；
(2)1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)].
解：(1)原式=3x-(5x+3x-2)
=3x-8x+2
=2-5x.
(2)原式=1-6ab-3a+(1-4a+6ab)
=1-6ab-3a+1-4a+6ab
=2-7a.
3.先代入后化简
例3 已知A=x2+xy+y2,B=-3xy-x2,求2A-3B.
解：2A-3B
=2(x2+xy+y2)-3(-3xy-x2)
=2x2+2xy+2y2+9xy+3x2
=5x2+11xy+2y2.
二、求代数式的值
1.直接求值法
先把整式化简，然后代入求值.
例4 先化简，再求值.
3-2xy+2yx2+6xy-4x2y，其中x=-1,y=-2.
解：3-2xy+2yx2+6xy-4x2y=3+4xy-2x2y.
当x=-1,y=-2时，
原式=3+4×(-1)×(-2)-2×(-1)2·(-2)
=3+8+4
=15.
2.隐含条件求值法
先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值.
例5 若单项式-3a2-mb与bn+1a2是同类项，求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值.
(分析)先通过-3a2-mb与bn+2a2是同类项这一条件，将m,n的值求出，然后再化简求值.
解：∵-3a2-mb与bn+1a2是同类项，
∴ ∴
m2-(-3mn+3n2)+2n2
=m2+3mn-3n2+2n2
=m2+3mn-n2，
当m=0,n=0时，原式=02+3×0×0-02=0
例6 已知+(b+1)2=0，求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]的值.
(分析)利用+(b+1)2=0，求出a，b的值，因为绝对值和平方都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们每一个都是0.
解：∵+(b+1)2=0，且≥0，(b+1)2≥0，
∴∴
5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]
=5ab2-(2a2b-4ab2+2a2b)
=5ab2-2a2b+4ab2-2a2b
=9ab2-4a2b
当a=2,b=-1时，
原式=9×2×(-1)2-4×22×(-1)=18+16=34.
3.整体代入法
不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等.
例7 已知a=x+19,b=x+18,c=x+17,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
解：∵a=x+19,b=x+18,c=x+17,
∴a-b=1,b-c=1, a-c=2.
而a2+b2+c2-ab-ac-bc
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)
=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+( a2-2ac+c2)]
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].
当a-b=1,b-c=1, a-c=2时，
原式=(12+12+22)=×6=3.
例8 已知x2+4x-1=0，求2x4+8x3-4x2-8x+1的值.
(分析)由x2+4x-1=0就目前知识水平求x的值是不可能的，但是，我们可以把x2+4x化成一个整体，再逐层代入原式即可.
解：∵x2+4x-1=O，∴x2+4x=1.
∴2x4+8x3-4x2-8x+1
=2x2(x2+4x)-4(x2+4x)+8x+1
=2x2·1-4×1+8x+1
=2x2+8x-3
=2(x2+4x)-3
=2×1-3
=-1.
例9 已知x2-x-1=0，求x2+的值.
解：∵x2-x-1=0,∴x≠0.
∴x-=1,
∴x2+=(x-)2+2·x·=12+2=3.
4.换元法
出现分式或某些整式的幂的形式时，常常需要换元.
例10 已知=6，求代数式+的值.
(分析) 给定的代数式中含a，b两个字母，一般地，只有求出a,b的值，才能求出代数式的值，本题显然此方法行不通.
由于题中与互为倒数，故将看成一个整体.
解：设=q，则,
∴原式=2q+.
又∵q=6,∴原式=2×6+=12.
三、探索规律
1.探索自然数间的某种规律
设n表示自然数，用关于n的等式表示出来.
例11 从2开始连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数n
和s
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
…
…
(1)s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？
(2)计算2+4+6+8+…+2004.
(分析) 观察上表，当n=1时，s=1×2，即第一个数字是1，第二个数字是2；当n=2时，s=2+4=2×3，第一个数字是2，第二个数字是3，依此类推，发现第一个数字是n，第二个数字比n大1.
解：(1)s与n的关系式为s=n(n+1).
(2)当n==1002时，
s=1002×(1002+1)=1005006.
即2+4+6+8+…+2004=1005006.
小结 观察是解题的前提条件，当已知数据有很多组时，需要仔细观察，反复比较，才能发现其中的规律.
2.探索图形拼接的规律
例12 一张正方形的桌子可坐4人，按照如图15－20所示的方式将桌子拼在一起，试回答下列问题.

(1)两张桌子拼在一起可以坐几人？三张桌子拼在一起可以坐几人？n张桌子拼在一起可以坐几人？
(2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？
(3)在(2)中若每4张桌子拼成一个大的正方形，共可坐多少人？
(4)对于这家酒楼，哪种拼桌子的方式可以坐的人更多？
解：(1)两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6(人)；
三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8(人)；
n张桌子拼在一起可坐=2(n+1)=2n+2(人).
(2)按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子，那么一张大桌子可坐2×4+2=10(人).
所以，15张大桌子可坐10×15=150(人).
(3)在(2)中，若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则一张大正方形桌子可坐8人，15张大正方形桌子可坐8×15=120(人).
(4)由(2)(3)比较可知，该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.
小结 寻找和探索规律是人类认识世界的重要环节，找到规律并利用规律不仅在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义.
3.探索数据所反映的规律
收集数据，观察数据所反映的规律，并作出推测.
例13 填表并回答下列问题.
x
0.01
0.1
1
10
100
1000
1-

(1)观察上表，描述所求得的这一列数的变化规律；
(2)当x非常大时，的值接近什么数？
解：(1)表格里从左到右依次填-39999，-399，-3，0.96，0.9996，0.999996.随着x值变大，代数式的值变得越来越大.
(2)当x非常大时，的值接近于零.
四、因式分解
1.直接因式分解
例14 把下列各式分解因式.
(1)x2y2-9； (2)4x2-12xy+9y2；
(3)x2-5x-6； (4)m2-m-20.
解：(1)x2y2-9=(xy+3)(xy-3).
(2)4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2.
(3)x2-5x-6=(x-6)(x+1).
(4)m2-m-20=(m-5)(m+4).
2.先提公因式.然后再利用公式法分解因式
例15 把下列各式分解因式.
(1)x3-4x2y+4xy2； (2)x3-x；
(3)m3-3m2-4m.
解：(1)x3-4x2y+4xy2=x(x2-4xy+4y2)=x(x-2y)2.
(2)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
(3)m3-3m2-4m=m(m2-3m-4)=m(m-4)(m+1).
3.分组分解法分解因式
实质上，分组分解法分解因式是对因式分解方法的一种综合运用.
例16 把下列各式分解因式.
(1)x2-4(x-1)； (2)(am+bn)2+(an-bm)2；
(3)a2-2ab+b2-c2； (4)x2-2xy+y2-x+y-2.
解：(1)x2-4(x-1)=x2-4x+4=(x-2)2.
(2)(am+bn)2+(an-bm)2
=a2m2+2abmn+b2n2+a2n2-2abmn+b2m2
=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2
=(a2m2+a2n2)+(b2n2+b2m2)
=a2(m2+n2)+b2(m2+n2)
=(a2+b2)(m2+n2).
(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).
(4)x2-2xy+y2-x+y-2=(x2-2xy+y2)-(x-y)-2
=(x-y)2-(x-y)-2=(x-y-2)(x-y+1).
4.用换元法分解因式
例17 把多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120分解因式.
解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
设x2+5x=y，则
原式=(y+4)(y+6)-120
=y2+10y+24-120
=y2+10y-96
=(y+16)(y-6)
=(x2+5x+16)(x+6)(x-1).
【说明】 (1)在分解这个多项式时，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)化简时注意两两相乘时合理组合，创设出以(x2+5x)为主的多项式，进而整理.
(2)采用把x2+5x作为一个整体（即换元法）的方法进一步因式分解.
(3)要注意到x2+5x+16不能再分解，而(x2+5x-6)则可以继续分解.
本章综合评价
（一）
一、训练平台
1.若3a2bn-1与-am+1b2是同类项，则( )
A.m=3,n=2 B.m=2,n=3 C.m=3,n=- D.m=1,n=3
2.a，b，c都是有理数，那么a-b+c的相反数是( )
A.b-a-c B.b+a-c C.-b-a+c D.b-a+c
3.下列去括号正确的是( )
A.2y2-(3x-y+3z)=2y2-3x-y+3z B.9x2-[y-(5z+4)]=9x2-y+5z+4
C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1 D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-4
4.若am=3，an=2，则am+n等于( )
A.5 B.6 C.8 D.9
5.一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用代数式表示这个两位数是 .
6.图15－21中阴影部分的面积为 .

7.计算：(-0.5)2003·22004= .
8.计算：(-ab)3·(ab2)2= .
9.计算：(m+2n)(m-2n)= ,(7x-3y)( )=9y2-49x2，(x-2)(x+4)= ,(3x+2y)2
=(3x-2y)2+ .
10.化简.
(1)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)；
(2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).
11.分解因式.
(1)m2n(m-n)2-4mn(n-m)；
(2)(x+y)2+64-16(x+y).
12.已知a，b是有理数，试说明a2+b2-2a-4b+8的值是正数.
二、探究平台
1.从左到右的变形，是因式分解的为( )
A.ma+mb-c=m(a+b)-c
B.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
C.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)
D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)
2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A.-a2+b2 B.-a2-b2 C.a2+b2 D.a3-b3
3.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q，那么p，q的值是( )
A.p=-5，q=6 B.p=1，q=-6 C.p=1，q=6 D.p=5，q=-6
4.(-a+b+c)(a+b-c)=[b-( )][b+( )].
5.若x-y=2，x2-y2=10，则x+y= .
6.若x+y=10，xy=24，则(x-y)2= .
7.若m2+2(k-1)m+9是完全平方式，则k= .
8.已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的展开式中不含x2项和x项，则m= ，n= .
9.若(x-2)0=1，则x应满足的条件是 .
10.化简.
(1)20002-1999×2001；
(2)(2x+7)(3x-4)+(3x+5)(3-2x).
11.分解因式.
(1)(a-2b)2-16a2； (2)x3-x2-4x+4.
12.若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于多少？
三、交流平台
1.(1)计算.
①(a-1)(a+1)； ②(a-1)(a2+a+1)；
③(a-1)(a3+a2+a+1)； ④(a-1)( a4+a3+a2+a+1).
(2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来；
(3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果.
①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)= ；
②若(a-1)·M=a15-1，求M；
③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)= ；
④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)= .
2.如图15－22所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推.

(1)填写下表；
层 数
1
2
3
4
5
6
各层对应的点数

所有层的总点数

(2)写出第n层对应的点数；
(3)写出n层的四边形点阵的总点数；
(4)如果某一层共有96个点，你知道它是第几层吗？
(5)有没有一层点数为100？
(二)
一、训练平台
1.下列各式中，计算正确的是( )
A.27×27=28 B.25×22=210 C.26+26=27 D.26+26=212
2.当x=时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )
A.- B.-18 C.18 D.
3.已知x-y=3，x-z=，则(y-z)2+5(y-z)+的值等于( )
A. B. C.- D.0
4.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4的值为( )
A.26 B.246 C.242 D.不能确定
5.(a+b)(a-2b)= .
6.(2a+0.5b)2= .
7.(a+4b)(m+n)= .
8.计算.
(1)(2a-b2)(b2+2a)； (2)(5a-b)(-5a+b).
9.分解因式.
(1)1-4m+4m2； (2)7x3-7x.
10.先化简，再求值.
[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=-1.5.
二、探究平台
1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为( )
A.(a-b)(a2+b2) B.(a-b)2(a+b) C.(a-b)3 D.-(a-b)3
2.下列计算正确的是( )
A.a8÷a2=a4(a≠0) B.a3÷a4=a(a≠0)
C.a9÷a6=a3(a≠0) D.(a2b)3=a6b
3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )
A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1) B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)
C.2xn+x3n=xn(2+x3) D.-x2=(1+2x)(1-2x)
4.分解因式：-a2+4ab-4b2= .
5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是 .
6.(3x3+3x)÷(x2+1)= .
7.1.22222×9-1.33332×4= .
8.计算.
(1)；
(2).
9.分解因式.
(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；
(2)x4-81x2y2.
10.+x(1+)，其中x=-1.
三、交流平台
1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.

2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.
3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.
4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.

参考答案
一、1.D 2.A 3.B 4.B 5.10a+b 6.ab 7.-2 8.-a5b7
9.m2-4n2 -3y-7x x2+2x-8 24xy
10.(1)原式=26n+12m； (2)原式=13-24x2.
11.解：(1)原式=m2n(m-n)2+4mn(m-n)=mn(m-n)[m(m-n)+4]
=mn(m-n)(m2-mn+4).
(2)原式=(x+y-8)2.
12解：a2+b2-2a-4b+8
=(a2-2a+1)+(b2-4b+4)+3
=(a-1)2+(b-2)2+3.
∵(a-1)2≥0，(b-2)2≥0，
∴(a-1)2+(b-2)2+3＞0，
∴原式＞0，
即a2+b2-2a-4b+8的正数.
二、1.D 2.A 3.A 4.a-c a-c 5.5 6.4 7.4或-2 8. 9.x≠2
10.(1)原式=1；(2)原式=12x-13.
11.解：(1)原式=(a-2b+4a)(a-2b-4a)=(5a-2b)(-3a-2b)
=-(5a-2b)(3a+2b).
(2)原式=(x3-x2)-(4x-4)=x2(x-1)-4(x-1)
=(x-1)(x2-4)=(x-1)(x+2)(x-2).
12解：∵3x3-x=1，
∴9x4+12x3-3x2-7x+2004
=3x(3x3-x)+4(3x3-x)-3x+2004
=3x×1+4×1-3x+2004
=2008.
∴9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于2008.
三、1.(1)①原式=a2-1；②原式=a3-1；③原式=a4-1；④原式=a5-1.
(2)(a-1)(an+an-1+an-2+…+a3+a2+a+1)=an+1-1.
(3)①a10-1 ②M=a14+a13+a12+a11+…+a3+a2+a+1 ③a6-b6 ④32x5-1
2.(1)4，8，12，16，20，24；4，12，24，40，60，84 (2)4n (3)2n(n+1) (4)第24层 (5)有，第25层
(二)
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.a2-ab-2b2 6.4a2+2ab+0.25b2 7.am+an+4bm+4bn
8.(1)4a2-b4. (2)-25a2+10ab-b2. 9.(1)(1-2m)2. (2)7x(x+1)(x-1).
10.解：原式=(x-y)[(x-y)+(x+y)]÷2x=(x-y)·2x÷2x=x-y.
当x=3,y=-15时，原式=3-(-1.5)=4.5.
二、1.A 2.C 3.D 4.-(a-2b)2 5.8或-2 6.3x 7.6.3332
8.(1)解：
=
=
=
=1234567890.
(2)解：
=
=
=
=.
9.(1)(x-m)2(y-m). (2)x2(x+9y)(x-9y)
10.原式=+x·
=x+1+x+1=2x+2.
当x=-1时，原式=2(-1)+2=2.
三、1.提示：S=a2-b2，当a=2,b=0.8时，S=3.36
2.解：令x3+kx+6=(x+3)(x2+ax+b)，
x3+kx+6=x3+(3+a)x2+(3a+b)x+3b，
则有3+a=0，3a+b=k,3b=6,
所以a=-3，b=2,k=-7,
所以x3-7x+6=(x+3)(x2-3x+2)=(x+3)(x-1)(x-2).
3.解：x3+x2y+xy2+y3
=x2(x+y)+y2(x+y)
=(x+y)(x2+y2)=0.
4.解：4m2+12m+25+9n2-24n=4m2+12m+9+16+9n2-24n=(2m+3)2+(3n-4)2.
因为(2m+3)2≥0,(3n-4)2≥0,
所以(2m+3)2+(3n-4)2≥0,
即无论m，n为何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值恒为非负数.