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第4讲 因式分解（二）
【知识精读】
1、分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
2、 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ）
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式
故选择C
例2. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：
解法2：
2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足
证明：以a、b、c为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
证明：
3. 在方程中的应用
例：求方程的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解
解：
4、中考点拨
例1.分解因式：_____________。
解：
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：____________
解：
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：____________
解：
说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：
解：
说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：，求ab+cd的值。
说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。
解一（拆项）：
解二（添项）：
说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：
例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。
（2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得：
此时，原式
2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足
，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解：
或
又
解得：或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一：
∵是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）
∴是7的倍数
而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。
证明二：∵是7的倍数，设（m是整数）
则
又∵
∵x，m是整数，∴也是整数
所以，是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把分解因式的结果是________________。
解：
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
因式分解：_______________
解：
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 2
解：
-6可分解成或，因此，存在两种情况：
由（1）可得：，由（1）可得：
故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。
求证：
证明：
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。
解：有一因式
∴当，即时，
说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。
【实战模拟】
1. 填空题：
2. 已知：
3. 分解因式：
4. 已知：，试求A的表达式。
5. 证明：
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1） （2）
（3）
2. 在多项式，哪些是多项式的因式？
3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：
5. 已知：，求的值。
【试题答案】
1. （1）解：
（2）解：
（3）解：
3. 解：
4. 解：
5. 证明：
【试题答案】
1.
（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
2.
解：
∴其中是多项式
的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.
解：设
则
解得：
且
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设
比较同类项系数，得：
解得：
5.
解：
说明：用因式分解可简化计算。
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