初中数学谈数据的变化对方差、标准差的影响专题辅导.doc

谈数据的变化对方差、标准差的影响
王辉

一组数据有规律地变化，对它的方差和标准差有何影响？让我们一起来探究探究吧！
例1 求下列各组数据的方差和标准差，并将（2）、（3）、（4）中的计算结果分别与（1）中的计算结果相比较.你能得到什么结论？
（1）1,2,3,4,5,6,7,8,9；
（2）11,12,13,14,15,16,17,18,19；
（3）10,20,30,40,50,60,70,80,90；
（4）3,5,7,9,11,13,15,17,19（提示：数据3,5,…，19可分别看成是2×1＋1,2×2＋1,…2×9＋1）.
解：（1）

（2）同（1），解得
（3）同（1），解得
（4）同（1），解得
从上面的计算不难看出：如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差是s2，标准差是s，那么，新数据x1+b，x2+b，…，xn+b（b为任意常数）的平均数为+b，方差、标准差不变；新数据ax1，ax2，…，axn（a为任意常数）的平均数为，方差是a2s2，标准差是|a|s；新数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b（a、b为任意常数）的平均数为a+b，方差是a2s2，标准差是|a|s．
理解并掌握这些规律，对我们解题是非常有益的．这些规律的证明，只要按有关的定义就可得到，这里从略，同学们可以试试．

例2 如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差是s2，则数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数与方差分别是（ ）．
A、和s2 B、2和s2 C、2+3和4s2 D、2+3和4s2+12s+9
解：利用规律“如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差是s2，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b（a、b为任意常数）的平均数为a+b，方差是a2s2”可直接得出答案．应选C．
评注：当由原来数据的平均数或方差，去求与原数据紧密联系的且有一定规律的新数据的平均数或方差时，运用上面所总结出的规律去处理十分方便．
练习 1、一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为8，求新数据xl-5，x2-5，x3-5，x4-5，x5-5的平均数和方差．
2、一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a，方差为b，求数据4x1-1，4x2-1，…，4xn-1的平均数和方差．

参考答案：
1、平均数为-5，方差为8． 2、可注意到4xk-1=4（xk+3）-13，k=1，2，…，n．平均数为4a-13，方差为16b．