八年级数学上册 全等三角形全章复习(2)教案 人教新课标版.doc

课 题
全章复习（二）——运动变化问题
时间

教学目的
1、熟练应用三角形全等的四种判定方法进行推理证明.
2、培养学生用运动变化的观点解决问题的能力，提高学生的空间想象能力.
3、培养学生通过观察、测量、归纳等获得数学猜想的能力，渗透分类讨论思想.
教学重点
熟练应用三角形全等的四种判定方法进行推理证明.
教学难点
用运动变化的观点解决问题.
教学手段
讲练结合
教 学 过 程
一、新课
(六)动态几何问题
动态几何问题的探究，常用类比的思想方法.
动态几何题是指随着图形的某一个（或几个）元素的运动变化，导致问题的结论改变或保持不变的几何题.
例1、如图，有一Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条
线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的
射线AM上运动. 问：P点运动到AC上什么位置时，△ABC
才能和△APQ全等？
分析：△ABC和△APQ都是直角三角形，且斜边相等，那么若想要这
两个三角形全等，只需再有一组直角边对应相等即可，而题目没
有明确两个三角形的对应关系，则需要分类讨论：
可能出现的情况有：①PA是△APQ的短直角边，与△ABC中的BC对应相等；
②PA是△APQ的长直角边，与△ABC中的AC对应相等.
M
这两种情况成立吗？画图并结合数据、课件分析.
结论：(1)当点P与点C重合时，△ABC≌△PQA；
(2)当点P运动到AC中点时，△ABC≌△QPA.
证明：(1) 当点P与点C重合时
∵MA⊥CA
∴∠QAP=90°
在Rt△ABC和Rt△PQA中
M

∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）
(2) 当点P运动到AC中点时
∵P是AC中点，AC=10cm（已知）
∴AP=AC=5cm
∵BC=5cm
∴BC=PA
在Rt△ABC和Rt△QPA中

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）
小结：在运动变化的过程中，注意对特殊位置的讨论（如端点）.
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l 的垂线AE、BF，E、F分别为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.
(2)将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位
置时，EF、AE、BF之间的关系：①AD>BD；②AD<BD.
分析：(1)当有多个直角时，常用同角的余角相等为三角形全等提供角相等的条件.
(2)先让学生画出第(2)问中相应的两个图形，再证明.
(1) 证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF
∴∠1=∠2=90˚（垂直定义）
∴∠3+∠4=90˚
∵∠ACB=90°
∴∠5+∠4 =90˚
∴∠3=∠5（同角的余角相等）
在△ACE和△CBF中

∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE=CF，EC=FB（全等三角形的对应边相等）
∵EF=CF+EC
(2)②
(2)①
∴EF=AE+BF（等量代换）

(2) ①当l交AB于D，且AD>BD时，EF=AE-BF；
②当l交AB于D，且AD<BD时，EF=BF-AE.
小结：解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：
(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
(2)图形在变化过程中，弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；
(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.
二、课堂小结
1、动态几何问题的解决方法（见上面小结）；
2、在运动变化的过程中，注意对特殊位置的讨论（如端点）.
三、课堂练习（机动）
如图，△ABC中，BC=AC，△DEC中，EC=DC，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE、AD.
(1)求证：BE=AD.
(2)若将△DEC绕点C旋转使点E落在线段AC上，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？
(3)若将△DEC绕点C旋转使点D落在射线BC上，其余条件不变，BE与AD还相等吗？ 为什么？
(3)答案图
(4)若将△DEC绕点C顺时针旋转，在整个旋转过程中BE与AD相等吗？
(2)答案图

四、作业
目测：

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