资源描述
矩形的性质及判定
一、内容及其分析
1、主要内容：距形、正方形的概念、性质和判别条件。
2、内容分析：
本节课要学的内容是距形、正方形的概念、性质和判别条件，指的是在直观操作活动和简单的说理过程中发展合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法，其核心是提高对矩形、正方形的性质和判别在实际生活中的应用能力，理解它关键就是要利用其是特殊的平行四边形的特性使它的性质和判断融入具体的图形中。学生已经学过平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，本节课的内容距形的概念、性质和判别条件就是在此基础上的发展。由于它还与三角形有直接的联系，所以在本学科有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握，正方形的性质的应用，解决重点的关键是直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。。
二、目标及其解析
1．目标定位：
（1）掌握矩形、正方形的概念、性质和判别条件. 弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
（2）提高对矩形、正方形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
（3）正确运用矩形、正方形的性质解题。
2、目标解析：了解掌握矩形、正方形的概念、性质和判别条件.就是指能用其性质和判断解决实际问题。
三、问题诊断与分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对矩形、正方形的性质和判别理解，产生这一问题的原因是对前面特殊四边形的性质和判断的不很了解。要解决这一问题，就要在直观操作活动和简单的说理过程中发展合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法，其中关键是利用其是特殊的平行四边形的特性使它的性质和判断融入具体的图形中。
四、教学支持条件分析
五、教学过程设计：
问题1:给出活动的平行四边形教具，请学生观察
当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，
会形成怎样的特殊图形情况．（进行演示，
如图）进而引入本节课的主题——矩形、正方形 主要环节：
（1）根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义。
（2）寻找生活中的矩形。
（3）探索矩形的性质。
（4）通过练习，加强学生对矩形性质的理解。
（5）矩形的判定。
（6）从对称的角度再认识矩形。
设计意图：
矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到。但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形。随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度。
师生活动：
1、对矩形性质的探索，采用了类比的方式，在平行四边形性质的基础上加强件。在讨论的过程中，进一步得到了直角三角形的一个性质（斜边上的中线等于斜边的一半）
2、通过将性质“反过来”的方法（逆命题），得到矩形的判定条件。
问题2:
拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
（2）当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
设计意图：采用逆命题的方式得到矩形的一个判定方法，进一步总结矩形的两个判别方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
师生活动：
（1）当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．
（2）当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等．
归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分；
矩形是轴对称图形.
例1：如图在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD
相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 cm．
（1）判定△AOB的形状；
（2）求对角线的长。
分析：要判定△AOB的形状，由于∠AOB=60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA=OB．即△AOB是全等三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得出结论．
要求对角线的长可直接应用矩形的性质．
解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OA=OB．
又∠AOB=60°，可知△AOB是等边三角形．
（2）OA=AB=4cm，DB=CA=2OA=8cm．
因此：对角线的长为8cm.
提问：对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？与同伴交流．
（对角线相等的平行四边形是矩形．）
如图，在 ABCD中，AB=CD，BD=AC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴2∠ABC=180°，即∠ABC=90°
∴ABCD是矩形．
∴对角线相等的平行四边形是矩形．
问题3：
① 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
② 如果不是，简述你的理由.
② 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能
用矩形的有关性质解释这结论吗？（进一步得到一个关
于直角三角形的性质。）
问题4：呈现一个平行四边形变成正方形的全过程．（演示）
由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形．这个变化过程，可用如下图表示
由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形．即：一组邻边相等的矩形叫做正方形．
这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形．
这个变化过程，也可用图表示
你能根据上面的变化过程，给正方形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形．
由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形．
因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
正方形的性质：
边：对边平行、四边相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线．
例题
［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数．
分析：本题是正方形的性质的直接应用．正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性．
解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°
拿出准备好的剪刀、白纸来做一做
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠，想，剪切）
只要保证剪口线与折痕成45°角即可．因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形．
正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？它们的包含关系如图：
此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．
正方形的定义：一组邻边相等的矩形．
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板）
六、课堂小结：
1、通过本节课的学习,你有什么收获?
2、矩形的概念、性质和判别条件你知道吗?
3、正方形的概念、性质和判别条件你知道吗?
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