资源描述
27.3 位 似
1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.
2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
3.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.
4.能利用以原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.
5.能运用位似原理作出位似图形.
1.学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流,体验探索得出结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.
3.在探究活动中,让学生感受、体会几何图形之美,提高对数学美的认识.
4.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合的思想方法在解题中的应用.
1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.
2.经历将一个图形放大或者缩小的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.
3.进一步提高合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.
【重点】
1.位似图形的有关概念、性质及作位似图形.
2.运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.
【难点】
1.利用位似图形将一个图形放大或缩小.
2.把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.
第课时
1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.
2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
1.学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流,体验探索得出结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.
1.使学生亲身经历位似图形的概念的形成过程和位似图形、位似变换的性质的探索,感受数学学习的应用性和挑战性.
2.经历将一个图形放大或者缩小的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.
3.通过探究等数学活动,让学生感受成功的快乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数学的信心.
【重点】
位似图形的有关概念、性质及作位似图形.
【难点】
利用位似图形将一个图形放大或缩小.
导入一:
【欣赏图片】
【师生活动】 教师用多媒体出示图片,引出课题,学生观察思考各图片中的两个图形有什么共同特征.
导入二:
【复习提问】
(1)什么是相似图形?
(2)相似图形的性质是什么?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
导入三:
图中有相似多边形吗?如果有,这种相似有什么特征?
【师生活动】 学生观察、思考,小组合作交流,共同归纳总结图形特征,教师用多媒体出示图片,适当点拨,让学生大胆猜想、归纳.
[设计意图] 先由生活图片导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,教师很自然地导出课题,然后复习相似三角形的概念和性质,为本节课的学习做好铺垫,最后再观察思考、交流课本中的几何图形,通过归纳相似的特征,很流畅地归纳出位似的概念.
[过渡语] 我们可以得到以上多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样特殊的相似图形就是我们今天要探究的内容.
一、位似图形的概念
【课件展示】 如果两个相似多边形的对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.
【思考】
(1)位似图形一定是相似图形吗?反之成立吗?
(位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形,位似图形是特殊的相似图形)
(2)如何判断两个图形是位似图形?
(首先判定两个图形是相似图形,其次判定每一对对应点所在的直线都经过同一点)
(3)判断下列图形是不是位似图形?
【师生活动】 学生独立思考回答,教师适当点评.
二、位似图形的性质
思路一
如图的两组多边形是位似图形,观察思考.
(1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?
(2)在各图中,对应点到位似中心的距离与两个图形的相似比有什么关系?
(3)在各图中,两个图形中的对应线段有什么位置关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流讨论,小组代表展示本小组成果,教师巡视时辅导个别学生,对学生的展示给予鼓励和表扬,师生共同归纳位似图形的性质.
【课件展示】
(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.
(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.
(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.
思路二
教师引导,共同分析归纳.
如图(同思路一图),两组多边形都是位似图形,思考回答.
(1)图(1)中的两个位似图形在位似中心的 ,图(2)中的两个位似图形在位似中心的 ,故位似图形和位似中心的位置关系是 .
(2)各图中两个图形的对应边的位置关系是 .(教师举例说明位似的对应边可能在同一条直线上)
(3)各图中OAOA', OBOB',OCOC'之间的数量关系是 ；它们与两个图形的相似比之间的数量关系是 ；故用语言叙述为 .
【师生活动】 学生在教师的问题下思考、回答,教师点拨,共同归纳总结.
【课件展示】
(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.
(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.
(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.
[设计意图] 通过师生合作,经历探索位似图形的性质的过程,理解并掌握位似图形的性质,为后面学习画图做好铺垫,同时提高学生分析问题的能力和归纳总结的能力.
三、 将图形放大或缩小
[过渡语] 根据位似图形的性质,我们可以将一个图形放大或缩小,让我们一起尝试画出下面的图形吧!
如图,将四边形ABCD缩小为原来的12.
思路一
【教师温馨提示】 将四边形缩小为原来的12,可以画出与该四边形相似比为1∶2的位似图形,利用位似图形的性质可以将图形放大或缩小.
【师生活动】 学生独立思考,尝试画图后,小组合作交流,小组代表展示自己的画法,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,并对学生的展示给出点评.
【教师继续提示】 位似图形一定在位似中心的同侧吗?尝试画出位似图形在位似中心异侧的图形.
【课件展示】 作法:如图.
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过O点分别作射线OA,OB,OC,OD；
(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得OA'OA=OB'OB=OC'OC=OD'OD=12；
(4)顺次连接A',B',C',D'.
所得的四边形A'B'C'D'就是所求作的四边形.
类似的方法可以画出在位似中心异侧的位似图形,如图.
当位似中心选取在四边形内部时,画出的图形如图.
归纳作位似图形的一般步骤:
(1)确定位似中心,画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.
(2)找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.
(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点,顺次连接所得的关键点,得到新的图形.
(4)写出作图的结论.
思路二
教师引导思考:
(1)利用位似图形可以将一个图形放大或缩小吗?放大或缩小的比例与两个图形的相似比有什么关系?
(利用位似图形可以将图形放大或缩小,放大或缩小的比例与相似比相等)
(2)根据位似图形的性质,对应点到位似中心的距离比有什么数量关系?
(位似图形对应点到位似中心的距离比等于相似比)
(3)如何选取位似中心的位置?与四边形有什么位置关系?
(平面上任意一点,可能在图形内部,也可能在图形外部,还可能在图形的边上)
(4)如何选取缩小后图形的各个顶点?
(连接位似中心和各个顶点,根据对应点到位似中心的距离比等于相似比得到各顶点)
(5)顺次连接各顶点可得所求作的四边形.
【师生活动】 学生在教师的引导下思考,然后独立完成画图,教师及时发现学生画图中出现的错误,并及时纠正,强调易错点.
【课件展示】
归纳画位似图形的方法:
(1)确定位似中心；
(2)对应点与位似中心的距离比相等,且等于相似比.
[设计意图] 教师提出问题,引导画图方法,让学生独立完成画图,或学生通过合作交流,共同探究、归纳画图方法,培养学生的作图能力与语言表达能力,体验成功的快乐,增强学习数学的信心.
[知识拓展] (1)位似是一种具有特殊位置关系的相似.两个图形是位似图形,必定是相似图形,而两个图形是相似图形,不一定是位似图形.
(2)位似中心可以在两个图形内部,两个图形之间,两个图形的同一侧,也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.
(3)利用位似,可以将一个图形放大或缩小.
(4)平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形位似.
(5)作位似图形时,要弄清相似比.
(6)一般情况下,作已知图形的位似图形的结果不唯一.
1.位似图形的概念.
2.位似图形与相似图形的关系:位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形.
3.位似图形的性质:位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.
4.画位似图形: 确定位似中心；对应点与位似中心的距离比相等.
1.下列说法:①相似图形一定是位似图形；②位似图形一定是相似图形；③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的,且相似比相等.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为 ( )
A.3∶1 B.1∶3 C.1∶9 D.1∶27
3.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的周长是3,则△A'B'C'的周长是 .
4.如图,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点 .
5.如图,顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形,已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位长度,在图中选择适当的位似中心,画一个与格点△DEF位似且相似比不等于1的格点三角形.
【答案与解析】
1.C 解析:利用位似的定义可知,位似图形一定是相似图形,因为它是一种特殊的相似,但是相似图形不一定是位似图形,所以①错误,②正确；两个位似图形若全等,根据对应点一定相交于一点,可得到位似中心在两个图形之间,③正确；④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C',画出图形,可得它们也是位似的,④正确.所以②③④正确.故选C.
2.B 解析:由△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,得△ABC和△A'B'C'的对应边AB与A'B'的比为1∶3.故选B.
3. 6 解析:由△ABC与△A'B'C'是位似图形,且相似比是1∶2,得△ABC与△A'B'C'的周长比是1∶2.又△ABC的周长是3,所以△A'B'C'的周长为6.
4.B 解析:因为位似图形的对应点的连线相交于一点,即位似中心,所以位似中心为B点.
5.解:答案不唯一.如图的△DE'F'就是符合题意的一个三角形.
第1课时
1.位似图形的概念
2.位似图形的性质
3.将图形放大或缩小
例题
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列关于位似图形的表述:
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一点,那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.
其中正确的是 ( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②③④
2.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.如图的图形中是位似图形的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.如图,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是 ( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MNC.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
5.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于 .
6.如图,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA',S△ABC=9,则
S△A'B'C'= .
7.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图).现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 .
8.如图,电影胶片上一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S距胶片20 cm,那么光源S距屏幕 m时,放映的图像刚好布满整个屏幕.
【能力提升】
9.如图,△OAB和△ODC是位似图形.
(1)AB与CD平行吗?请说明理由.
(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.
【拓展探究】
10.如图,在边长为1的正方形网格中,有形如帆船的图案①和半径为2的☉P.
(1)将图案①进行平移,使A点平移到点E,画出平移后的图案；
(2)以点M为位似中心,在网格中将图案①放大为原来的2倍,画出放大后的图案,并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD；
(3)在(2)所画的图案中,线段CD被☉P所截得的弦长为 .(结果保留根号)
【答案与解析】
1.A解析:①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,故①错误；②位似图形一定有位似中心,故②正确；③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一点,那么这两个图形是位似图形,故③正确；④位似图形上任意对应点与位似中心的距离之比等于相似比,故④错误.正确的为②③.故选A.
2.D解析:∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,△ABC的面积是3,∴△ABC与△A'B'C'的面积比为1∶4,则△A'B'C'的面积是12.故选D.
3.D解析:根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行(或共线),所以位似图形是(1)(2)(4).故选D.
4.B解析:∵正五边形FGHMN与正五边形ABCDE是位似图形,∴DEMN=ABFG=23,∴3DE=2MN.故选B.
5.6解析:根据题意知△ABC与△DEF位似,且AB∶DE=2∶3,AB=4,∴DE=6.故填6.
6.814解析:△ABC与△A'B'C'是位似图形,由OA=2AA',可得两位似图形的相似比为2∶3,∴两位似图形的面积比为4∶9.又S△ABC=9,∴S△A'B'C'= 814.
7.25解析:观察图形可得三角尺与它的影子是位似图形,∵OA=20, OA'=50,
∴三角尺的周长影子的周长=OAOA'=25.故填25.
8.807解析:设屏幕距光源Sx cm,则x20=2003.5,所以x=80007，80007 cm=807 m.故填807.
9.解:(1) AB∥CD.理由如下:∵△OAB与△ODC是位似图形,∴△OAB∽△ODC.∴∠A=∠D,
∴AB∥CD.
(2)∵OB∶OC=3∶4,△OAB∽△ODC,∴OB∶OC=OA∶OD,∴3∶4=OA∶3.5,解得OA=218.△OAB与△ODC的相似比为3∶4.
10.解:(1)平移后的图案,如图. (2)放大后的图案,如图. (3)线段CD被☉P所截得的弦长为23.
本节课让学生观察生活的图片及教材中多边形的图片,通过思考图片的共同点,师生共同得出位似图形的概念,激发学生的兴趣和求知欲.探索位似图形的性质的过程中,以教师提出的问题为指导,通过小组合作交流,归纳总结位似图形的性质,提高了学生分析问题、解决问题的能力,为进一步探索将图形放大或缩小提供了理论依据,在整个探究过程中,学生是课堂的主人,学生在课堂上享受到成功的快乐.画位似图形,由教师先提出问题,学生讨论,通过展示不同成果让学生体会思考问题要全面,最后归纳总结画位似图形的方法,培养学生归纳总结能力.
本节课的重点是位似图形的概念、性质及作图方法,在课堂上注重探究知识的形成过程,不是单纯地记忆结论,所以为了让学生交流时有目的,设计的问题较多,不能培养学生的发散思维和创造力,同时在每个探究活动中都设计了小问题,造成探索交流结论的思考时间过长,导致后面的画图处理得有些仓促,部分学生没有真正把握位似中心位置的选取.
本节课以学生欣赏生活图片导入新课,激发学生学习兴趣,学生观察两个图形的共同特征,除了相似以外,对应顶点所在的直线交于一点,自然地引出位似图形的概念,然后让学生经历观察、讨论、归纳等数学活动探索位似图形的性质,培养学生的创新意识及与他人合作的能力,最后让学生经历作图的过程,增强学生的动手操作能力,并让学生体会位似中心的位置选取不同,画出的图形位置不同,培养学生用多种方法解决问题的能力.
(1)本节课的重点是探究位似图形的概念、性质及画位似图形,教学导入环节设计学生欣赏图片,通过观察、讨论、归纳等数学活动,形成位似图形的概念.动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式,本节课导出位似图形的概念后,探究位似图形的性质和画图,以学生的实践活动为主线展开,充分为学生提供动手实践、合作交流、探索的机会,而在具体的实施过程中,教师又给予了必要的引导与启发,使学生的探索方向变得清晰,目的更加明确,真正体现了教师为主导、学生为主体的教学理念.特别是在探究位似图形性质的时候,通过学生自己动手主动探究,不仅更好地促进学生对知识点的理解,并且有效地激发了学生的学习兴趣和热情,有利于培养其主动学习的习惯,学生经历知识的形成,提高学生分析问题、解决问题的能力.
(2)数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授获取的,而是通过学生作为主体,在教师设计的各种数学活动中,通过小组合作交流的途径共同探究,最终获得数学知识并进行应用,所以教学设计中把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,为学生提供展示自己的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.
(3)由感性认识上升到理性思考,透过具体现象抽象出事物本质是人们认识事物的普遍规律,因此在引入新课时,通过动画演示相似三角形对应点连线相交于一点的现象,帮助学生从感性材料中提炼出位似图形的定义.与此同时,利用几何画板为学生搭建自主探究的平台,降低学生理解抽象概念的难度,进而使其对性质理解得更透彻.
如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题.
(1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称,请在图中画出对称轴并标注相应字母M,N.
(2)以图中O点为位似中心,将图形ABCD放大为原来的2倍,画出放大后的图形A2B2C2D2,则图形ABCD与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少?
(3)求图形A2B2C2D2的面积.
解:(1)对称轴MN，如图.
(2)如图的图形A2B2C2D2,对应边的比为1∶2.
(3)图形A2B2C2D2的面积为12×B2D2×A2C2=12×4×8=16.
第课时
1.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.
2.能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.
3.能运用位似原理作出位似图形.
1.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.
2.通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同,进一步理解图形变换的区别.
3.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合思想方法在解题中的应用.
1.使学生亲身经历坐标系下位似变换的基本原理,感受数学学习的应用性和挑战性.
2.经历坐标系下画位似图形的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.
3.进一步体验合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.
【重点】
运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.
【难点】
把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 画两个带网格的平面直角坐标系.
导入一:
【复习提问】
(1)什么是位似图形?位似图形有什么性质?
(2)如何把一个图形放大或缩小?
(3)作位似图形需要注意什么?
【师生活动】 学生思考回答,教师点拨并补充.
导入二:
完成下列作图.
如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).
(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标；
(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2,B2,C2的坐标；
(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出点A3,B3,C3的坐标.
【师生活动】 学生通过平移、对称、旋转的规律回答变化后的坐标,教师点评,导入新课.
[过渡语] 在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平移、旋转、对称等变换,类似地,位似作为一种图形变换,也可以用图形坐标之间的关系来表示,这就是我们今天要探究的内容.
[设计意图] 通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似的兴趣.
一、 位似图形的坐标
(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为13,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?
(2)如图,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?
思路一
【师生活动】 学生在课前准备的坐标系下动手画图,然后小组交流结果.教师在巡视过程中及时关注和提醒学生画出的位似图形是否有两种,对学生展示的结果点评.
观察各对应顶点坐标之间的关系,小组合作交流,师生共同归纳结论.
【问题】 运用这个规律时有什么限制?
一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
思路二
教师引导思考、操作、演示.
(1)在坐标系下画以原点为位似中心的图形,你能画出几个?如何画?(如图)
（1） （2）
(2)在课前准备的坐标系下分别画出位似图形.
(3)图(1)中点A',B'的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?
(利用相似可得点A',B'的横、纵坐标是点A,B的横、纵坐标的13)
(4)图(1)中点A″,B″的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?
(利用相似可得点A″,B″的横、纵坐标的绝对值是点A,B的横、纵坐标的13)
(5)在图(2)中点A″,C'的横、纵坐标与点A,C的横、纵坐标之间有什么关系?
(6)你能归纳关于原点对称的图形各对应顶点坐标之间的关系吗?
【师生活动】 学生在教师的引导下,画出图形,证明对应顶点之间的关系,最后归纳总结结论,教师引导学生思考,对画图及回答作出点评,然后课件展示图形变化过程中坐标之间的变化,最后师生共同归纳总结结论.
【课件展示】 一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
[设计意图] 学生通过动手操作画出图形,通过观察、讨论,得出以原点为位似中心的图形的对应点之间的坐标规律,学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,增强学生学习数学的自信心,同时培养学生归纳总结能力,体会从特殊到一般及数形结合在数学中的应用.
二、例题讲解
如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心,画一个三角形,使它与△ABO的相似比为32.
【思考】 (1)所要画的是三角形,所以解决问题的关键是确定哪些点的坐标?
(2)确定这些点的坐标与已知点的坐标之间有什么关系?如何确定这些点的坐标?
【师生活动】 学生独立思考后,画出图形,小组交流答案,学生展示结果,教师点评.
【追加提问】 你能总结画一个图形以原点为位似中心的位似图形的步骤吗?
学生小组交流,教师补充,归纳画图步骤:
(1)根据以原点为位似中心的图形坐标变化规律,求出各顶点的坐标；
(2)在坐标系下根据各顶点坐标描出各点；
(3)依次连接各顶点可得所求作的图形.
如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),求这两个正方形的位似中心的坐标.
【教师引导分析】
(1)两个位似图形的特征是什么?
(每对对应点与位似中心共线；对应线段平行或在同一条直线上)
(2)位似中心的位置有几种?哪几种?
(两种,位似图形在位似中心的同侧或异侧)
(3)观察图形,当位似中心在位似图形同侧时,位似中心是不是在特殊直线上?
(DG,AO在x轴上,故位似中心在x轴上)
(4)当位似中心在位似图形同侧时,位似中心还在哪条与已知有关的直线上?
(过对应点C,F所在的直线上或过对应点B,E所在的直线上)
(5)当位似中心在位似图形同侧时,如何求位似中心的坐标?
(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)
(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时,位似中心在什么位置?
(直线不唯一.直线OC,DE的交点)
(7)当位似中心在位似图形异侧时,如何求位似中心的坐标?
(求直线OC与直线DE的交点坐标,直线不唯一)
解:①当两个位似图形在位似中心同侧时,位似中心就是CF与x轴的交点.
设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(-4,2),F(-1,1)的坐标分别代入,得-4k+b=2,-k+b=1.
解得k=-13,b=23.
即y=-13x+23,令y=0得x=2,
∴位似中心的坐标是(2,0).
②当位似中心在两个正方形之间时,
可求直线OC的解析式为y=-12x,直线DE的解析式为y=14x+1,
得y=-12x,y=14x+1.
解得x=-43,y=23.
即位似中心的坐标为-43,23.
∴位似中心的坐标为(2,0)或-43,23.
[设计意图] 通过例题,巩固位似图形对应点的坐标之间的关系,让学生感受运用新知识解决问题的简捷性,从而获得成功感；例题2是用坐标描述位似图形的拓展,让学生体会位似中心不在坐标原点的有关计算,开阔了学生视野,加强学生对前后知识之间的联系,体会数形结合思想在数学中的应用.
三、平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同
[过渡语] 我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式,你能在下图的图案中找到它们吗?四种变换有什么异同?
【师生活动】 学生小组合作交流后回答,教师对学生的回答点评,观察角度不同,学生的答案也不同.
【四种变换的异同】 图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的；而图形经过位似变换后,图形是相似的.
[设计意图] 设计开放性的题目让学生回顾思考各种图形变换,并归纳异同,将平移、旋转、轴对称和位似联系,完善认知结构,与课前导入首尾呼应,使教学过程通顺、流畅.
[知识拓展] (1)以原点为位似中心的位似变换,其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x,y)位于位似中心同侧的对应点P1(kx,ky)；与P(x,y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx,-ky).当k>1时,是将图形扩大；当0<k<1时,是将图形缩小.
(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.②轴对称变换,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数.④位似变换中,当以原点为位似中心时,变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.
1.位似变换中对应点坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
2.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同.
1.如图,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是( )
A.(-3,-3) B.(-3,-4) C.(-4,-4) D.(-4,-3)
2.已知线段AB和CD,依据下列点的坐标,能判断AB和CD是以原点为位似中心的位似图形的是 ( )
A.A(2,3),B(-1,1),C(4,3),D(-2,1)
B.A(1,-5),B(-1,-2),C(1,-10),D(-1,-4)
C.A(-4,5),B(2,-2),C(4,5),D(-2,-2)
D.A(2,0),B(-1,0),C(-4,0),D(2,0)
3.如图,原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心,点A(1,0)与A1(-2,0)是对应点,△ABC的面积是32,则△A1B1C1的面积是 .
4.如图的小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,请完成以下问题.
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),则B点的坐标为 ；
(2)以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍,画出放大后的
△A'B'C'.
【答案与解析】
1.D 解析:∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,根据位似图形的性质,对应点的连线相交于一点,连接BB1,CC1,交点即是P点,如图,∴P点的坐标为(-4,-3).故选D.
2.D 解析:根据以原点为位似图形的坐标特征,可得C,D点横、纵坐标为A,B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.
3. 6 解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心,点A(1,0)与A1(-2,0)是对应点,
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为12.由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得△A1B1C1的面积是32×4=6.故填6.
4.解:(1)∵A(2,3),C(6,2),
∴可得如图的平面直角坐标系.
∴点B的坐标为(2,1).
(2)∵以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍,
∴A'(4,6),B'(4,2),C'(12,4),如图.
第2课时
1.位似图形的坐标
2.例题讲解
例1
例2
3.平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换的是 ( )
A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变
B.将各点的横坐标乘2,纵坐标不变
C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2
D.将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2
2.如图,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大为原来的2倍,得到△OA'B'.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是 ( )
A.(2,4) B.(-1,-2)C.(-2,-4) D.(-2,-1)
3.如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为13,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为 ( )
A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)
4.在平面直角坐标系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为12,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是 ( )
A.(-2,1) B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
5.如图是△AOB和△COD,它们是位似图形,则△COD与△AOB的相似比是 .
6.△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,则A'点的坐标为 ,B'点的坐标为 .
7.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶2,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为 .
【能力提升】
8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是 .
9.如图，在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐标为 .
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出
△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即S△A1B1C1∶S△A2B2C2=
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