八年级数学上册 15.2.1《平方差公式》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
15.2.1 平方差公式
（新授课）
【理论支持】
《数学课程标准》指出：数学课程的内容不仅要包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程。其中“过程“大体包含两方面：①发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题。 ②在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理，从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的，通过这个过程的学习和应用数学。在一个充满探索的过程中，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。
重视过程的数学课程，“数学知识“的总量肯定比以往要减少，而且探索的经历意味着学生要面临很多困惑、挫折，甚至失败。学生也可能在花了很多时间和精力之后结果并不理想，但这些是学生生存、成长、发展、创新所必须经历的过程，在这样的过程中耗费的时间和精力可以说是值得付出的代价，因为留给学生的可能是一些对他们终生有用的东西，是一种难以言说的丰厚回报。
《整式》是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容的需要，是学习因式分解、分式、根式运算、函数、一元二次方程等知识的基础，同时也是学习物理化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。
本节课研究的内容是“平方差公式”，该内容是在学习整式乘法的基础上得到的。学习“平方差公式”的过程是探讨知识发生的过程，学生们一起研究如何经过由具体到抽象概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领悟到数学的思想和方法。
通过本节课的研究，使学生领会平方差公式有几何意义。平方差公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆。在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所用的公式的结构联系。经历知识的形成过程，培养学生的应用意识，锻炼学生的知识的迁移能力．
【教学目标】

知识技能
1.理解平方差公式．
2.能应用平方差公式进行化简和计算．
数学思考
1.通过学习知道如何用几何拼图的方式验证平方差公式.
2.通过学习应用平方差公式.，发展符号感及抽象思维能力．
解决问题
1.经历观察、计算，培养观察能力、计算能力.
2.运用几何拼图验证平方差公式的过程，体会数形结合的思想.
情感态度
培养合作意识.交流中体会数学来源于总结，归纳，积累.

【教学重、难点】
1. 重点：（1）理解平方差公式；
（2）用平方差公式进行化简和计算．
2. 难点：（1）平方差公式的几何拼图验证；
（2）用平方差公式进行化简和计算．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
预习思考题及答案
1.计算下列各式：
(1) （2x+1）(x+3)；
(2) (m+1)(m-1)；
(3) (y-5)(y+1)；
(4) (3x+2)(x+2)；
(5) (x+2b)(x-2b)；
(6) (xy+2)(xy-2).
〖答案〗（1）（2x+1）(x+3)=2x2+7x+3;
（2）(m+1)(m-1)=m2-1;
（3）(y-5)(y+1)=y2-4y-5;
（4）(3x+2)(x+2)=3x2+8x+4
（5）(x+2b)(x-2b)= x2-4b2
（6）(xy+2)(xy-2)=x2y2-4
〖设计说明〗让学生快速、准确的计算．温故知新，把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的兴趣，学生通过计算，观察活动，可以初步发现“平方差公式 ”，激发好奇心和求知欲．从具体环境中发现数学规律．
2．请仔细观察1中的计算结果，思考：符合什么条件的两个二项式的乘积结果就是两项？
〖答案〗两个相乘二项式中如果前一个二项式有一项与后一个二项式中的一项完全相同，同时前一个二项式中的另一项与后一个二项式中的另一项互为相反数，那么这两个二项式的乘积结果就是两项．
〖设计说明〗认知从感知开始，感知是一切知识的来源．让学生进行简单的模仿，从感性上初步认识．
课内探究
一、导入新课：
1.探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（）（）=
（2）（）（）=
（3）（）（）=
学生小组讨论，交流问题，并发表见解.

2.补问：他们的说法正确吗？如果不正确，请给出正确的规律．同学们可以互相议论一下．
教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并对学生的交流，给予肯定和鼓励.
〖设计说明〗能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的．通过给学生提供题组讨论，吸引学生的注意力，激发好奇心和求知欲.培养学生的合作交流的意识．让学生通过亲身经历体会从具体环境中发现数学问题，进而寻求解决问题方法的全过程，从而使学生认识到蕴含着大量的数学信息，需要自己去仔细观察，去探讨．
用记载的形式，调动学生的积极性.
二、探索新知
1.小组内代表举出能用平方差公式计算的例子，其他组同学计算．
〖设计说明〗进一步巩固和理解平方差公式的运用条件以及如何应用平方差公式化简或计算．
2.计算（）（）
总结归纳：_________________________________．
3..揭示课题：平方差公式
教师注意观察一部分学生的结果，及时给学生发表意见的机会.
b
b
a
a
〖设计说明〗让学生体会知识的形成过程．进一步培养学生分析问题解决问题的能力，让学生勇于发表自己的观点.使学生在老师的带领下渐渐拥有总结数学知识的能力.
4.验证、理解“平方差公式”．
（1）思考：边长为x的正方形纸缺了一个边长为b的正方形角，请你动手剪成两部分后再拼成一个长方形．

教师巡视学生绘制的图形.指导绘图的注意点，关键点，以及数学知识的应用.
〖设计说明〗通过活动进一步巩固本节课内容，由内化知识点升华为应用知识的能力的培养.为学生提供了一个实践与创新的机会.
（2）引导学生认识平方差公式的特点：
①两个二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反（互为相反数），积等于相同项的平方减去相反数项的平方．
②公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式!
三、布置学生自学：
1．学生自主探究题：
抢答：试一试，判断下列式子是否可用平方差公式．
(1)（-x+b)(x+b)
(2) (-2x+b)(-2x-b)
(3) (-x+b)(x-b)
(4) (x+b)(x-c)
〖点拨方法〗二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反（互为相反数）才可以应用平方差公式．
〖参考答案〗（1）、（2）可以用平方差公式．(3)、(4)不符合用平方差公式的形式．
〖设计说明〗进一步让学生体会平方差公式的应用条件．
2.小组合作探究题：
（1）运用平方差公式计算：
①（）（）
②（）（）
③（）（）
④（x+）(x－)(x2＋)
〖点拨方法〗积等于相同项的平方减去相反数项的平方．
〖参考答案〗①（）（）=25-36x2,
②（）（）= x2-4y2,
③（）（）= x2-4y2,
④（x+）(x－)(x2＋)=( x2-)(x2＋)=x4-
（2）计算：
①102×98
②（）（）－（）（）
〖点拨方法〗将数表示成两数之和与两数之差的积形式，再应用平方差公式，会给计算带来很大方便。
〖参考答案〗①102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=9996，
②（）（）－（）（）=(y2-4)-( y2+4 y-5)
= -4 y+1
四．教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
（1）两个二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反（互为相反数），积等于相同项的平方减去相反数项的平方．
（2）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（例：计算（2x+y+3）（2x+y-3））
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式!
2．探究题评析：进一步培养学生数形结合的思想．
3．规律总结：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2．
4．方法指导．整体思想和划归的数学思想．
五、课堂反馈训练：
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（）（）=－2
（2）（）（）=－4

〖讲评策略〗 对照公式：(1) (x + 2) ( x - 2 )=x2－22

（a + b）（a－b）=a2－b2
(2)先将原式左边转化成公式左边的形式：
（）（）=（-2+3a）(-2-3a)
（-2+3a）(-2 - 3a) =(-2)2 -(3a)2

（a + b） （a－b）=a2 －b2
〖参考答案〗(1)、(2)都不对．
可订正为：
（1）(x+2) (x - 2 )=x2－4；
（2）（）（）=4－．
2．运用平方差公式计算：
（1）（）（）
（2）（）（）
（3）
（4）
〖点拨方法〗对照公式变形后再化简、计算。
〖参考答案〗（1）（）（）=a2-9b2
（2）（）（）=4a2-9
（3）=4y2-9x2
（4）=x8-y8
〖设计说明〗学生在运用平方差公式时进一步体会公式中的a和b分别代表什么？注重式子的变形.
课后提升
一、课后练习题及答案：
1. (2x－y)(___________)＝4x2－y2
2. (___________)(x－1)＝1－x2
3. 若x2–b2=20，且x+b=–5，那么x–b=_______
4. 若x–y=2 ，y–z=2 ，x＋z=14 ，则x2–z2的值为______
5. 20092－2008×2010的值是____________．
6. 计算：
(1)51×49
(2) (5x－3)(5x＋3) －3x(3x－7)
(3)（）（）－（）（）
(4) (x＋1)2(x－1)2(x2＋1)2
〖设计说明〗通过题组的训练强化平方差公式，题型的变化，拓展学生的知识的同时，培养学生积极思考的习惯，同时锻炼学生的知识的迁移能力．