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初三数学实际问题中转化思想的运用
【本讲主要内容】
实际问题中转化思想的运用
包括解方程中转化思想的运用，以及解几何问题中转化思想的运用。

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 解双二次方程中转化思想的运用；
2. 解分式方程中转化思想的运用；
3. 解无理方程中转化思想的运用；
4. 解几何问题中转化思想的运用。

【解题方法指导】
例1. 解方程
分析：此题是四次方程，我们通过换元可将它转化为一元二次方程去解，可设。
解：设，则得

∴
∴
即
由
解得
由
解得
∴原方程的解为
评析：解高次方程时，利用换元法转化为一元二次方程，从而使“不可解”转化为可解。

例2. （2003年天津市）
解方程
分析：此题是分式方程，若采用去分母的方法，将得到四次方程，增加了解题的难度。观察方程，发现左右都有，于是可通过换元，使分式方程转化为整式方程。
解：设，则原方程化为
去分母，得
即

∴
代回所设，得

即
由，无解
由
∴原方程的解为
评析：此题通过换元，使分式方程转化为整式方程，从而简化解题过程。

例3. 已知，b是a的小数部分，求的值。
分析：是一个无理数，它是无限不循环小数，a＝2.236……，由于b是a的小数部分，即b＝0.236……，那么在进行计算时，将十分繁琐。如果我们应用转化的思想，将的小数部分改写成减去它的整数部分，则，从而可以代入求解。
解：∵，b是它的小数部分
∴

评析：此题的转化思想运用得很巧妙，它是应用无理数＝整数部分＋小数部分，改写成小数部分＝无理数－整数部分，从而化繁为简，化难为易。

例4. 已知：如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，平行四边形ABCD的周长为20，面积为18，。
求sin∠EDF的值。

分析：由平行四边形ABCD的周长为20，且，则它的四条边长都可求出，又由于知道平行四边形ABCD的面积，于是又可求出DE、DF的长，但欲求sin∠EDF的值，需构造出直角三角形，或在图中寻找到与∠EDF相等的角，不难发现∠A＝∠EDF，于是将求sin∠EDF的值，转化为求sinA的值的问题加以解决。
解：∵平行四边形ABCD的周长为20，AB＝
∴AB＋AD＝10
代入，得
即
∴AD＝4，AB＝6
又AB·DE＝18，∴DE＝3
在平行四边形ABCD中
∠B＋∠EDF＝360°－2×90°＝180°
∠A＋∠B＝180°
∴∠A＝∠EDF
∴
评析：此题比较巧妙地将求sin∠EDF的值，转化为求sinA的值，从而应用锐角三角函数的定义加以解决，这种通过相等角的转化应用很广泛，要学会应用。

【考点突破】
【考点指要】
转化思想是一种十分重要的数学思想，通过这种转化可以将高次方程转化为低次方程，将分式方程转化为整式方程，将无理方程转化为有理方程，从而将生疏的问题转化为熟练的问题，将复杂的问题转化为简单的问题。
在解决几何问题时，又常利用相等线段的转化或相等角的转化，使问题由看来“不可解”转化为“可解”。
正因为转化思想的应用广泛性，因此在中考试题中各省市都加大了考试的力度，命题的频率非常高，应引起广大同学的重视。

【典型例题分析】
例1. （2001年河南）
解方程：
分析：此题是一个无理方程，若采用方程两边同时平方的方法，将会出现四次方程，观察题目特点，发现根号内有，根号外有，于是可将先化为，再通过换元，转化为有理方程去解。
解：原方程变形为
设，则
则原方程化为
解得
当y＝3时，
∴得
解得
当y＝－1时，方程无解
经检验，是原方程的解
评析：此题通过换元，将无理方程转化为有理方程，从而使方程易解。此题解题方法不唯一。

例2. 已知
求的值。
分析：若解关于a的方程，关于b的方程，然后代入求值，由于出现无理根，解法将会很繁琐。认真分析所给的两个方程，发现a、b是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系，得出，再代入求值便会变得十分简单。
解：∵
∴a、b是方程的两个根
由一元二次方程根与系数关系，得

∴

评析：此题解法很巧妙，是由转化为a、b是方程的两个根，从而用一元二次方程根与系数关系求解，这种转化的方法很特殊，可以仔细加以体会。

例3. 已知：如图，AB是⊙O直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D，E是弧AD上一点，且∠EAD＝∠CAB，又。
求DE的长。

分析：由于DE是⊙O的一条弦，它又是斜三角形的一条边，求它的长度存在一定的困难。由条件中∠EAD＝∠CAB，可知弧DE＝弧DB，于是可得DE＝DB，这样，求DE的长的问题便转化为求DB的问题了，而DB是Rt△ABC中斜边上的高，问题便可有了转机。
解：连结DB

∵AB是⊙O直径，BC是⊙O切线
∴∠ABC＝90°，∠ADB＝90°
∵
∴
又
∴
又∵∠EAD＝∠CAB

评析：当求几何图形中的线段有困难时，可以转化为与它相等的线段去加以考虑，从而使问题得以解决。

例4. 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E。
求证：

分析：此题的左端是两条线段的乘积，而等式的右端是线段乘积之和，显然不易直接应用三角形相似加以解决，能否将等式的右端加以转化，使它转化为两条线段的乘积，于是此题便转化证明等积式的题目了。
由，得

于是改证，从而出现了曙光。
证明：连结BE（如图）

∵∠E＝∠C，∠BAE＝∠DAC
∴△ABE∽△ADC
∴
∴
又△BDE∽△ADC
∴
∴
∴
评析：此题看来难度很大，但只要我们加以整理，使它转化为证明等积式的题目，便可化难为易。

【综合测试】
1. 解方程：
2. 解方程：
3. 解方程：
4. 解方程：
5. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F。
求证：

6. 已知：如图，ABCDEFGA是一个图形，AG与BC交于H点，试求：
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。

[参考答案]
http//

1.
解：设

2.
解：原方程化为：

设

∴

又

∴原方程的解为
3.
解：设
∴原方程化为
∴

∴
分别化为，此方程无解
，∴
4.
解：方程整理为
设

当时，，无解；
当时，

5. 证明：∵ABCD是平行四边形
∴∠A＝∠C
∵AD//EC
∴∠ADF＝∠E
∴△ADF∽△CED
∴
又AB＝CD
∴
6. 540°
解：连结CG，将图形转化为一个三角形ABH和一个五边形CDEFG

∵∠A＋∠B＋∠AHB＝180°
∠BCD＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠HGC＋∠HCG＝540°
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G