九年级数学二次函数教案.doc

27.1 二次函数
学习目标：
1．使学生理解二次函数的概念．
2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围，简单的用待定系数法确定二次函数解析式
学习过程：
一、 创设情境，导入新课
1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
二、 合作学习，探索新知
1.正方形的边长是a，面积s与边长a之间的函数关系如何表示？
2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
归纳定义：
做一做
1、 下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3) （4）
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
3、若函数为二次函数，则m的值为 。
三、 例题示范，了解规律
例1．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
例2．已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．

例3．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。
（2） 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。
A
B
E
F
C
G
D
H

四、课内练习
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1） （2）
（3） （4）
2．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．

五、课末检测
1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．

2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值．

　3．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值

4. 当k为何值时，函数为二次函数？
27.2二次函数的图象与性质
第一课时 二次函数的图象与性质

学习目标 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
教学过程
导入新课：我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、
，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
自主探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
解 列表
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…
18
8
2
0
2
8
18
…

…
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
…

例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

当堂练习
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） （2） （3）
2．（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．

课末检测

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1） （2）
2．填空：
（1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 ．
（2）当m= 时，抛物线开口向下．
（3）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大．
3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．
第二课时 二次函数的y=ax2+k图象与性质
学习目标:
1.理解二次函数y=ax2+k的图象—抛物线;并会画抛物线；
2.能利用二次函数y=ax2+k的图象说出的顶点坐标对称轴、开口方向、增减性。
重点、难点: 理解二次函数y=ax2+k的图象和性质;
一、复习：
说出y=ax2图象与性质。
二、操作题
1、在同一坐标系中画出下列二次函数的图象.
列表：
x
…
-3
-2
1
0
1
2
3
…
y=x2
…

…
y=x2+2
…

…
y=x2-2
…

y

…

0

x

三、总结：根据所画二次函数图象及分析，说出y=ax2+k的性质：
1、二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象 ；
二次函数y=ax2+k的图象是 ；对称轴是 即直线x= ；顶点坐标 ；
当k﹥0时，抛物线y=ax2+k是由抛物线y= ax2沿 轴向 平移 个长度单位得到；
当k﹤0时，抛物线y=ax2+k是由抛物线y= ax2沿 轴向 平移 个长度单位得到；
2、当a﹥0时，抛物线y=ax2+k开口 ，顶点是最 点；当x<0时，y随x的增大而 ；当x>0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；
3、当a﹤0时，抛物线y=ax2+k开口 ，顶点是最 点；当x<0时，y随x的增大而 ；当x>0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；
显然, 二次函数y=ax2+k的图象、性质与二次函数y=ax2的图象、性质相似。　　　　　　　　　　　　　　　　　
跟踪练习：
1.二次函数y=x2+2与y=x2-2的图像都是 ；对称轴都是 即直线x= ；
抛物线y=x2+2是由y=x2沿 轴向 平移 个长度单位得到；
抛物线y=x2-2是由y=x2沿 轴向 平移 个长度单位得到；
y=x2+2顶点坐标 ；y=x2-2顶点坐标 ；
2、抛物线y=x2+2与y=x2-2开口方向：开口都 ，顶点都是最 点；
3、y=x2+2与y=x2-2增减性与最值；
当x<0时，y随x的增大而 ；当x>0时，y随x的增大而 ；
当x=0时，y=x2+2有最 值是 ；当x=0时，y=x2-2有最 值是 。
四、课末检测：
　1、分别在下列坐标系中画出二次函数的图象.
列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…

x
…
-2
1
0
1
2
…
y=x2+3
…

…

y=-x2+3
…

…
y=x2-2
…

…

y=-x2-2
…

…

2、二次函数y=-x2+5的图象的开口____顶点坐标 ；对称轴直线x= ；其图象可由函数 的图象沿y轴向 平移 个长度单位得到；当x<0时，y随x的增大而 ；当x>0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；
3、二次函数y=4x2-5 的图象的开口 顶点坐标 ；对称轴直线x= ；其图象可由函数 的图象沿y轴向 平移 个长度单位得到；当x<0时，y随x的增大而 ；当x>0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；
4、将二次函数y=-2x2的图象沿y轴向下平移7个长度单位得到二次函数 的图象
5、将二次函数y=-x2+3的图象沿y轴向下平移2个长度单位得到二次函数 的图象： 。
第三课时 二次函数的图象与性质
[学习目标]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[导入新课]我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解： 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

…

…

…

…

…

回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样平移？
例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?

回顾与反思 （a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向
对称轴
顶点坐标

当堂练习
1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

课末检测

1．已知函数，， ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）分别讨论各个函数的性质．

2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？

3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
第四课时 二次函数+k的图象与性质
[学习目标]1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[导入新课]由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
+k
开口方向
对称轴
顶点坐标

例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．

当堂练习
1．将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
3．抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．
课末检测

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．

3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？

课外作业
1．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有 （ ）
A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21
2．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．

第五课时 二次函数的图象与性质
学习目标1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．
导入新课 我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？

实践与探索
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．

当堂练习
1．（1）二次函数的对称轴是 ．
（2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．
2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？
课末检测
1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．

2．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）（2）（3） （4）

3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

课外作业
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．

2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．

3. 求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。
第六课时 求二次函数的函数关系式

学习目标：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式。
一、创设问题情境
见课本问题2：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型……
引伸问:若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?能否以其他点为原点？

二、自学课本：请同学们阅读课本例7。
三、课堂练习 课本练习第1题（3）、第2题.
四、综合运用
例1．如图所示，求二次函数的关系式。

练习：
一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

五、课末检测

1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。

2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

3．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。

第七课时 求二次函数的函数关系式(2)

学习目标：掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
一、情景创设1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

二、实践与探索 自学课本：请同学们阅读课本例6。
例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

练习：已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

三、小结 求二次函数的关系式，常见的有几种类型?如何确定二次函数的关系式?
四、作业 1．课本习题第4题（1）、（2），第5题.
2．课外作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。
2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。
3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

27 . 3 实践与探索
第1课时
学习目标：（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
实践与探索 例 画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

跟踪练习：已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？

当堂练习1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是 ，
不等式的解集是 ，
不等式的解集是 ．
2．抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ．

27 . 3 实践与探索
第2课时
学习目标：研究二次函数的图象与x轴交点的问题。
自学思考:给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
例1.（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
例2．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
练习 1．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．
2．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
3．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
4．不论自变量x取什么数，二次函数函数值总是正值，求m的取值范围．