九年级数学二次函数教案.doc

27.1 二次函数学习目标： 1使学生理解二次函数的概念2使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围，简单的用待定系数法确定二次函数解析式学习过程：一、 创设情境，导入新课1什么叫函数？它有几种表示方法？2什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k0的条件？ k值对函数性质有什么影响？二、 合作学习，探索新知1.正方形的边长是a，面积s与边长a之间的函数关系如何表示？2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义归纳定义：做一做1、 下列函数中，哪些是二次函数？(1) (2) (3) （4） 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） （2） （3）3、若函数为二次函数，则m的值为 。三、 例题示范，了解规律例1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系例2已知二次函数y=ax2bxc，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1求a、b、c，并写出函数解析式 例3如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。（2） 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。 ABEFCGDH四、课内练习1下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3） （4）2已知正方形的面积为，周长为x（cm）(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数五、课末检测1在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围2已知二次函数y=4x25x1，求当y=0时的x的值3已知二次函数y=ax2bxc中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值 4. 当k为何值时，函数为二次函数？27.2二次函数的图象与性质 第一课时 二次函数的图象与性质 学习目标 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质教学过程导入新课：我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？自主探索例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）（2）解 列表x-3-2-10123188202818-18-8-20-2-8-18例2已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴例3已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S4 cm2 当堂练习1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标（1） （2） （3）2（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图课末检测1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象（1） （2）2填空：（1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 （2）当m= 时，抛物线开口向下（3）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大3已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）4已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值第二课时 二次函数的y=ax2+k图象与性质学习目标: 1.理解二次函数y=ax2+k的图象抛物线;并会画抛物线；2.能利用二次函数y=ax2+k的图象说出的顶点坐标对称轴、开口方向、增减性。重点、难点: 理解二次函数y=ax2+k的图象和性质;一、复习：说出y=ax2图象与性质。二、操作题1、在同一坐标系中画出下列二次函数的图象.列表：x-3-210123y=x2y=x2+2y=x2-2y0x三、总结：根据所画二次函数图象及分析，说出y=ax2+k的性质：1、二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象 ；二次函数y=ax2+k的图象是 ；对称轴是 即直线x= ；顶点坐标 ；当k0时，抛物线y=ax2+k是由抛物线y= ax2沿 轴向 平移 个长度单位得到；当k0时，抛物线y=ax2+k是由抛物线y= ax2沿 轴向 平移 个长度单位得到；2、当a0时，抛物线y=ax2+k开口 ，顶点是最 点；当x0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；3、当a0时，抛物线y=ax2+k开口 ，顶点是最 点；当x0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ； 显然, 二次函数y=ax2+k的图象、性质与二次函数y=ax2的图象、性质相似。跟踪练习：1.二次函数y=x2+2与y=x2-2的图像都是 ；对称轴都是 即直线x= ；抛物线y=x2+2是由y=x2沿 轴向 平移 个长度单位得到；抛物线y=x2-2是由y=x2沿 轴向 平移 个长度单位得到；y=x2+2顶点坐标 ；y=x2-2顶点坐标 ；2、抛物线y=x2+2与y=x2-2开口方向：开口都 ，顶点都是最 点； 3、y=x2+2与y=x2-2增减性与最值；当x0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y=x2+2有最 值是 ；当x=0时，y=x2-2有最 值是 。四、课末检测：1、分别在下列坐标系中画出二次函数的图象.列表：x-2-1012x-21012y=x2+3y=-x2+3y=x2-2y=-x2-22、二次函数y=-x2+5的图象的开口_顶点坐标 ；对称轴直线x= ；其图象可由函数 的图象沿y轴向 平移 个长度单位得到；当x0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；3、二次函数y=4x2-5 的图象的开口 顶点坐标 ；对称轴直线x= ；其图象可由函数 的图象沿y轴向 平移 个长度单位得到；当x0时，y随x的增大而 ；当x=0时，y有最 值是 ；4、将二次函数y=-2x2的图象沿y轴向下平移7个长度单位得到二次函数 的图象5、将二次函数y=-x2+3的图象沿y轴向下平移2个长度单位得到二次函数 的图象： 。第三课时 二次函数的图象与性质学习目标会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质导入新课我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解： 列表x-3-2-10123回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= 探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样平移？例2不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?回顾与反思 （a、h是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标当堂练习1画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标课末检测1已知函数， （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质2根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？3函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小当x 时，函数取得最 值，最 值y= 4不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系第四课时 二次函数+k的图象与性质学习目标1掌握把抛物线平移至+k的规律；2会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质导入新课由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？实践与探索例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表+k开口方向对称轴顶点坐标例2把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值 当堂练习1将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ）A向左平移4个单位，再向上平移1个单位B向左平移4个单位，再向下平移1个单位C向右平移4个单位，再向上平移1个单位D向右平移4个单位，再向下平移1个单位2把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 3抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到课末检测1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标2将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3将抛物线如何平移，可得到抛物线？课外作业1把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有 （ ）Ab =3，c=7 Bb= -9，c= -15 Cb=3，c=3 Db= -9，c=212抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值第五课时 二次函数的图象与性质学习目标1能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2会利用对称性画出二次函数的图象导入新课 我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例1通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例2已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值 当堂练习1（1）二次函数的对称轴是 （2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= 2抛物线的顶点是，则、c的值是多少？课末检测1已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象2利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）（2）（3） （4）3已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴 课外作业1当时，求抛物线的顶点所在的象限2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标3. 求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。第六课时 求二次函数的函数关系式学习目标：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数yax2、yax2bxc的关系式。一、创设问题情境见课本问题2：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型引伸问:若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?能否以其他点为原点？二、自学课本：请同学们阅读课本例7。三、课堂练习 课本练习第1题（3）、第2题.四、综合运用例1如图所示，求二次函数的关系式。练习：一条抛物线yax2bxc经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。五、课末检测 1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。2若二次函数的图象经过A(0，0)，B(1，11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。3如果抛物线yax2bxc经过点(1，12)，(0，5)和(2，3)，；求abc的值。4已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，求这个二次函数的关系式； 5二次函数yax2bxc与x轴的两交点的横坐标是，与x轴交点的纵坐标是5，求这个二次函数的关系式。第七课时 求二次函数的函数关系式(2)学习目标：掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。一、情景创设1如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(1，1）。 (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。二、实践与探索 自学课本：请同学们阅读课本例6。例2已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。例3、已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。练习：已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。三、小结 求二次函数的关系式，常见的有几种类型?如何确定二次函数的关系式?四、作业 1课本习题第4题（1）、（2），第5题. 2课外作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。2函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。3若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。4已知二次函数yax2bxc的图象经过A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是_。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。5已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。6如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?27 . 3 实践与探索第1课时学习目标：（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系实践与探索 例 画出函数的图象，根据图象回答下列问题（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？跟踪练习：已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？当堂练习1已知二次函数的图象如图，则方程的解是 ，不等式的解集是 ，不等式的解集是 2抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 27 . 3 实践与探索第2课时学习目标：研究二次函数的图象与x轴交点的问题。自学思考:给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？例1.（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= （3）已知抛物线与x轴交于两点A（，0），B（，0），且，则k的值是 例2已知二次函数，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？练习 1已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 2函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标3如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值4不论自变量x取什么数，二次函数函数值总是正值，求m的取值范围