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第12章 数的开方
§12.1平方根与立方根
1.平方根
2.立方根
§12.2实数与数轴
阅读材料 为什么说不是有理数
的算法
小结
复习题
第12章数的开方
要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?
（ ）=25
§12.1 平方根与立方根
1. 平方根
本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25，求这个正方形的边长．
容易知道，这个正方形的边长是5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
概括
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）．
在上述问题中，因为5＝25，所以5是25的一个平方根．
又因为（-5）＝５＝25，所以-5也是25的一个平方根．
这就是说，5与-5都是25的平方根．
根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
例1 求100的平方根．
解 因为10＝100， （－１０）＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．
试一试
（1） 144的平方根是什么?
（2） 0的平方根是什么?
（3）的平方根是什么?
（4） －４有没有平方根?为什么?
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．
概 括
一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－．因此正数a的平方根可以记作±．a称为被开方数．
因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作＝0．
思 考
负数有平方根吗?
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．
在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１０．
例2将下列各数开平方：
（1）49； （2）1.69
解（1） 因为7＝49，所以＝7，因此49的平方根为±７；
（2）因为，所以，因此1.69的平方根为±1.3.
在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的．通常可用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）．
例3用计算器求下列各数的算术平方根：
（1） 529；（2） 1225；（3） 44.81．
分析 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．
解（1） 在计算器上依次键入
=
9
52
5
，
显示结果为23，所以529的算术平方根为
＝23．
（2） 在计算器上依次键入
=
5
2
2
1
，
显示结果为 ，所以1225的算术平方根为
＝．
（3） 在计算器上依次键入
=
1
8
4
4
4
，
显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得
≈．
练习
1. 说出下列各数的平方根：
（1） 64；（2） 0.25；（3）．
2. 用计算器计算：
（1）；（2）；（3）（精确到0.01）．
3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案．
（1） 0.09的平方根是0.3；
（2）＝±５．
2. 立方根
问 题
现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?
思 考
这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?
概 括
上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，＝216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm．
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）．
试一试
（1） 27的立方根是什么?
（2） －２７的立方根是什么?
（3） 0的立方根是什么?
请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．
概 括
任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．
数a的立方根，记作，读作“三次根号a”．a称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
例4求下列各数的立方根：
（1）； （2） －125； （3） －0.008．
解（1） 因为（），所以
（2） 因为（－5）＝－125，所以＝－5．
按照前两题的解法，解答小题（3）
（3）________________________________________________。
例5用计算器求下列各数的立方根：
（1） 1331；（2） －343；（3） 9.263．
分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按（－），也可以按－．
=
1
3
3
1
SHIFT
解（1） 在计算器上依次键入
() ，
显示结果为11，所以
＝11．
（2） 在计算器上依次键入
=
3
4
3
-
(-)
SHIFT
() (或 ) ，
显示结果为－７，所以
＝－7．
=
3
6
2
4
9
SHIFT
（3） 在计算器上依次键入
() ，
显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得
≈ ．
练习
1. 求下列各数的立方根：
（1） 512；（2） －0.027；（3） －．
2. 用计算器计算：
（1）；（2）；（3）（精确到001）.
习题12.1
1. 求下列各数的平方根：
（1） ；（2） 0.36；（3） 324．
2. 求下列各数的立方根：
（1） 0.125；（2） －；（3） 1728．
3. 用计算器计算．（精确到0.01）
（1）；（2）．
4. （1）在哪两个整数之间?
（2） 3.1＜＜3.2正确吗?
（3） 下列四个结论中，正确的是（）．
A. 3.15＜＜3.16 B. 3.16＜＜3.17
C. 3.17＜＜3.18 D. 3.18＜＜3.19
5. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?（用计算器计算，结果精确到0.1cm）
§12.2 实数与数轴
做一做
（1） 用计算器求；
（2） 利用平方关系验算所得的结果．
这里，用计算器求，显示结果为1.414213562，而再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近于2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
用计算机计算，你可能会大吃一惊：
≈1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062９26912…
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数．
那么，是怎样的数呢?
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如，
＝0.25， ＝0.６＝0.666666666…，
＝0.142857＝0.142857142857142857…．
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数．
类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数（irrational number）．上面所提到的、、π等都是无理数．
有理数与无理数统称为实数（real number）．
试一试
你能在数轴上找到表示的点吗?
如图12.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
图12.2.1
图12.2..2
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是．利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图12.2.2所示．
概 括
数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行．
在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
例1试估计＋与π的大小关系．
解 用计算器求得
＋≈3.14626437，
而 π≈3.141592654，
因此 ＋＞π．
例2计算： π/2－│2－3│．（结果精确到0.01）
解 用计算器求得
2－3≈－0.778539072，
于是 │2－3│≈0.778539072，
所以 π/2－│2－3│
≈ 1.570796327－0.778539072
＝ 0.792257255
≈ 0.79．
练习
1. 判断下列说法是否正确：
（1） 两个整数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；
（2） 任意一个无理数的绝对值是正数．
2. 计算： 2＋3．（结果保留两位小数）
3. 比较下列各组数中两个实数的大小：
（1） 2和3；（2） －/2和－π/3．
练习12.2
1. 比较下列各对数的大小：
（1） （2）
2.计算：。（结果精确到0.01）
3.对于无理数，试解答下列问题：
（1）指出在数轴上位于哪两个整数之间；
（2）借助计算器找出实数a与b，使a<<b，且b-a=0.001。
阅读材料
为什么说不是有理数
我们可以用以下简单的推理来说明不是一个有理数．
显然，不是整数．我们再证明不是一个分数．
假设是一个分数，设＝q/p （p、q是互质的正整数），由的意义，可知 （q/p）＝2，
即有 q/p＝2，
故 q＝2p．
请注意，2p必定是一个偶数，因而q也一定是一个偶数，进而q一定是偶数．于是，可设q＝2k （k是正整数）．由上式，得，
从而 2k＝p，
所以p2必定是偶数，于是p也是偶数，这与p、q互质矛盾．
这个矛盾表明我们的假设“是一个分数”不成立，所以，既不是整数，也不是分数，也就是说，不是一个有理数．
的算法
你知道有多大吗?它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢?让我们一起来找找看吧．
由于2＜５＜3，可以肯定2＜＜3，也就是的位置应该在2与3之间．能不能再精确一点呢?再尝试一下，你会发现2.2＜5＜2.3，那么的位置就在2.2与2.3之间了．按照这个方法，继续试下去，有
2.23＜5＜2.24，2.23＜＜2.24，
2.236＜5＜2.237，2.236＜＜2.237，
……
你看，我们离越来越近了，依据这样的想法，我们确实可以在数轴上找到那么一点，它所代表的数值就是．
下面我们用计算器来算算的近似值．
记x＝1，代入（5/x＋x）÷２，得
（5/1＋1）÷２＝３，
再将3代入上式（5/x＋x）÷２，得
（5/3＋3）÷２＝＝2.333…，
继续上述过程，得（5/2.33＋2.33）÷２＝2.238…，
（5/2.238＋2.238）÷２＝2.236…，
……
数学上可以说明，计算步骤越多，得到的数值就越靠近．
如果要求精确到0.001，那么就得到≈2.236．
如果你有计算器的话，你不妨按照下面的按键顺序试试看，后面的＝键按得越多，数值就越精确，到一定时候，由于计算器位数的限制，出现的数值就不再发生变化了：
1 ＝ （ 5 ÷ Ans ＋ Ans ） ÷ ２ ＝ ＝ ＝ ＝…
照这样的算法，你能得到的近似值吗?
小结
一、 知识结构
二、 概括
1. 掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键．在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性．
2. 任意一个正实数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负实数没有平方根．而任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根为正数，0的立方根是0，负数的立方根为负数．
3. 有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系．
复习题
A组
1. 根据表格中所给信息填空：
被开方数
1
平方根
0
算术平方根
2
立方根
3
-4
2. 将下列各数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连结起来：
2， ， －π/2， 0， －1.6。
B组
3. 观察下列各方格图中的带阴影的图形，如果它们都可以剪开，重新拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少?这些正方形一样大吗?（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）
（第3题）
4. 如果把棱长分别为2.15cm、3.24cm的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长有多大?（用一个式子表示，并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）
C组
5.（1）用计算器计算：
________________;
_______________;
_____________;
____________.
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想。
__________。
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