八年级数学上册 第12章数的开方电子教材 华东师大版.doc

第12章 数的开方12.1平方根与立方根1.平方根 2.立方根12.2实数与数轴 阅读材料 为什么说不是有理数 的算法小结复习题 第12章数的开方要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?（ ）=2512.1 平方根与立方根1. 平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25，求这个正方形的边长容易知道，这个正方形的边长是5cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）在上述问题中，因为525，所以5是25的一个平方根又因为（-5）25，所以-5也是25的一个平方根这就是说，5与-5都是25的平方根根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根例1 求100的平方根解 因为10100， （），除了10和以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和，也可以说，100的平方根是试一试（1） 144的平方根是什么?（2） 0的平方根是什么?（3）的平方根是什么?（4） 有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答概 括一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第节），每一个正实数必定有两个平方根，那么必定有两个，它们互为相反数显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即因此正数a的平方根可以记作a称为被开方数因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0通常也记作0思 考负数有平方根吗?求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根在例1中，100的算术平方根是10010，100的平方根是100例2将下列各数开平方：（1）49； （2）1.69解（1） 因为749，所以7，因此49的平方根为；（2）因为，所以，因此1.69的平方根为1.3. 在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的通常可用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）例3用计算器求下列各数的算术平方根：（1） 529；（2） 1225；（3） 44.81分析 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可解（1） 在计算器上依次键入=9525，显示结果为23，所以529的算术平方根为23（2） 在计算器上依次键入=5221，显示结果为 ，所以1225的算术平方根为（3） 在计算器上依次键入=18444，显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得练习1. 说出下列各数的平方根：（1） 64；（2） 0.25；（3）2. 用计算器计算：（1）；（2）；（3）（精确到0.01）3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案（1） 0.09的平方根是0.3；（2）2. 立方根问 题现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?思 考这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?概 括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216容易验证，216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）试一试（1） 27的立方根是什么?（2） 的立方根是什么?（3） 0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答概 括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个数a的立方根，记作，读作“三次根号a”a称为被开方数，3称为根指数求一个数的立方根的运算，叫做开立方例4求下列各数的立方根：（1）； （2） 125； （3） 0.008解（1） 因为（），所以（2） 因为（5）125，所以5按照前两题的解法，解答小题（3）（3）_。例5用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2） 343；（3） 9.263分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键若被开方数为负数，“”号的输入可以按（），也可以按=1331SHIFT解（1） 在计算器上依次键入()，显示结果为11，所以11（2） 在计算器上依次键入=343-(-)SHIFT() (或 )，显示结果为，所以7=36249SHIFT（3） 在计算器上依次键入()，显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得 练习1. 求下列各数的立方根：（1） 512；（2） 0.027；（3） 2. 用计算器计算：（1）；（2）；（3）（精确到001）.习题12.11. 求下列各数的平方根：（1） ；（2） 0.36；（3） 3242. 求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） ；（3） 17283. 用计算器计算（精确到0.01）（1）；（2）4. （1）在哪两个整数之间?（2） 3.13.2正确吗?（3） 下列四个结论中，正确的是（）A. 3.153.16 B. 3.163.17C. 3.173.18 D. 3.183.195. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?（用计算器计算，结果精确到0.1cm）12.2 实数与数轴做一做（1） 用计算器求；（2） 利用平方关系验算所得的结果这里，用计算器求，显示结果为1.414213562，而再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近于2这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值用计算机计算，你可能会大吃一惊：1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185701135437460340849884716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666871301301561856898723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410450726368813137398552561173220402450912277002269411275736272804957381089675040183698683684507257993647290607629969413804756548237289971803268024744206226912在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数那么，是怎样的数呢?我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如， 0.25， 0.0.666666666，0.1428570.142857142857142857不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数类似地，、圆周率等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数无限不循环小数叫做无理数（irrational number）上面所提到的、等都是无理数有理数与无理数统称为实数（real number）试一试你能在数轴上找到表示的点吗?如图12.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为图12.2.1图12.2.2这就是说，边长为1的正方形的对角线长是利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图12.2.2所示概 括数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示换句话说，实数与数轴上的点一一对应实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用例1试估计与的大小关系解用计算器求得3.14626437，而 3.141592654，因此 例2计算： /223（结果精确到0.01）解 用计算器求得230.778539072，于是 230.778539072，所以 /223 1.5707963270.778539072 0.792257255 0.79练习1. 判断下列说法是否正确：（1） 两个整数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；（2） 任意一个无理数的绝对值是正数2. 计算： 23（结果保留两位小数）3. 比较下列各组数中两个实数的大小：（1） 2和3；（2） /2和/3练习12.21. 比较下列各对数的大小：（1）（2）2.计算：。（结果精确到0.01）3.对于无理数，试解答下列问题：（1）指出在数轴上位于哪两个整数之间；（2）借助计算器找出实数a与b，使ab，且b-a=0.001。阅读材料为什么说不是有理数我们可以用以下简单的推理来说明不是一个有理数显然，不是整数我们再证明不是一个分数假设是一个分数，设q/p （p、q是互质的正整数），由的意义，可知 （q/p）2，即有 q/p2，故 q2p请注意，2p必定是一个偶数，因而q也一定是一个偶数，进而q一定是偶数于是，可设q2k （k是正整数）由上式，得，从而 2kp，所以p2必定是偶数，于是p也是偶数，这与p、q互质矛盾这个矛盾表明我们的假设“是一个分数”不成立，所以，既不是整数，也不是分数，也就是说，不是一个有理数的算法你知道有多大吗?它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢?让我们一起来找找看吧由于23，可以肯定23，也就是的位置应该在2与3之间能不能再精确一点呢?再尝试一下，你会发现2.252.3，那么的位置就在2.2与2.3之间了按照这个方法，继续试下去，有2.2352.24，2.232.24，2.23652.237，2.2362.237，你看，我们离越来越近了，依据这样的想法，我们确实可以在数轴上找到那么一点，它所代表的数值就是下面我们用计算器来算算的近似值记x1，代入（5/xx），得（5/11），再将3代入上式（5/xx），得（5/33）2.333，继续上述过程，得（5/2.332.33）2.238，（5/2.2382.238）2.236，数学上可以说明，计算步骤越多，得到的数值就越靠近如果要求精确到0.001，那么就得到2.236如果你有计算器的话，你不妨按照下面的按键顺序试试看，后面的键按得越多，数值就越精确，到一定时候，由于计算器位数的限制，出现的数值就不再发生变化了：1 （ 5 Ans Ans ） 照这样的算法，你能得到的近似值吗?小结一、 知识结构二、 概括1. 掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性2. 任意一个正实数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负实数没有平方根而任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根为正数，0的立方根是0，负数的立方根为负数3. 有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系复习题A组1. 根据表格中所给信息填空：被开方数1平方根0算术平方根2立方根3-42. 将下列各数按从小到大的顺序排列，用“”号连结起来：2， ， /2， 0， 1.6。B组3. 观察下列各方格图中的带阴影的图形，如果它们都可以剪开，重新拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少?这些正方形一样大吗?（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）（第3题）4. 如果把棱长分别为2.15cm、3.24cm的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长有多大?（用一个式子表示，并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）C组5.（1）用计算器计算：_;_;_;_.（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想。_。