八年级数学上册 第15章平移与旋转电子教材 华东师大版.doc

第15章平移与旋转15.1平移 1. 图形的平移2. 平移的特征 15.2旋转1. 图形的旋转2. 旋转的特征3. 旋转对称图形15.3中心对称 15.4图形的全等 阅读材料 古建筑中的旋转对称从敦煌洞窟到欧洲教堂 小结 复习题 课题学习 图案设计第15章平移与旋转世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是平移、旋转及对称等运动平移、旋转及对称等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动15.1 平移1. 图形的平移在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象：滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象 图15.1.1我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果 图15.1.2这种图形的平行移动，简称为平移（translation）它由移动的方向和距离所决定 图15.1.3当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，沿着直尺PQ平移到ABC，就可以画出的平行线AB了我们把点A与点A叫做对应点，把线段与线段AB叫做对应线段，A与A叫做对应角此时：点B的对应点是点 ；点C的对应点是点 ；线段AC的对应线段是线段 ；线段的对应线段是线段 ；B的对应角是 ；C的对应角是 平移的方向就是由点B到点B的方向，平移的距离就是线段BB的长度试一试图15.1.4在图15.1.4中，沿着由点A到点A的方向，平移到ABC的位置你知道线段 CA的中点M以及线段上的点N平移到什么地方去了吗?请在图上标出它们的对应点M和N的位置练习1. 举出现实生活中平移的一些实例2. 如图所示的和DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形指出点A、 B、 C的对应点，并指出线段、 、 CA的对应线段，A、 B、 C的对应角(第2题)3. 如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?请补上(第3题)2. 平移的特征如图15.1.5，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上但不管怎样，我们总可以推得AB， AB， BB同时也有AC ， AC ， C 这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化图15.1.5注 意在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上(如图15.1.5中的BC与)探 索观察图15.1.6，沿着PQ的方向平移到ABC的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?图15.1.6我们可以看到，上的每一点都作了相同的平移：AA， BB， CC不难发现AA ；AA 即平移后对应点所连的线段平行并且相等试一试将图15.1.6中的 ABC 沿RS方向平移到ABC的位置，其平移的距离为线段RS的长度注 意如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上图15.1.7例 如图15.1.8(1)，经过平移到ABC的位置指出平移的方向，并量出平移的距离图15.1.8解 由于点A与点A是一对对应点，因此，如图15.1.8(2)，连结AA，平移的方向就是点A到点A的方向，且平移的距离就是线段AA的长度，约2.厘米试一试图15.1.9在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的向右平移5格后的ABC，然后再画出将ABC向上平移2格后的ABCABC是否可以看成是 经过一次平移而得到的呢?如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢?做一做如图15.1.10，在纸上画和两条平行的对称轴m、 n.画出关于直线m对称的ABC，再画出ABC关于直线n对称的ABC图15.1.10观察和ABC，你能发现这两个三角形有什么关系吗?练习1. 如图，在长方形CD中，对角线AC与BD相交于点O，画出AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长 (第1题) （第2题)2. 先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格3. 将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长画出平移后的新图形(第3题)习题15.11. 任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形2. 平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A处，画出平移后的图形 (第2题) (第3题)3. 如图，DC，画出线段平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长平移后所得的线段DE与线段DC相等吗?连结EC， DEC与DCE相等吗?试说明理由4. 利用如图所示的图形，通过平移设计图案(第4题)15.2 旋转1. 图形的旋转在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图15.2.1所示的物体的旋转现象：时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意 图15.2.1图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面 图15.2.2这些图形有什么共同特征呢?图15.2.3如图15.2.3，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P，显然它是绕上面的悬挂点转动像这样的运动，就叫做旋转(rotation)这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心(centre of rotation)显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意AOB的纸上，在薄纸上画出与AOB重合的一个三角形然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉(即点O)逆时针转动45，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A、O、B，我们可以认为AOB逆时针旋转45后变成AOB（如图15.2.4）在这样的旋转过程中，你发现了什么?图15.2.4从图15.2.4中，可以看到点A旋转到点A， OA旋转到OA， AOB旋转到AOB，这些都是互相对应的点、线段与角此时：点B的对应点是点 ；线段OB的对应线段是线段 ；线段的对应线段是线段 ；A的对应角是 ；B的对应角是 ；旋转中心是点 ；旋转的角度是 做一做图15.2.5如图15.2.5，如果旋转中心在的外面点O处，逆时针转动60，将整个旋转到ABC的位置那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢?例1如图15.2.6，是等边三角形，D是上一点，D经过逆时针旋转后到达ACE的位置(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果M是的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?图15.2.6解(1) 旋转中心是点A(2) 旋转了60(3) 点M转到了AC的中点位置上例2如图15.2.7(1)，点M是线段上一点，将线段绕着点M顺时针方向旋转90，旋转后的线段与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90呢?图15.2.7解 顺时针方向旋转90，如图15.2.7(2)所示，AB与互相垂直逆时针方向旋转90，如图1527(3)所示，AB与互相垂直练习1. 举出现实生活中旋转的一些实例2. 如图，按逆时针方向转动一个角后成为C，图中哪一点是旋转中心?旋转了多少度? (第2题) (第3题)3. 如图，与ADE都是等腰直角三角形，C和AED都是直角，点E在上，如果经逆时针旋转后能与ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?2. 旋转的特征探 索观察图15.2.4与图15.2.5，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?我们可以看到，图15.2.4中，线段OA、 OB都是绕点O逆时针旋转45角到对应线段OA、 OB，而且OAOA， OBOB， AB；AOBAOB， AA， BB在图15.2.5中，旋转中心是点O，点A、 B、 C都是绕点O逆时针旋转60角到对应点A、 B、 C，而且OA ， OB ， OC ； ， ， CA ；CA ， ， CA 这就是图形旋转的特征： 图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化练习1. 确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每一次旋转多少度(不计颜色) (第1题) (第2题) (第3题)2. 画出绕点C逆时针旋转90后的图形3. 画出所给图形绕点O顺时针旋转90后的图形旋转几次后可以与原图形重合?3. 旋转对称图形在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合如图1528所示，电扇的叶片旋转120、螺旋桨旋转180后，都能与自身重合你能再举出一些这样的实例吗?图15.2.8试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在如图15.2.9所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图15.2.9所示的图形重合然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合 图15.2.9 图15.2.10 图15.2.11 由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60后，能与自身重合，且绕圆心旋转120或180后，都能与自身重合这种图形就称为旋转对称图形(a figure of rotation symmetry)用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形进行探索，看看它是不是旋转对称图形?想一想旋转中心在何处?该图形需要旋转多少度后，能与自身重合?该图形是轴对称图形吗?图15.2.11所示的图形是轴对称图形用类似上述的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗?你能设计一个旋转30后能与自身重合的图形吗?做一做如图15.2.12，画和过点P的两条直线PQ、 PR画出关于PQ对称的三角形ABC，再画出ABC关于PR对称的三角形ABC观察和ABC，你能发现这两个三角形有什么关系吗?图15.2.12练习1. 举出日常生活中旋转对称图形的几个实例2. 找找看，下面图形中有几匹马?它们的位置关系大致如何?(第2题)3. 如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第3题)4. 任意画一个，再任意画一个点P，然后画出绕点P逆时针方向旋转60后的三角形习题15.21. 如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合? (第1题) (第2题)2. 如图，ACD、AEB都是等腰直角三角形，CADE90，画出ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90后的三角形3. 如图，四边形CD是正方形，ADE经顺时针旋转后与F重合(第3题)(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果连结EF，那么AEF是怎样的三角形?4. 是等边三角形，点O是三条中线的交点，以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合? (第4题) (第5题)5. 仿照第页“试一试”的方法，分两种情况： 考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合?15.3 中心对称在上一节，我们已经看到有不少图形绕某一中心点旋转一定角度后，可以与自身重合如图15.3.1所示的三个图形都是这样的旋转对称图形图15.3.1图15.3.1的中间一个图形绕着中心点旋转180后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形(a figure of central symmetry)，这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry)把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点如图15.3.2所示，与ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B的对称点为点 ，点C的对称点为点 ，点A的对称点为点 点B绕着点A旋转180到达点D处，因此，B、 A、 D三点在同一条直线上，并且AD.图15.3.2探 索在图15.3.3中，ABC与关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?图15.3.3我们可以发现，点A绕中心点O旋转180后到点A，于是A、 O、 A三点在一直线上，并且，另外分别在一直线上的三点还有 、 ；并且BO ， CO 归 纳在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称例如图15.3.4，已知和点O，画出DEF，使DEF和关于点O成中心对称图15.3.4解(1) 连结AO并延长AO到D，使ODOA，于是得到点A关于点O的对称点D；(2) 同样画出点B和点C关于点O的对称点E和F；(3) 顺次连结DE、 EF、 FD如图15.3.，DEF即为所求的三角形图15.3.5练习1. 仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下页表中适当的空格内(第1题)对称形式对称轴旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴英文字母2. 如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过你能吗?(第2题)读一读对弈策略两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放同样大小的硬币，规则是： 每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输按照这个规则，你用什么办法才能取胜?初看起来，只能碰运气，其实不然只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜取胜的秘诀是： 你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚硬币这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放下一枚硬币你不妨试一试试一试如图15.3.所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?图15.3.做一做如图15.3.，在纸上画、点P，以及与关于点P成中心对称的三角形ABC过点P任意画一条直线，画出关于此直线对称的ABC，如图15.3. 图15.3. 图15.3.观察ABC和ABC，你发现了什么?练习1. 如图，已知四边形CD和点O，画四边形ABCD，使四边形ABCD和四边形CD关于点O成中心对称(第1题)2. 如图，已知和过点O的两条互相垂直的直线x、 y，画出关于直线x对称的ABC，再画出ABC关于直线y对称的ABC，ABC与是否关于点O成中心对称?(第2题)习题15.31. 关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段通过，被平分，对应线段与对应角都2. 如图所示的图形是不是轴对称图形?是不是中心对称图形? (第2题) (第3题)3. 如图，已知AD是的中线，画出以点D为对称中心、与D成中心对称的三角形4. 如图所示的图形是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形(第4题)15.4 图形的全等我们已经认识了图形的翻折、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小并没有改变要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过翻折、平移和旋转等图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruent figures)，图15.4.1中的图形(2)与(4)就是全等图形图15.4.1一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合思 考观察图15.4.2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合?图15.4.2上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角如图15.4.3中的两个五边形是全等的，记作五边形CDE五边形ABCDE(这里，符号“”表示全等，读作“全等于”)点A与A、点B与B、点C与C、点D与D、点E与E分别是对应顶点图15.4.3依据上面的分析，我们知道： 全等多边形的对应边相等、对应角相等这就是全等多边形的性质实际上这也是我们判定全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等如图15.4.4所示，DEF，且AD， BE你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗?图15.4.4练习在日常生活中，处处可以看到全等的图形例如： 同一张底片印出的同样尺寸的照片；我们使用的数学课本的封面；我们班的课桌面等等试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多习题15.41. 图中所示的是两个全等的五边形，8， AE5， DE11， HI12， IJ10， C90， G115，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、 b、 c、 d、 e、 、 各字母所表示的值2. 在下列方格图中画出两个全等的四边形阅读材料古建筑中的旋转对称从敦煌洞窟到欧洲教堂敦煌的佛教洞窟与欧洲的基督教堂相距数千里，文化和宗教背景截然不同，然而，在相距几百年的时间里，两地先后出现了完全相同的一种图案： 三只兔子相互追逐形成一环大英博物馆国际敦煌学项目(IDP News)披露了这一新发现 敦煌407窟窟顶上的图案，隋朝 16世纪早期，德国帕德波恩大教堂的玻璃镶花图案敦煌佛教洞窟中，至少有16个洞窟出现了这一图案： 三只兔子位于莲花的中心，朝着不同方向奔跑，有的是顺时针(如305窟)，有的是逆时针(如407窟)这些洞窟建于隋朝和晚唐时期但是，敦煌学文献中从来没有对这一图案的相关研究记录19世纪欧洲一本谜语书中的图案而到了13世纪，欧洲的德国、法国和英国基督教堂的屋顶浮雕等处，都发现了相同或相似的图案这三只兔子是如何从中国传到欧洲的，一时成为敦煌学界的一大研究热点有专家指出，这一图案是通过中国的纺织品经由丝绸之路传到欧洲的，但目前还没有确切的证据证实这一观点专家们正在加紧研究，以期解开“三只兔子之谜”小结一、 知识结构连结对应点的线段被对称轴垂直平分连结对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)，并且相等旋转对应点与旋转中心的距离相等；每一点都绕旋转中心按同一方向旋转了同样大小的角度在轴对称、平移、旋转这些图形变换下，线段的长度不变；角的大小不变；变换前后的两个图形是全等图形全等多边形的对应边、对应角分别相等；边、角分别对应相等的两个多边形全等旋转对称中心对称全等多边形轴对称平移旋转图形之间的变换关系二、 概括本章从日常生活中常见的一些图形的位置关系，得出图形的平移与旋转以及旋转对称、中心对称的概念通过动手操作，探索图形在平移、旋转的过程中有关点、线段、角的变化平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，在这些变换下，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小都没有发生变化，变换前后的两个图形是全等图形，这是最主要的特征，是将来进一步研究图形全等及其有关性质的基础复习题A组1. 观察下列图形，将其中的轴对称图形、旋转对称图形和中心对称图形所对应的编号填入相应的圈内(1) (2) (3) (4) (5) (6) 轴对称图形旋转对称图形中心对称图形2. 如图，经过平移后成为ABC，画出平移的方向、量出平移的距离(第2题)3. 画一个边长为1厘米的正方形，然后分别画出将该正方形向北偏东30方向平移2厘米，以及将该正方形向正东方向平移2厘米后的图形4 如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转的角度(第4题)5. 如图，半圆O绕着点P顺时针旋转后成为半圆O，试量出旋转角度的大小(第5题)6. 如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称(第6题)7. 如图，已知CDA，指出它们的对应顶点、对应边和对应角(第7题)8. 如图，已知ADC， BAC60， ACD23，那么D度(第8题)B组9. 画出三角形绕点O逆时针旋转90后的三角形(第9题)10. 如图，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O逆时针方向旋转90，画出旋转后的四边形(第10题)11. 如图所示的两个图形是不是轴对称图形?如果是，请画出对称轴这两个图形能不能经过旋转与自身重合?如果能，分别需要旋转多少度?(第11题)12. 点D是等边三角形内的一点，将BDC绕点C顺时针旋转60，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角(第12题)C组13. 这是在万花筒里所能看到的一些镜像，观察一下，这都是些什么样的对称图形，你能不能再想像一两个同样对称和谐的图形?万花筒里的镜像（第题）1. 用硬纸板剪出两个全等的和ABC，按照下列两种情况将和ABC放在桌面上(1) (2) (第1题)动手试一试，如何通过平移、旋转与轴对称等变换将运动到ABC上，使两者互相重合与你的伙伴们交流一下，看看谁的方法多课题学习图案设计我们已经认识了图形的三种基本变换： 轴对称、平移和旋转利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案现有如图所示的种瓷砖:. 请用其中的块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案例如：. 利用你设计的图案，通过平移、或轴对称、或旋转，设计出更加美丽、更加大型的图案例如：（） 通过平移得：（） 通过轴对称得：