资源描述
3.4实际问题与一元一次方程
第一课时配套、工程问题
教学目标：
1.会根据实际问题中的数量关系列方程解决一般配套、工程问题.
2.通过列方程解决实际问题，进一步渗透建模思想，培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力.
教学重点：
进一步体现一元一次方程与实际问题的密切联系，利用问题中的数量关系建立方程模型.
教学难点：
对实际问题正确地列方程求解.
教法：研究法
学法：讨论法、练习法
教学过程：
复习：
1.解方程：
2.解一元一次方程的一般步骤.
学生活动：学生独立完成
老师总结：
1.解：去分母（方程两边乘12），得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
2.去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
从前面的讨论中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.本节课我们重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题.
一、引入新课
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
学生活动：小组合作找出问题中的数量、以及数量之间存在着的相等关系，然后假设未知数，列方程求解.
师生合作探究：
如果一天中只生产螺钉，那么每人可以生产 个；如果一天中只生产螺母，那么每人可以生产 个.
每种产品每天总共生产量=每人每天的 人数；问题中的相等关系可以根据刚好配套而得：螺母数量= 螺钉数量.
教师总结：解：设分配名工人生产螺钉，其余名工人生产螺母.
根据螺母数量与螺钉数量的关系，列方程，得.
解方程，得，
，
解得
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
解法（二）如果设名工人生产螺母，怎样列方程？
解：设分配名工人生产螺母，其余名工人生产螺钉.
解方程，得
例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同.具体应先安排多少人工作？
学生活动：小组合作探究问题有哪些数量，数量间的基本关系是什么？找出相等关系，列出方程求解.
师生合作探究：
本题是工程问题，基本数量关系是工作量=效率人数 ，这里可以把工作量看作单位1.本题中人均效率是 ；若由人先做4小时，完成的工作量是 ；再增加2人和前面的人一起做8小时，完成的工作量是 .
这项工作分成两段时间完成，两段时间完成的工作量之和是 .
教师总结：
解：设先安排人工作4小时.
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列方程
.
解方程，得
，
，
，
.
答：应先安排2人做4h.
设未知数，列方程
问题：用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
解方程
一元一次方程的解
（）
实际问题的答案
检验
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案.分析问题中的相等关系是列方程的基础.
二、巩固练习
教科书练习
1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
学生活动：小组合作探究
教师总结：
1.解：设用m3钢材做A部件，m3钢材做B部件，则恰好配成这种仪器40套.
，
解方程，得，
，
.
答：用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，则恰好配成这种仪器160套.
2.解：设要天可以铺好这条管线.
列方程，
解方程，得
答；要8天可以铺好这条管线.
三、课堂小结：
1. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？
（1）审（找）；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答.
2.本节课主要学习了配套问题和工程问题。
四、作业
教科书习题3.4第2,3,4,5题
3.4实际问题与一元一次方程
第二课时销售中的盈亏
教学目标：
1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念.
2.能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题.
3.进一步培养建模能力，以及分析问题、解决问题的能力.
教学重点：运用方程解决实际问题
教学难点：如何把实际问题转化为数学问题，列方程解决实际问题
教学过程：
复习：销售中的盈亏问题
1.填空：
（1）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是64无，则原价是 元.
（2）某商品的每件利润是32元，进价是120元，则售价是 元.
（3）某商品的利润率是23%，进价是100元，则利润是 元.
（4）某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元.
（5）商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.利润率是____.
2. 对上面商品销售中的盈亏问题中有哪些量？
3.这些量之间的关系是什么？
学生活动：小组合作探究
教师总结：
1.、、、、、
2.成本价(进价)、标价、销售价、利润、利润率
3. 售价、进价、利润的关系式：利润=售价-进价
进价、利润、利润率的关系：
标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价、进价、利润率的关系：
前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程，可以看出方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本节我们将进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题。
一、引入新课
探究1：
某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
学生行动：利用上面有关商品盈亏的数量关系，先估算，再小组讨论用方程思想求解验证估算.
师生合作探究：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，进价多少，若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为 60×2=120（元），现在要求出这两件衣服的进价．
假设一件商品地进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品的利润是.
如果卖出后亏损25%，商品的利润是.
本题中，设盈利25%的那件衣服的进价是元，它的商品利润就是.
根据进价与利润的和等于售价，列出方程：.
由此得.
类似地，可以设另一件衣服的进价为元，它的利润是元，列出方程
.
由此得.
两件衣服的进价是元，而两件衣服的售价是60+60=120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.
教师总结：
解：设盈利25%的那件衣服的进价是元, 另一件的进价为元，依题意，得
解得
解得
答：卖这两件衣服总的亏损了8元.
二、范例学习
例1 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2012年涨价30%后，2013降价70%至元，则这种药品在2012年涨价前价格为多少元？
学生活动：小组合作探究
师生互动探究：
设2012年涨价前价格为元，2012年的价格怎么表示？2013降价70%怎么表示？
老师总结：
2012年的价格是，2013降价70%为
解:设在2012年涨价前的价格为元.
列方程得
解得.
答：在2012年涨价前价格为元
例2：某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
学生活动：小组合作探究
师生互动探究：
设商店最多可以打折，怎样表示打折后的价格？利润率不低于5%是多少元？打折后的价格现与利润率是什么关系？
教师总结：
，，打折后的价格=进价+进价利润率，
解:设商店最多可以打折出售此商品,根据题意得:
解得
答:商店最多可以打7折出售此商品。
三、巩固拓展
1.教科书练习题1
某商店有两种书包,每个小书包比大书包的进价少10元,而他们的售后利润额相同,其中,每个小书包的盈利率为30％,每个大书包的盈利率为20％,试求两种书包的进价.
2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？
学生活动：学生独立完成
教师总结：
1.解：设大书包的进价为元，则小书包进价为元.
列方程
解方程，得
2.解：设盈利60%的那个计算器进价为元，它的利润是元.
列方程
解方程，得.
设亏本20%的那个计算器的进价为元，它的利润是.
列方程
解方程，得.
所以两个计算器进价为120元，而售价128元，进价小于售价，因此两个计算器总的盈利情况为盈利8元.
四、课堂小结
1.本节课我们利用一元一次方程来解决商品销售中的一些实际问题，要解决商品销售的利润率问题类型的应用题，首先要弄清商品利润、商品进价、售价、标价，打折的意义。
2.本节课学习了有关销售的实际问题，基本数量关系有：
利润=售价-进价
以上等式两边还可以适当地进行变形.
五、作业
教科书习题3.4第7，11题
3.4实际问题与一元二次方程
第三课时球赛积分表问题
教学目标：
1.了解以表格形式传递信息的问题，能利用一元一次方程解决球赛积分等实际问题.
2.通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
3.鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯.
教学重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断
教学难点：从图表信息中找出有用的数量关系，把实际问题转化为数学问题.
教法：互动探究法
学法：小组合作讨论法、练习法
教学过程
一、情境引入
问题1：某篮球队在联赛中已经进行10场比赛，总比分是14分，该队共胜8场，负一场，已知胜一场得2分，那么你知道该联赛负一场得几分吗？
学生活动：小组讨论回答.
教师总结：
可设负一场得分，根据胜、负的积分和等于总积分，得
.
解方程得.
问题2：
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
（1）学生活动：小组合作弄清题意，探究数量之间的基本关系，然后列方程解决问题.
师生合作探究：
本题相等关系有总分=胜场积分+负场积分；
胜场积分=胜场数2；
负场积分=负场数1.
因此要求（1）题的总积分与胜、负场数之间的关系，首先要知道胜一场积分与负一场积分；在上面的图表中能写出总积分表达式的8种可能，但每一个式子中，只能有一个未知量出现的是哪一种？找出来并列出一元一次方程解决问题.
教师总结：
据表格数据可知：钢铁队的胜场是0，排除同时出现胜一场积分与负一场积分，两个未知数的可能性，因此总积分的相等关系利用钢铁队的数据：
钢铁队总积分=胜场数胜一场积分+负场数负一场积分，则得，因此有负一场积分为1.由表格最后一行可看出负一场积分是1.
设胜一场积分，从表格中的任何一行可以列方程求出的值.
解：如果一个队胜场，胜场积分为，负场积分为，总积分为
.
（2）学生活动：小组合作探究可行的解题途径.
师生合作探究：判断某队胜场总积分与负场总积分是否相等？
方法1：
分别算出胜、负场总积分是多少，然后直接判断大小.
显然找不到相等的积分，也无法说明胜、负场积分不可能相等.
方法2：
假设某队的胜场积分等于负场积分，列出方程，得出的解是否合理.
教师总结：设某队胜了场，负了场.
列方程，得.
解方程，得.
所用场数的值必须是整数，所以不符合实际.
用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际.
二、范例学习
例1：在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？
学生活动：小组合作探究.
师生合作探究：
每两队必须赛一场，12支队共赛多少场？题目中的相等关系是什么？
教师师总结：每两个队赛一场，共赛11场，题目中的相等关系是：胜场数=负场数+2，
胜场得分+负场得分=18分，胜场数+平场数+负场数=11场
解：设该队胜了场，则负了场，平了场，根据题意，得
.
解得.
答：该队胜了5场.
三、巩固拓展
1.姚明在NBA2008赛季常规赛的一场比赛中29投18中，拿下28分，其中9个罚球全中，（罚球投中一个得一分），请问姚明三分球投中几个？两分球投中几个？
学生活动：独立完成
教师总结：
解：设姚明三分球投中个,两分球投中个,依题意，得
，
解得，
.
答：姚明三分球投中1个,两分球投中8个.
2.足球比赛计分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了14场负5场共得19分，则求这个队胜多少场？平多少场？
学生活动：小组合作探究
教师总结：
解：设这个队胜场，则平场,依题意，得
,
解得,
.
答：这个队胜5场，则平4场.
四、课堂总结
1.本节课主要学习了球赛积分表问题，其中的基本相等关系是总分等于胜、负、平场数乘它们的单场积分的和.
2. 用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
五、作业
教科书习题练习第3题.
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