山东省枣庄市第四十二中学八年级数学上册 第四章《梯形》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第四章《梯形》教案北师大版

教学过程
一、创设问题，引入新课
师：我们前几节学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形四种特殊的四边形．这几种特殊的四边形都有一个共同点――两组对边分别平行．大家注意观察这几张图片，里面有你熟悉的图形吗？（播放幻灯片）
生：（齐声回答）有．
师：是我们前几节学习的特殊四边形吗？
生：不是，是我们小学时学过的梯形．
师：你对梯形了解多少呢？
生1：我知道梯形的面积公式是上底与下底的和乘以高除以2．
师：还有吗？
生1：没有了．
师：有哪位同学还知道关于梯形的其它知识？
生：（全班鸦雀无声）
师：这节课我们就进一步学习有关梯形的知识．（板书课题）学过之后，你会对梯形有更深层次的了解．
二、分组合作，探究新知
活动一：认识梯形
师：请同学们自学教材119页，然后我请一位同学来介绍有关梯形的概念．
（学生自己看书学习，理解概念，教师边巡视边指导）
师：你认为什么样的图形是梯形呢？（课件展示）
生1：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
师：你能给大家画个梯形吗？
生1：能.（在黑板上画出一个梯形）
师：这位同学画的非常好.我们来鼓励一下.你能介绍一下梯形的有关概念吗？
生1：平行的两边叫做梯形的底，上边的叫做上底，下边的叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高．
师：大家同意他的看法吗？
生：不同意．
师：不同意哪一点？
生2：上边的不一定是上底，下边的不一定是下底．
师：你认为哪一个是上底？哪一个是下底？
生2：较短的底是上底，较长的底是下底．
师：大家同意谁的看法？
生：生2的．
师：生2看书比较仔细．注意：梯形的上下底的区分是根据长度，而不是根据其位置．下面请大家在方格纸上画出下列图形：（1）四边形ABCD，使AD∥BC，AB和CD不平行，且AB＝CD；（2）四边形ABCD，使AD∥BC，AB和CD不平行，且CD⊥BC（课件展示）
（两个同学在黑板上画，其余同学在练习本上画）
师：请你给这两个四边形命名，并说明你命名的理由．
生1：第一个是等腰梯形，因为它是梯形并且两腰相等；第二是直角梯形，因为它是梯形并且有直角．
师：非常好！等腰梯形和直角梯形是我们重点研究的两种特殊梯形．谁能给这两种梯形下个定义?
生2：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形
师：很好．下面我们重点探究等腰梯形有哪些性质．
活动二：探究等腰梯形的性质（课件展示）
师：如图所示：已知四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC与BD相交于O点，过A点作AE⊥BC于E，过D点作DF⊥BC于F．图中除AB＝CD外，还有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？
（学生交流探究，教师巡视指导）
师：我们先看第一个问题，还有哪些相等的线段？
生1：相等的线段还有AD＝EF，AE＝DF，BE＝CF，AO＝DO，
BO＝CO
师：还有吗？
生1：AC＝BD
师：很好．你说一下AD＝EF，AE＝DF的理由吧．
生1：因为AE⊥BC，DF⊥BC，所以AE∥DF；又因为AD∥BC，所以四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．因此AD＝EF，AE＝DF（平行四边形的对边相等）．
师：很好．哪位同学能够证明BE＝CF？
生2：在Rt△ABE与Rt△DCF中，AB＝CD，AE＝DF，根据HL定理知Rt△ABE ≌ Rt△DCF，
所以BE＝CF．
师：你能继续证明AC＝BD吗？
生2：因为BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．在Rt△AEC与Rt△DFB中，AE＝DF，∠AEC＝∠DFB,
CE＝BF，所以Rt△AEC ≌ Rt△DFB（SAS），所以AC＝BD．
师：非常好，鼓励一下．还有AO＝DO，BO＝CO怎么证明呢？
生3：由Rt△AEC ≌ Rt△DFB可以得到∠ACE＝∠DBF，所以BO＝CO，又因为AC＝BD 已证，所以
AC—CO＝BD—BO，即AO＝DO．
师：也非常好．看来大家的思维比较活跃．通过以上证明，你认为等腰梯形有什么样的性质呢？大家可以讨论一下．
（学生讨论，教师巡视指导）
师：有结论的同学请举手．
生1：首先它的两个腰相等，然后是对角线相等
师：大家同意他的结论吗？
生：同意．
师：很好．从定义上我们就能得到两个腰相等，通过证明又得到对角线相等．那么刚才那道题目中有哪些相等的角呢？直角和对顶角除外．
生1：∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∠BAE＝∠CDF, ∠BAD＝∠CDA, ∠BAC＝∠CDB,
∠CAD＝∠BDA
师：怎么证明它们？
生1：刚才我们已经证明了AC＝BD，又因为AB＝CD，BC＝BC，所以△ABC ≌ △DCB(SSS)，所以得到∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC, ∠BAC＝∠CDB．因为AD∥BC，所以∠CAD＝∠BDA（两直线平行，内错角相等）；∠BAD＝∠CDA（两直线平行，同旁内角互补；同角或等角的补角相等）；由于第一步已证明Rt△ABE ≌ Rt△DCF，所以∠BAE＝∠CDF．
师：非常好！他的证明思路非常清晰，大家鼓励一下．可能其他同学还能证明其它的角相等，也可能还有其他的证明方法，我们就不一一证明了，有兴趣的同学课后可以自己证明．现在我们重点看两对相等的角∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA，这两对角中，每一对有什么样的位置关系？
生：都在上底或都在下底．
师：我们把这样的角称作梯形同一底上的内角．通过刚才的证明，我们又能得到等腰梯形的什么性质呢？
生：等腰梯形同一底上的两个内角相等．
师：这就是我们学习的等腰梯形的又一个性质．最后一个问题，等腰梯形是轴对称图形吗？
生：是（齐声回答）．
师：谁能说出它有几条对称轴？对称轴在什么位置？
生1：等腰梯形只有1条对称轴，对称轴是两底中点的连线．
师：对称轴是两底中点的连线？似乎表达不准确，你能准确表达吗？
生1：对称轴是过两底中点的直线．
师：这次就准确了．注意：对称轴应该是一条直线．现在我们来总结一下，你学会了等腰梯形的哪些性质呢？
生2：(1)两腰相等；(2)同一底上两个内角相等；(3)两条对角线相等；(4)它是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线．
师：总结很全面．下面我们就利用所学知识解决下列问题．
活动三：探究梯形的转化
师：如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，将腰AB平移到DE的位置．
（1） DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？
（2） 图中有哪些相等的线段、相等的角？
（学生根据题意，仔细审题，交流讨论）
师：谁来回答第一个问题？
生1：DE把四边形ABCD分成了平行四边形ABED和等腰三角形DEC两个图形．
师：为什么是平行四边形和等腰三角形？
生1：因为AD∥BE，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形；又因为等腰梯形中AB＝CD，所以DE＝DC，所以△DEC是等腰三角形．
师：大家听懂了吗？
生：听懂了．
师：把梯形转化为平行四边形和三角形来研究，我也同意．那么，试试看，你们都有哪些转化方法？大家可以讨论一下．
（学生讨论，探究梯形的转化方法）
师：哪位同学能展示自己的答案？把它画在黑板上．
生1在黑板上画出

师：可能大多数同学能想到分割梯形，你能否通过添辅助线，把这个梯形补成一个三角形或一个平行四边形呢？
（许多同学还有不同的思路；可以给学生一定的时间，分组讨论；在教师的指导下通过合作交流，探究学习）
师：哪位同学来展示一下探究的结果？
生2在黑板上画出

师：看来同学们的思维比较活跃，不但能够想到分割梯形，还能够想到补充梯形．在对梯形进行相关计算时，我们通常就是利用这两种方法把它转化为我们熟悉的三角形和平行四边形问题进行研究．对于以上同学们的探究结果，概括起来主要有以下几种：（展示课件）
（1）“平行一腰法”：使两腰在同一个三角形中，如图1、图2、图4所示．
（2）“作高”法：使两腰在两个直角三角形中，如图3所示．
（3）“平移对角线”法：使两条对角线在同一个三角形中，如图8所示．
（4）“延腰”法：构造具有公共顶角的两个等腰三角形，如图6所示．
（5）“等积变形”法：连接梯形上底一端点和另一腰中点并延长，与下底延长线交于一点，构成三角形，又称“取中点旋转”法，如图9所示．
师：另外，像刚才同学们讨论出的图5和图7，它们也用到了割补的数学方法，这一点值得肯定，希望大家在以后的做题中可以有选择的使用．
活动四：例题练习
师：通过刚才的探究，我们对梯形有了更深层次的认识．试试看，你能利用所学知识顺利完成下面这个题目吗？（展示课件）
例1如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，BC＝4，高DF＝2，求腰DC的长．
（学生小组交流做题过程，教师巡回指导）
师：大部分同学已经完成了.哪位同学来展示自己的解题过程？
生1：解：作AE⊥BC，垂足为点E，∵DF⊥BC，∴AE∥DF，
又∵AD∥BC
∴四边形AEFD是平行四边形.∴EF＝AD＝2，AE＝DF＝2．
在Rt△ABE和 Rt△DCF中，AB＝CD，AE＝DF．
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL）．
∴BE＝CF＝（BC－AD）＝（4－2）＝1．
在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋CF2＝22＋12＝5．
∴CD＝，即等腰梯形ABCD的腰CD长为．
师：这位同学用到了我们刚才学习的“作高”法，无论是做题步骤还是结果都非常好，大家鼓励一下．对于这道题，同学们还有别的方法吗？

生2：我是利用“平行一腰法”．如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E点．
∵AD∥BC, DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形．
∴AB＝DE，AD＝BE＝2．
又∵AB＝CD，∴CD＝DE，即△DEC是等腰三角形．
又∵DF⊥BC，∴EF＝CF＝（BC－BE）＝（4－2）＝1．
在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋CF2＝22＋12＝5．
∴CD＝，即等腰梯形ABCD的腰CD长为．
师：这位同学的解法也非常好，大家也鼓励一下．对于这道题目，可能还有别的解法，由于时间关系我们就不一一列举了．总之，对于梯形的题目，尤其是等腰梯形，做辅助线有时是非常必要的，作不同的辅助线同样可以解决问题，这就需要同学们多练习，多总结方法，广开思路．
三、学习收获
师：到现在为止，你对梯形是不是有了更深的认识？
生：（齐声回答）是．
师：到底是哪些更深的认识呢？
生1：我又知道到了梯形的概念是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，还有梯形的上底、下底、腰、高等概念．还有两类特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形．
师：还有吗？
生1：等腰梯形的性质：对角线相等，同一底上的两个内角相等.
师：哪位同学还有要补充的？
生2：我还学会了等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，它是过上下两底中点的直线.还有解决梯形问题常作辅助线方法：平行一腰法、“作高”法、“等积变形”法、“延腰”法、“平移对角线”法．
师：这两位同学总结的很全面.希望同学们在以后的做题中认真总结.下面我们完成自我检测题目.
四、课堂检测
A类：
1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝8厘米，则
(1)∠C＝ ，∠D＝ ，CD＝ 厘米．
(2)若BC＝15厘米，则AD＝ 厘米，梯形面积S＝ 平方厘米．
2．已知等腰梯形的一个内角等于70°，你能确定其他三个内角的度数吗？

B类：
1．如图,将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，则图中有平行四边形吗？△CAE是等腰三角形吗？为什么？

2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，若AD＋BC＝4cm，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积．

C类：
已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，
求证：AD＋BC＝DC．

五、作业：
习题4.8 　第2题
六、板书设计：
§4.5.1 梯形（一）
1．基本概念:
（1）梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形.
（2）上底：较短的底；
下底：较长的底．
（3）等腰梯形：两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（4）直角梯形：一条腰与底垂直的梯形．
2.等腰梯形的性质：
(1)两腰相等；
(2)同一底上两个内角相等；
(3)两条对角线相等；
(4)它是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线．
3．梯形常用辅助线作法
（1）平行一腰法；（2）“作高”法；
（3）“等积变形”法；（4）“延腰”法；
（5）“平移对角线”法．
4．例题分析
例1如图所示，在等腰梯形ABCD中，
D
A
B
F

┐
C
AD＝2，BC＝4，高DF＝2，求腰DC的长．

七、教学反思
1．本节课首先结合学生在小学阶段已有的知识经验引入梯形，通过巧设问题情境，以开放、探究问题为引线，激发学生的好奇心和求知欲，给学生充足的思考时间和充分的展示机会，点燃了学生思维的火花．学生的想象力和创造力令人惊讶，课堂上不同层次的学生都有成功的体验，不同的人有不同的收获．另外，课堂上我比较关注数学思想方法的渗透．本节课在学生自主探索等腰梯形的性质的过程中，不仅关注学生对性质的掌握，关注解题的策略，更多的是关注对学生数学思想方法的渗透．在学生理清了证明思路后揭示这些方法蕴含的数学思想——转化，让学生不仅知其然，而且知其所以然．总体来说，这节课效果较好，完成了本节课的教学目标，基本上体现了《新课标》的精神，培养了学生的探究意识和合作交流意识．
2．不足：关于梯形辅助线的作法，是一个难点，随意加大难度，会影响学生的学习积极性，在以后的教学中一定要注意这一点．
3．建议：对于梯形的有关概念名称，由于比较简单，课堂上以学生自学为主，教师再加以点拨强调，提高教学效率．对于辅助线，掌握比较简单的作法即可．