初三数学第一学期 一元二次方程的解法 因式分解法、分式法 一元二次方程的应用 华东师大版.doc

初三数学第一学期 一元二次方程的解法 因式分解法、分式法 一元二次方程的应用一. 本周教学内容： 一元二次方程的解法因式分解法、分式法； 一元二次方程的应用二. 重点、难点 重点： 1. 因式分解法、公式法解一元二次方程 2. 一元二次方程的应用 难点： 一元二次方程的应用 知识精讲与例题分析：（一）知识精讲 1. 一元二次方程的解法 （1）因式分解法：把一元二次方程通过分解因式化成一边是两个一次式的积，另一边是零的形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。 因式分解法根据的是，则a0或b0。 运用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为0的形式，再将左边分解因式变形为的形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程的解，从而求出原方程的解。 因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二次方程。 能用直接开平方法求解的一元二次方程，都可用因式分解法来求解。 （2）公式法：把一元二次方程化成一般形式后，把各项系数a、b、c的值代入求根公式中，直接求得方程的解。这种解方程的方法叫做公式法。 运用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成一般形式（），再明确a、b、c的值，并求出的值，当时，即可将a、b、c及的值代入公式中求出方程的解。 因为负数没有平方根，故当时，无意义，从而原方程无实数根。 求根公式的推导运用的是配方法，还可用另一种方法推导：在方程的两边都乘以4a，得。 移项，得，两边都加上，得，得。当时，是的平方根，故，即有。用配方法解一元二次方程时，也可用这种方法。 2. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出主要的数量关系； （2）设出未知数，并列出方程； （3）解方程； （4）检验所得方程的解是否符合题意； （5）得到原问题的答案。【典型例题】 命题方向：考查因式分解法 例1. 用因式分解法解下列方程： （1）（2） （3）（4） （5）（6） 分析：（1）（2）（4）中都有公因式可提，（3）（6）符合十字相乘，（5）变形后也可用十字相乘。 解：（1） （2） （3） 或 （4） （5）原方程可化为 （6） 点评：因式分解法的步骤是：方程右边化为0，左边化为两个因式的积，每一个因式等于0，解这两个一元一次方程。 命题方向：考查公式法 例2. 用公式法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 分析：解（2）（4）时需先化成一般形式，确定a、b、c的值，然后检验其判别式，当时，继续求解，当时可说明方程无解。 解：（1） （2）原方程可化为 （3） 原方程无实根 （4）原方程可化为 点评：用公式法解一元二次方程，常会忽视，解题的关键是熟记的求根公式，注意应用时首先要将原方程化成一般形式，以便于确定a、b、c的值。还有（2）中的解不要写成，这样会给人以此方程只有一解的印象，其实此方程应认为有两个相等的解。 例3. 某厂今年的产值为1600万元，计划通过改革技术，使今后两年的产值都比前一年增长相同的百分数。这样三年的总产值达到7600万元。求这个百分数。 分析：设这个百分数为x，则明年的产值为万元，后年的产值为万元。这样三年的总产值为万元。 解：设这个百分数为x。根据题意，得 整理，得 解这个方程，得 由于这个增长率不可能为负数，故不合题意，应舍去。即。 答：这个百分数是50。 点拨：选用x的代数式分别表示这两年的产值，从而表示三年的总产值，再由已知建立方程。要注意这里的7600不是第三年一年的产值，而是这三年的总产值。 例4. 某企业1999年初投资100万元生产适销对路的产品，1999年底将所获得的利润与年初的投资的和作为2000年初的投资，到2000年底，两年共获利润56万元。已知2000年的年获利率比1999年的年获利率多10个百分点（即2000年的年获利率是1999年的年获利率与10的和）。求1999年和2000年的年获利率各是多少？ 分析：设1999年的年获利率为x%，则2000年的年获利率是。于是1999年底的获利为万元，2000年初的投资为万元，2000年底的获利为万元。故。 解：设1999年的年获利率为x，则2000年的年获利率为。根据题意得 整理，得 解这个方程，得 显然年获利率不能为负数，故不合题意，应舍去。故x20。从而x%20，（x10）30。 答：1999年的年获利率为20，2000年的年获利率为30。 点拨：设出1999年的年获利率，并用未知数的代数式表示2000年的年获利率。要注意1999年和2000年年初的投资及56万元是两年的获利之和。 例5. 印刷一张矩形的张贴广告（如图），它的印刷面积是32dm2，上、下空白各1dm，两边空白各0.5dm。设印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积是Sdm2。 （1）试写出S与x的函数关系式； （2）当要求四周空白处的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？ 分析：由已知可得印刷部分的宽为，从而这个广告纸张的宽为。所以，广告纸张的面积为，再减去印刷部分的面积即得四周空白处的面积。 解：（1）因为印刷部分的面积是32dm2，印刷部分从上到下的长是xdm，故它从左到右的宽是。所以有 （2）根据题意，有 整理，得 解得 经检验x8是原方程的解且符合题意。 所以这张广告纸张的长为，宽为 答：（1）；（2）广告纸张的长为10dm，宽为5dm。 点拨：先用x的代数式表示印刷部分的宽，广告纸张的上、下长度及左右宽度，再求出广告纸张的面积，从而求出空白处的面积，并由此写出S与x的关系式。 例6. 如图所示，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m。 （1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）本题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？ 解：（1）设鸡场靠墙的一边长为xm，则与它相邻的两边长都为米，根据题意有 整理，得 解这个方程，得 当时，；当时， （2）当时，本题无解 当时，本题只有一解，即鸡场的长为15m，宽为10m； 当时，本题有两解，即鸡场的长和宽分别为15m、10m或20m、7.5m 点拨：墙的长对本题的解起着限制作用。 例7. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只要交10元电费；如果超过A度，则这个月除了仍要交的10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。 下表是一户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 根据上表的数据，求电厂规定的A度为多少？ 分析：由表可知，该户居民4月份用电未超过A度，即A45；3月份用电超过了A度，即A80。从而45A80。分析3月份的电费可知，前A度电交费10元，后（80A）度电交费251015元。由此可列方程。 解：由表知45A80。再由3月份的用电和交费情况，可列方程： 整理，得 解这个方程，得A130，A250 由于45A80。所以A30不合题意，舍去。即A50。 答：电厂规定的A度是50度。 点拨：先根据已知条件找出A的取值范围，再根据题意列出方程。要注意3月份的交费有两部分，其中按每度元交费的电量是（80A）度而不是80度。 例8. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）如果设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元。试写出y与x的函数关系式。 （2）用配方法说明每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？是多少？ 分析：由于衬衫的进价不变，故每降价1元，利润就减少1元。每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40x）元。又由于每件衬衫每降价1元，则平均每天多售出2件，故每件衬衫降价x元，则平均每天多售出2x件，即每天销售件。由此可求y与x的函数关系式为。即。再配方可得平均每天盈利最多的降价方案。 解：（1） 即 （2）配方，得 ，这时x15 即每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元。 点拨：函数中的配方与方程不同的是，将二次项的函数变为1时，方程中是在两边都除以二次项的系数，而函数中则是将二次项的系数提出来，放在前面。因此，在配方时一定要注意符号的变化。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 用因式分解法解一元二次方程 （1）（2） （3）（4） 2. 用公式法解一元二次方程 （1）（2） （3）（4） 3. 一批上衣原来每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，结果以每件240元的价格迅速售出，求每次降价的百分率。 4. 如图所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍。要使三个鸡舍的总面积为36m2，求每个鸡舍的长和宽。 5. 两艘船同时从A港出发，一艘船的速度是15海里/小时，航向是东北方向，另一艘船每小时比第一艘船快5海里，航向是东南方向，问2h后，两艘船相距多少海里？多长时间后，两艘船相距100海里？ 6. 假设每一位参加宴会的人见面时都要与其他人握手致意，这次宴会共握手28次，问参加这次宴会的共有多少人？参考答案 1. （1）（2） （3）（4） 2. （1） （2） （3） （4） 3. 第一次降价20，第二次降价40 4. 3m和4m 5. 50海里 4小时 6. 8人