初三数学第一学期 分式及一元二次方程两章知识复习 华东师大版.doc

初三数学第一学期 分式及一元二次方程两章知识复习
一. 本周教学内容：
分式及一元二次方程两章知识复习

［教学重难点］
重点：
1. 分式基本性质及运算法则。
2. 通过解分式方程，领悟数学中“转化”的内涵。
3. 零指数幂、负整数指数幂与其它知识的综合应用。
4. 一元二次方程的四种解法。

难点：
1. 用“整体代入”、“换元”、“降次”思想求代数式的值。
2. 用“配方”的方法解决最佳问题。
3. 提高学生综合运用学科知识的能力。
4. 渗透对一些创新题的解题思路，提高学生解题能力。

【典型例题】
例1. 计算：
分析：本题涉及知识点较多，有分母有理化、特殊角三角函数值、零次幂、负整数次幂相关知识，做题时想清法则，注意符号。
解：原式

例2. 用科学记数法表示－0.00000127（保留两个有效数字）。
分析：此题简单，但非常易错。如①此数学点数、负号易丢。②保留两个有效数字，取近似值，不进行四舍五入。③此数绝对值小于1。用科学记数法表示其中10的指数应为负指数等地方，都易出错。
解：≈－1.3×

例3. 化简求值：
①，求的值。
②，求的值。
③，求的值。
④，求的值。
分析：①②均为整体代入思想。③为求齐次式值。④为降次思想。
解：①∵求的值，∴x≠0
∴两边同除以x

∴，
∴
②∵，
∴，

③∵，∴设

④∵，∴

例4. 关于x的方程有一个正数解，求m的取值范围。
分析：由于方程有一个正数解，可先求出方程的解x，由于，得m的范围。但要注意增根x＝3的情况。
解：方程两边同乘（）得：
∴
∵方程有一个正数解，且x≠3
∴
∴

例5. 解关于x的方程：
①
②
③
分析：①注意失根问题；②用因式分解法或直接开平方法简单；③用因式分解法或公式法或配方法。
解：① 注意：不要两边同除以（）

②
或

③解法1：

解法2：公式法

例6. 阅读短文
一元二次方程的根的情况可由来判定，因为一元二次方程经过配方可变形为

观察此式，我们不难发现一元二次方程根有三种情况：
①当时，方程有两个不相等的实数根，
；
②当时，方程有两个相等的实数根，
；
③当时，方程没有实数根
这里叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即，用它可以直接判断一元二次方程是否有实数根。
根据上面所提供的内容请完成下面两道题：
（1）（新疆生产建设兵团，2004年）下列方程没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
（2）当k取什么值时，关于x的方程
①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；
③没有实数根
分析：根据短文提供的信息，应用根的判别式解题。（1）一元二次方程的根的情况是由的符号决定的，要使方程没有实数根，只要求出即可。（2）题中所给的方程显然是一元二次方程，并且已知方程根的情况，求字母系数的取值范围，这三个问题与判别式有关，所以求出的表达式，然后建立等式或不等式，从而可求出k的值或取值范围。
解答：（1）先把方程转化成一元二次方程的一般形式，再用来判断。
方程A变形为
∵
所以方程无实数根；
对于方程B，转化为
∵
∴方程有两个不相等的实数根；
对于方程C，转化为
∵
∴方程有两个不相等的实数根；
对于D，
∴方程有两个相等的实数根，故选A。
（2）
∴

①当，即时，
方程有两个不相等的实数根；
②当，即时，
方程有两个相等的实数根；
③当时，方程没有实数根。

例7. （山西省，2002年）阅读下列材料：
关于x的方程：
的解是；
的解是；
的解是；
的解是；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。
请用这个结论解关于x的方程：

解答：（1）。验证：当，左边＝右边
∴是原方程的根；
当时，验证也是原方程的根。
（2）原方程可化为：
由以上结论可知：
∴
经检验都是原方程的根。

例8. 用配方法解有关最佳问题：
①求的取值范围。
解：

∵
∴
∴，即
②学校准备在围墙边设计一个长方形自行车棚，一边利用围墙，并且已有总长为34米的铁围栏。

（1）如果要使这个自行车棚的面积为144平方米，请你设计如何搭建较合适？
（2）如果要使搭建的自行车棚面积最大，请你设计搭建的方案？
分析：由于自行车棚靠围墙，可设自行车棚宽为x，则长为34－2x
对于（1）由长方形的面积可知，即可求出x。
对于（2）我们只要求出代数式的最大值，可通过配方法来完成。
解答：（1）设自行车棚的宽为x，则长为34－2x
依题意可列方程：
代简整理，得
解得
故有两种设计方案：
方案1：宽为9米，长为34－2x＝16米；
方案2：宽为8米，长为34－2x＝18米。
（2）设自行车棚的宽为x米，则长为34－2x。依题意自行车棚的面积

∵当时，的值最大，故最大面积为平方米
故可设计宽为米，长为米，自行车棚的面积最大，最大面积为平方米。

【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一、填空题（3分×10＝30分）
1. 如果分式的值为零，那么x的值应是____________。
2. 若＝3，则____________。
3. 若关于x的方程的一个根是－2，则它的另一个根是_________。
4. 已知：是方程的两个根，且，则m的值为____________。
5. （哈尔滨市，2003年）抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格为a元的过氧乙酸消毒液提价20%后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价后下降15%，那么现在每桶的价格是____________元。
6. 计算的值为_____________。
7. 计算的值为____________。
8. 若m、n是方程的两个实数根，则的值是____________。
9. （新疆生产建设兵团，2004年）2004年4月18日零时起，全国铁路第五次大提速，其中进出疆列车提速幅度最大的是乌鲁木齐至重庆的1084次列车，全程缩短了9小时。已知乌鲁木齐至重庆的行程为3405千米，提速前的平均速度约为52千米/时，求提速后的平均速度。设提速后的平均速度为x千米/时，则可列出方程____________。
10. （武汉市，2003年）已知，，
…，若（a、b为正整数），则____________。

二、选择题（3分×10＝30分）
11. 下列计算正确的是（多选题）（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
13. 一个氧原子的质量约为0.000 000 000 000 000 000 000 026 57克，用科学记数法表示（结果保留2位有效数字）（ ）
A. 克 B. 克
C. 克 D. 克
14. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
15. （武汉市，2004年）今年某市初中毕业生人数约为12.8万人，比去年增加了9%，预计明年初中毕业生人数将比今年减少9%。下列说法：①去年初中毕业生人数约为万人；②按预计，明年初中毕业生人数将与去年持平；③按预计，明年初中毕业生人数会比去年多。其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①
16. “五·一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租价为180元。出发时，又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费。若设参加游览的学生共有x人，则所列方程为（ ）
A. ＝3
B.
C.
D.
17. （天津市，2003年）若，则的值为（ ）
A. －2 B. 0 C. 2 D.
18. （太原市，2004年）小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一副挂图（如图1），使风景画的面积是整个挂图面积的54%。设金色纸边的宽为x厘米，根据题意所列方程为（ ）

图1
A.
B.
C.
D.
19. 满足方程的x的个数为（ ）
A. 4个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
20. （黄冈市，2003年）关于x的方程有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，方程的两个根互为相反数
B. 当k＝0时，方程的根是x＝－1
C. 当k＝±1时，方程的两个根互为倒数
D. 当时，方程有实数根

三、解答题
21. 解下列方程（5分×3＝15分）
（1）
（2）
（3）
22. 计算或化简（6分＋7分）
（1）；
（2）（山东省威海市，2004年）已知，求÷的值。
23. （江西省南昌市，2004年）已知关于x的方程
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。
24. （南宁市，2003年）2001年我国政府工作报告指出，为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取一系列政策措施，2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元，预计2003年将达到304.2亿元，求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率。（参考数据：）（10分）
25. 某项工程，甲、乙两人合作，8天可以完成，需费用3520元；若甲单独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，这样需要费用3480元，问甲、乙两人单独完成此项工程，各需要费用多少元？（12分）

[参考答案]

一、填空题
1. －3（点拨：分子为0，而分母不为0。）
2. 7（点拨：）
3. 6（点拨：先求a＝4，再解方程。）
4. 0或16（点拨：把代入方程。）
5. 1.02a（点拨：。）
6. （点拨：原式。）
7.
8. －2003（点拨：由根与系数关系知，mn＝－1，
∴。）
9.
10. 109（点拨：注意发现规律，
∴。）

二、选择题
11. ABCD 12. A 13. A 14. C
15. D 16. D
17. D（点拨：。）
18. B
19. A（点拨：当x≠0时，，解得；当x＝1时，原方程成立；当x＝－1时，原方程也成立。）
20. D（点拨：把代入方程，A不正确；当k＝0时，x＝1，B不正确；
∵
∴，D正确；C不正确，
∵方程有两个实数根，
∴，∴k＝1不满足条件。）

三、解答题
21. （1），∴
（2）
（3）利用公式法，
22. （1）
（2）先化简得
23. （1）
∴
（2）取m＝1，原方程为
方程两根为，则
∴
24. 设2001年至2003年每年平均增长率为x，
则，
∴，（舍去）
25. 设甲单独完成此项工程需x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，乙单独完成此项工程需天，
依题意
∴x＝12，经检验x＝12是原方程的根，
所以，乙单独完成的天数为24天
甲、乙合作一天的费用为3520÷8＝440（元）
又设乙每天需费用m元，则6×440＋6m＝3480
∴m＝140。所以甲每天需要费用为440－140＝300元
故甲、乙单独完成此项工程各需费用分别为300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）。