资源描述
课题；第十二讲二次函数（1）
教学目标：
1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.
2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.
3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.
4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.
教学重、难点：
重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．
难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．
教法与学法指导：
本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.
在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.
课前准备：
教师：导学案、课件.
学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.
教学过程：
一、解读中考，弄清目标
活动内容1：中考要求
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.
3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.
4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．
设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．
二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）
活动内容1：导入新课
导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。迎考复习重在从厚到薄，当把每一讲专题都读完，就是大家上“战场”的时候，现在是“磨刀霍霍”的黄金季节，希望同学们结合中考要求，真正读好“二次函数”这一讲，以求厚积薄发，大家有没有信心？（提高语调）
【教师板书课题：第十二讲二次函数】
设计意图：本环节旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对专题复习的重要性的渗透，有复习内容的渗透，从而树立了学生信心．从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的．
活动内容2：知识梳理
师:课前请同学们翻阅课本并回忆方程的有关内容，熟记概念、解法等知识点，完成了知识梳理.下面我们比一比看谁谁做得最好!（导学案，提前下发，学生在导学案中填空）
知识点一、二次函数的定义
一般地，形如二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数
知识点一、二次函数的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)．
知识点二、二次函数的图像及性质
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c及符号之间的关系：
a，b，c符号
图象的特征
a的符号
a 0
抛物线开口向上
a 0
抛物线开口向下
b的符号
（“左同右异”）
ab 0
抛物线的对称轴在y轴的左侧
b 0
抛物线是y轴
ab 0
抛物线的对称轴在y轴的右侧
c的符号
c 0
抛物线与y轴交于正半轴
c 0
抛物线与y轴交于原点
c 0
抛物线与y轴交于负半轴
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点四、二次函数图象的平移
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可以通过配方转化为顶点式，图象可以由y＝ax2（a≠0）经过适当的平移得到.具体平移方法如下图所示：（利用口诀“上加下减，左加右减”进行记忆）
向上（k＞0），向下（k＞0）
向右
向左
平移
单位
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个
平移︱k︱个单位
向右
向左
平移
单位
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个
向上（k＞0），向下（k＞0）
平移︱k︱个单位
+k
知识点五、二次函数关系式的确定
(1)若已知条件是图像上的三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知三点坐标代入，求出其a，b，c的值．
(2)若已知二次函数顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，则设顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出a，h 或k的值．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 将第三点坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
处理方式：学生边口答边在学案中填空，师生共同回顾矫正完成.
设计意图：二次函数的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此自主复习放在课前，从而培养学生自主学习的习惯，通过“导学案”形式让学生学习，在填空的过程中回顾二次函数的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做可以节省课上时间，让学生在数学学习活动中，完成二次函数的知识要点复习，目的是夯实基础．
三、构建网络，形成体系
你能理清顺序，全盘把握吗？
师:通过前面知识梳理，相信同学们对本节课的知识结构已胸有成竹，请同学们结合前面的内容构建知识网络图. （教师留给学生3分钟时间，让学生明白本节知识及知识间的联系.）
活动内容：构建知识结构图
处理方式：学生举手回答，畅所欲言，其他同学互相讨论补充.在学生充分交流后,
最终构建如上的知识结构图．
设计意图：以知识树的形式帮助学生进一步巩固二次函数的知识，明确二次函数各知识点之间的彼此间的联系．便于学生更好的从整体上把握本节内容,使知识更具系统性、条理性．
四、题组训练，夯实基础
师：在大家全面梳理知识的基础上，让我们一起来关注几个核心内容（引领学生完成导学案上的基础题组训练）.
活动内容：题组训练：
1．(2014·枣庄)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
2．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( B )
A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1 C．y＝ D．y＝－x2＋1
3．(2014·上海)如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( C )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
4．若二次函数y＝x2－6x＋c 的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋，y3)三点，则关于y1，y2，y3的大小关系正确的是( B )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．(2014·东营)若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( D )
A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0,2或－2
6．(2013·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( C )
A．x＜2
B．x＞－3
C．－3＜x＜1
D．x＜－3或x＞1
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( B )
A．2
B．4
C．8
D．16
8．(2014·临沂)在平面直角坐标系中，函数y＝x2－2x(x≥0)的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a(a为常数)与C1，C2的交点共有( C )
A．1个
B．1个，或2个
C．1个，或2个，或3个
D．1个，或2个，或3个，或4个
9．(2014·聊城)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( B )
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
10．(2013·宿迁)若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 1或0 .
处理方式：采取先独立完成，后交流的方式，师巡视时并作个别指导；对普遍性的错题进行展示.
设计意图：本题组问题设置十分简单，在回顾已学知识的基础上可以直接得出答案，课堂上可以采取抢答的方式解决，教师在需要时引导学生找出解题的关键点、指导学生正确解答的方法，并及时作出评价.借助本基础题组，让学生巩固二次函数的图象和性质，体会数形结合的思想，同时更是为后面应用二次函数的图象和性质解决问题做铺垫.
五、考点剖析，提供示范
活动内容：释疑解惑，巩固提高
考点1： 二次函数的图象与系数的关系
【例1】(2014·莱芜)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x＝－>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝ －2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.
【方法总结】
此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2－4ac的符号，此外还要注意x＝1，－1，2及－2时对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．
【巩固训练，举一反三】
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （的实数），其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
考点2：二次函数的图象和性质
【例2】(2014·威海中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，
如图所示，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=-1；
③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a>0(m≠-1).其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】
选C.
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，∴c=0，故①正确；
∵二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和(0，0)，∴对称轴是直线x=-1，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c，∵对称轴是直线x=-1，∴b=2a，∴y=a+2a+c=3a，故③不正确；
∵当x= m时，y= am2+bm+ c；又当x= -1时，y=a-b+c，且此时函数取得最小值
∴a-b+c<am2+bm+ c即a-b<am2+bm，又b=2a，∴am2+bm+a>0(m≠-1)，故④正确.
【方法总结】
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)根据a确定开口方向，顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口方向，分对称轴左右两部分来考虑.
【巩固训练，举一反三】
1.(2014·南充中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论：
①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；
⑤若，且x1≠x2，则x1+x2=2.其中正确的有 ( D. )
A. ①②③ B. ②④ C.②⑤ D.②③⑤
2．(2014·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0.
其中正确的个数为( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点3： 抛物线与几何变换
【例3】(2014·荆门)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【思路点拨】
因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.
【答案】 B
【方法总结】
抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.
【巩固训练，举一反三】
1.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
2. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 ．
3.抛物线y=（x﹣1）2+2关于x轴的对 称抛物线的解析式是_______________？
考点4：求二次函数的解析式
【例4】(2014·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，
过A(2,0)，B(0，－1)和C(4,5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值
【思路点拨】
已知抛物线上任意三个点，可设抛物线的一般式，代人即可求解
【规范解法】：
(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2,0)，B(0，－1)和C(4,5)三点，
∴ 解得
(2)当y＝0时，x2－x－1＝0，解得x＝2或－1，∴D(－1,0).
(3)如图，当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.
【方法总结】
1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求解析式；
2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析式，最后化为一般式；
3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为（x1，0）、（x2，0）)时，可设交点式求解析式，最后化为一般式.
【巩固训练，举一反三】
1．(2014·杭州)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 .
2．(2014·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是
y＝－(x＋6)2＋4
3．已知抛物线y与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，－3)．
①求抛物线的解析式和顶点坐标；（y＝－x2＋4x－3，顶点坐标(2，1)）
②请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．（y＝－x2）
六、回顾反思，提炼升华
活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
七、当堂检测，反馈纠正（多媒体出示）
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是( C )
A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为( A )
A．y＝3(x＋2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x－2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1
3．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( B )
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
4．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，
则y1，y2，y3的大小关系为( A )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 m≥－2.
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④b＝－2a.则其中结论正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）
基础作业：新课程复习指导丛书 P57~ P60
拓展作业：新课程复习指导丛书P68T10，P73T18．
设计意图：分层作业使每个学生都能有所收益、有所提高，学生在落实基础知识的同时拓展思维，提高能力，且又做到了减负．拓展题为学有余力的同学准备的，让不同的学生有不同的发展，以便于对学生进行因材施教分类推进，让数学爱好者能吃得饱，学得好，能力最大限度的提高．
板书设计：
第十二讲二次函数（1）
中考要求：
错题展示：
例题：
达标检测情况统计：
投
影
区
学生活动区
设计意图：在学生充分思考、交流的基础上出示本章知识网络图，让学生再次梳理知识，明确各知识点间的联系，将零散、孤立的知识形成网络,帮助学生更系统地掌握知识的同时，增强合作意识，以及与别人交流的能力,让学生在数学学习活动中完成统计的知识要点复习.）
设计意图：通过学生独自回忆和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师进行全班展示，学生对照自己的总结查缺补漏.
[师] 了解了本章的知识，结合下面的基础题组，让我们更进一步地认识知识网络，形成知识体系．（以学案的形式呈现给学生，要求学生独立完成）
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