资源描述
课题：第十二讲 二次函数
教学目标：
1. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
2.会根据公式确定图象的顶点坐标、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题.
3.会用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴和最大（小）值；并通过建立坐标系，利用二次函数来解决简单的实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.
复习重点与难点：
重点：建立二次函数的模型，会利用二次函数知识解决简单的实际问题．
难点：建立二次函数模型，利用二次函数知识解决实际问题．
课前准备：
教师准备：多媒体课件.
学生准备：完成导学案“课前热身”．
教学过程:
同学们，上节课我们重点复习了二次函数的概念、图像和性质及其简单的应用.通过复习相信大家对于二次函数的知识,已有了更深刻的认识和理解.那么怎么应用二次函数知识来解决简单实际问题呢？就让我们一起走进今天的复习吧——二次函数的实际应用.
（教师板书课题：第十二讲 二次函数）
一、课前热身，回顾知识
（多媒体出示“课前热身”题组，并引导学生分组展示）请同学们先根据你课前的准备，派小组代表完成“课前热身”的展示.）
1.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为0.5米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是( )
A. y＝－(x－0.5)2＋3 B．y＝－12(x－0.5)2＋3
C. y＝－(x＋0.5)2＋3 D．y＝－12(x＋0.5)2＋3
2.小王在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )
A. 3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
1题图 2题图
3.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是____m.
4.如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
3题图 4题图
5.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3 m时，水面CD的宽是10 m．建立如图所示的直角坐标系，则此抛物线的解析式为__ __．
5题图 6题图
6.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m。
(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
7. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
解：(1)y＝－3x＋108 (2)每天获得的利润为P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2160＝－3(x－28)2＋192，∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大
处理方式：本题组问题设置的比较简单，学生在回顾已学知识的基础上可以直接得出答案，课堂上可以采取抢答的方式解决.教师在需要时引导学生找出解题的关键点、指导学生正确进行解答，并及时作出评价.借助本基础题组，让学生巩固二次函数知识，体会二次函数是一类最的优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值,同时也为后续应用二次函数知识解决问题做好了铺垫.
设计意图：分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识来解决实际问题是本节课的重点，也是考试的热点，通过这个题组训练，让学生掌握建立二次函数模型解决实际问题解题方法. 并能利用二次函数知识解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等. 培养学生的自主学习能力和应用意识.
二、典例剖析，深化知识
类型一 实物抛物线型问题
【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【解析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解.（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间.
解：(1)依题意有顶点C的坐标为(0，11)，点B的坐标为(8，8)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，有解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋11 (2)令－(t－19)2＋8＝11－5，解得t1＝35，t2＝3.因为a＝－＜0，所以当3≤t≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32(时).
【方法总结】利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后再把求出的结果转化为实际问题的答案．
强化训练
1.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式.（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【解析】（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0，y=2，及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；（3）先把x=0，y=2，代入到y=a(x-6)2+h中求出；然后分别表示出x=9，x=18时，y的值应满足的条件，解得即可.
解：（1）把x=0，y=2，及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h。
即2=a(0－6)2+2.6，∴。
∴y=(x-6)2+2.6。
（2）当h=2.6时，y=(x-6)2+2.6。
当x=9时，y=(9－6)2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网。
当x=18时，y=(18－6)2+2.6=0.2＞0
∴球会过界。
（3）把x=0，y=2代入到y=a(x-6)2+h得；
x=9时，(9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，(18－6)2+h=＞0 ②
由① ②得h≥.
【方法总结】利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后再把求出的结果转化为实际问题的答案．
设计意图：只学数学知识，而不将数学知识联系生活，数学就是无意义的学科，也不会唤起学生对数学学习兴趣.实物抛物线形问题是二次函数中最具代表性的实际问题，准确分析其中的数量关系是解决问题的关键.
类型二 二次函数在销售利润中的应用
【例2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)
【解析】（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27500，∴y＝－5x2＋800x－27500 (2)y＝－5x2＋800x－27500＝－5(x－80)2＋4500，∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下，∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90，∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解得x≥82，∴82≤x≤90，即销售单价应该控制在82元至90元之间.
【方法总结】解决此类问题，一般要读懂题目，理解题意―→找出合适的等量关系―→列函数关系式―→进而求出函数的最大值．其中列函数关系式同方程一样，关键是寻找数量关系.注意：结合图象由利润确定销售单价的范围．
强化训练
2. 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
（学生8分钟时间读题，找到问题中的量及各量之间的关系，将实际问题转化为数学问题，并尝试解决问题，同伴间交流、补充.）
解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.综上可知，y＝ (2)当1≤x＜50时，二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000.综上可知，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3)当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元
【方法总结】解决此类问题，一般要先列出二次函数关系式，再利用二次函数的图象、性质及问题的具体情况解决问题.其中列函数关系式同方程一样，关键是寻找数量关系.
类型三 二次函数在几何图形中的应用
【例3】如图，某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
【解析】（1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105，
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
∴
强化训练
3.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【方法总结】解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围．
类型四 一次函数、反比例函数与二次函数的选用
【例4】某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：
价格x(元/个)
…
30
40
50
60
…
销售量y(万个)
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元．
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；
(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
解：(1)经描点、连线可知，表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，可求y与x的函数解析式为y＝－0.1x＋8 (2)由题意，得z＝(x－20)y－40＝(x－20)(－0.1x＋8)－40＝－0.1x2＋10x－200＝－0.1(x－50)2＋50，∴当x＝50时，z最大值＝50，即z与x的函数解析式为z＝－0.1x2＋10x－200，销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元 (3)当z＝40时，－0.1(x－50)2＋50＝40，解得x＝40或60.又∵该公司要求净得利润不能低于40万元，∴40≤x≤60.又∵还需考虑销售量尽可能大，即y尽可能大，x尽可能小，∴x＝40.即销售价格x(元/个)的取值范围是40≤x≤60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个
【方法总结】(1)建立平面直角坐标系，通过描点，连线等方法观察函数图象的大致形状―→函数类型；(2)一般式―→顶点式即可；(3)观察图象―→销售的价格．
强化训练
4. 小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测出这种植物高度的增长情况(如下表)：
温度x/℃
…
－4
－2
0
2
4
4.5
…
植物每天高度
增长量y/mm
…
41
49
49
41
25
19.75
…
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，则解得∴y关于x的函数关系式为y＝－x2－2x＋49.不选择另外两个函数的理由：注意到点(0，49)不可能在任何反比例函数图象上，∴y不是x的反比例函数；(－4，41)，(－2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y不是x的一次函数 (2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50，∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y的最大值是50，即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大
(3)－6＜x＜4
处理方式：此题由学生讲解，教师点拨，渗透数形结合的思想.（留给学生足够的时间探索）
设计意图：设计本巩固练习的目的是使学生加深对二次函数的概念及其性质各个考点及解决方法的理解，让学生感受到二次函数的应用．
四、总结收获，提炼反思
今天我们学习了哪些数学知识？
我最大的收获是……
我表现不足的地方是……
我想进一步研究的问题是……
设计意图：学生互相说出自己的感受和收获，都能说出二次函数的各个考点及解决方法，让学生感受到二次函数的应用．
五、当堂达标，反馈矫正
A组：
1.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数） 出售，可卖出（30-x)件.若使利润最大，每件的售价应为________ 元.
2.2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为 __ 米．
2题图 3题图
3.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是__ __．
4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ____ ℃.
B组：
5.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)试确定y与x之间的函数关系式.
(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q元，试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当销售单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：为了能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，分层设置一组课堂反馈训练题，要求学生完成必做题后，可以有选择的去做选做题，有助于学生开拓思维，提高能力．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：复习丛书57页 第1、2、3、4、5题；第58页 第6、7、8、9、10、11题.
选做题：复习丛书59页 第50页第12、13题.
板书设计:
第十二讲 二次函数（2）
一、例1
二、例2
三、例3
四、例4
投
影
区
学生板演处
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