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第十二讲 二次函数（1）
教学目标：
1.理解二次函数的有关概念，掌握二次函数表达式的两种形式．
2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3.会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
4.掌握二次函数图象的特征与a，b，c及的符号之间的关系.
教学重点与难点：
重点：掌握二次函数的图象与性质.
难点：会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
课前准备：教师准备：多媒体课件．
学生准备：（提前一天布置）①预习新课程初中复习指导丛书55～56页二次函数的图象与性质的知识梳理；②完成新课程初中复习指导丛书57～60页强化训练第1、2、3、7、8题．
教学过程:
一、知识梳理，建构网络
1. 二次函数的两种形式：⑴ 一般形式： （a , b , c是常数，a≠0）.
⑵ 顶点式： （a , h, k是常数，a≠0）.
2. 二次函数的图象与性质：
二次函数
a
a＞0
a＜0
图象
x
y
O
x
y
O
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
最值
二次函数
a
a＞0
a＜0
图象
x
y
O
x
y
O
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
最值
3. 二次函数图象的特征与a，b，c及的符号之间的关系：
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口 .
a＜0
开口
b
b=0
对称轴为 .
ab＞0(b与a同号)
对称轴在y轴 侧
ab＜0(b与a异号)
对称轴在y轴 侧
c
c=0
经过原点（0 ，0）
c＞0
与y轴 相交
c＜0
与y轴 相交
=0
与x轴有 交点（顶点）
＞0
与x轴有 交点
＜0
与x轴有 交点
4.二次函数图象的平移：
抛物线与中a相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置不同，它们之间可以通过适当的平移得到.具体平移方法如下图所示：（口诀“上加下减，左加右减”）
向右
向左
平移
单位
向左向右
平移
单位
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个
向上（k＞0），向下（k＞0）
平移︱k︱个单位
平移︱k︱个单位
向上（k＞0），向下（k＞0）
+k
5.二次函数关系式的确定：
⑴ 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式：y= (a≠0),将已知三点的坐标代入，求出其 ， ， 的值．
⑵ 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式： y= (a≠0),将已知条件代入，求出 的值．
⑶ 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1 , 0）,(x2 ，0)，则设交点式：y= (a≠0),将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出 的值，最后将关系式化为一般式．
处理方式：利用多媒体出示二次函数的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．
设计意图：以问题串的形式让学生回顾二次函数的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，完成知识脉络的梳理后，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，感受到数形结合思想，让学生在数学学习活动中完成二次函数的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础．
二、专题探究，归纳整合
活动内容1：二次函数的表达式
1．抛物线的顶点坐标是 ．
2．已知对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交与（1 ，0），(3 ，0)两点，则它的对称轴为 ．
处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
第1题图
y
x
O
1
－1
B
A
x
y
O
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的两种表达式之间的相互转化关系，掌握求二次函数顶点坐标的方法．
活动内容2：二次函数的图像与性质
1．.二次函数的图象如图所示，则下列关系式
中错误的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．＞0 D．＞0
2．已知二次函数（）与一次函数
的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），
则能使成立的的取值范围是 ．
处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等，进而使学生知道从这五个方面探究二次函数的性质．
活动内容3：二次函数的图像的平移
1．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本题的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生理解和认识抛物线的平移不改变图象的形状和大小都相同，只是位置不同．
三、典例精析，方法总结
【例1】 若是二次函数，则m＝( )
A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对．
处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在练习本上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对二次函数的概念有更深层次的理解和认识．
【例2】 抛物线的顶点为D（-1 ，2） ，与x轴的一个交点A在点（-3 ，0）和（-2 ，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：① ；
②；③；④方程有两个相等的
实数根，其中正确结论的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
处理方式：让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误．
点拨：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0 ，0）和（1 ，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1 ，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
设计意图：通过本题的设置，使学生进一步理解二次函数的图象与性质，理解二次函数对称性、增减性以及与方程、不等式的关系．
【例3】 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是 ．
处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．
点拨：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
方法总结：本题考查了二次函数与不等式等有关知识，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．
【例4】 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）
A.（-1 ，1） B. （1 ，-2） C. （2 ，-2） D. （1 ，-1）
方法总结：抛物线的平移可以看作顶点坐标的移动，因此讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的.
处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨，并利用多媒体课件展示方法总结．
点拨：二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数的图象变成顶点式，求得顶点坐标（-1 ，-1），再按照“左加右减，上加下减”的规律，可求得新抛物线的顶点坐标．
设计意图：二次函数的图象形状及开口与a的值有关，抛物线的平移不改变图象的形状和开口的大小都相同，不改变a的值，只是位置不同，改变的是抛物线的对称轴的位置，顶点坐标的位置．
四、回顾反思，提炼升华
经过本节课的回顾与复习, 你对这部分知识是否有了新的认识? 你还存在哪些困惑? 和你的同伴交流一下吧！
处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂活动的经历、感受和收获，然后找3个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示二次函数的知识树．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知识进行梳理，培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．
五、达标测试，反馈提高
1．抛物线经过点（2 ，4），则代数式的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. B. C. D.
3．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
1
2
3
-1
-1
1
x
y
O
（第4题图）
①抛物线与轴的一个交点为（3 ，0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．
4．二次函数的图象如图所示．
当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
5．已知二次函数
⑴ 用配方法求其图象的顶点C的坐标，
并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
⑵ 求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．
设计意图：设置的当堂检测便于及时获知学生对本讲知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课后促学
必做题：《新课程初中复习指导丛书》 P57-59第、4、9、11题.
选做题：《新课程初中复习指导丛书》P59-60第12、14题.
板书设计：
第十二讲 二次函数的图象与性质（1）
知识梳理 构建网络
典例精析，方法总结
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