一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法.pdf

第 卷第 期 年 月南 京 邮 电 大 学 学 报（自 然 科 学 版）（）：一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法许王琴，宋 雨，张连娜，宋学力长安大学 理学院，陕西 西安()摘要：压缩感知理论可以在远低于奈奎斯特采样率的前提下精确重构稀疏信号，重构算法是该理论的核心内容之一。为提高稀疏信号重构精度，提出一种改进的光滑化共轭梯度算法并将其应用到真实口腔 图像重构中。与光滑化共轭梯度算法相比，首先，该算法采用的在线柏萝登弗莱彻戈德福布生纳（，）校正矩阵近似目标函数的 逆矩阵的精度更高，进而提高了信号重构精度；其次，相较于线搜索准则求步长的方法，该算法采用自适应巴尔兹莱博韦恩（）步长方法，降低了步长计算量。实验结果表明：与改进前的算法和半阈值算法相比，该算法重构稀疏信号的成功率和信噪比均提高、相对误差降低；重构 图像的峰值信噪比和结构相似性指数均提高，最大分别提高约 和。关键词：压缩感知；范数正则化；算法；自适应步长；信号重构；图像重构中图分类号：文献标志码：文章编号：（），()收稿日期：；修回日期：本刊网址：基金项目：长安大学中央高校基本科研业务费专项（）资助项目作者简介：许王琴，女，硕士研究生；宋学力（通信作者），男，博士，教授，引用本文：许王琴，宋雨，张连娜，等一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法南京邮电大学学报（自然科学版），（）：，：；依据传统的奈奎斯特采样定理，采集信号时会出现大量冗余信号，占用了很多储存空间和运算资源，极大地影响了信息领域的发展。压缩感知理论提供了一种新的信号处理方式，它可以在低采样率的前提下精确重构稀疏信号。近几年来，该理论在信道估计、图像处理、多用户检测等领域得到了广泛应用。压缩感知理论主要包括稀疏表示信号、选择观测矩阵和设计重构算法 部分。其中，重构算法是能从少量观测值中精确重构稀疏信号的关键，其性能与稀疏信号的重构精度密切相关，因此，设计好的重构算法有重要意义。数学上，通过求解如下 范数最小化问题来解决稀疏信号重构问题 （）式中，为需要被恢复的稀疏信号，（）为感知矩阵，为测量向量，表示 中非零元素的个数。由于直接求解 最小化问题是 难的，因此很多学者提出对其近似求解的方法，如贪婪方法、凸松弛方法和非凸松弛方法。贪婪方法有正交匹配追踪算法、压缩采样匹配追踪算法等，此类算法计算过程简单，但重构信号精度低。凸松弛方法将范数松弛为 范数，然后对 最小化问题进行求解，在一定条件下，最小化问题和问题（）有相同的解，求解该问题的经典算法有基追踪算法、快速迭代阈值算法等，此类算法重构信号精度较高，但需要大量观测值。常见的非凸松弛方法使用（）范数或高斯类函数近似 范数，有研究指出，在一定条件下，（）范数最小化问题的解很大概率是问题（）的解，并且求解该问题需要更少的观测向量，本文研究（）最小化问题的解法。目前，已有许多求解 最小化问题的算法。等提出了 时的半阈值（，）算法；等提出了先更新每个原始变量，再更新对偶变量的交替方向乘子（，）算法；等提出了求解 和 时的封闭形式阈值算法；等利用投影算子，提出了神经动力学算法；年，等给出一种性质好的新光滑化模型，并结合共轭梯度法，提出了光滑化共轭梯度 法（，），该算法相较于一些现存算法在重构信号时有很多优点。为避免计算新目标函数的 逆矩阵，算法在迭代中利用校正矩阵来近似 逆矩阵，但校正矩阵只利用了最后一次迭代过程的梯度变化量和位移，近似 逆矩阵精度低，导致稀疏信号重构精度低；且该算法选择步长时要满足线搜索准则，这要求在每次迭代中目标函数充分减少，若函数值下降量很小时，要经过很多次迭代才能得到步长，计算量大。针对以上不足，由于校正矩阵近似 逆矩阵精度的高低取决于应用前面迭代信息的多少，考虑到 算法中校正矩阵更新时，只利用了最后一次迭代过程的梯度变化量和位移，而在线柏萝登弗莱彻戈德福布生 纳（，）算法的校正矩阵在每次迭代中应用了前面迭代全部的梯度变化量和位移，其近似 逆矩阵的精度随着迭代越来越高，可以通过提高校正矩阵的精度从而提高信号重构精度；同时，因为 算法不需要复杂线搜索求取步长，考虑到自适应巴尔兹莱博韦恩（，）步长利用相邻两迭代点的梯度变化量和位移确定步长，过程中不涉及矩阵的求解，简化了计算，因此用自适应 步长方法来确定本文算法的步长。本文应用文献提出的新光滑化模型，结合 算法和自适应 步长方法，提出一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法。对稀疏信号进行仿真实验并将该算法应用于真实口腔计算机断层扫描（，）图像重构，实验结果表明，与 算法和 算法相比，本文提出的算法在重构稀疏信号时的重构成功率、相对误差、信噪比结果以及重构图像时的峰值信噪比相较结构相似性指数结果更优。本文算法的性能更好。光滑正则模型将 范数松弛为（）范数得到如下最小化模型 （）式中，（）为感知矩阵，为测量向量，为需要被恢复的稀疏信号，。（）范数非凸、非光滑，文献指出 最小化问题是 难问题，求解困难。将约束优化问题（）转化为无约束正则优南京邮电大学学报（自然科学版）年化问题 （）式中，为正则化参数。（）范数中绝对值函数 在 处的非光滑性导致式（）中的目标函数不可导，为方便求解，用光滑函数对目标函数进行近似。借鉴文献的方法，首先用光滑函数（）近似绝对值函数，（）定义为（）再利用重加权技术，得到模型（）的光滑目标函数（）（）（）（）则式（）的光滑化模型为 （）（）（）式中，参数 ，。改进的光滑化共轭梯度算法 光滑化共轭梯度算法 年，等提出光滑化共轭梯度算法（）求解问题（），该算法具有结构简单、存储量小的优点，算法流程见算法。算法 算法输入：测量向量，感知矩阵。输出：重构出的稀疏信号。（）选取初始数据；（）当迭代次数 且光滑化参数 时（）计算搜索方向；（）用 搜索求步长；（）迭代点 ；（）若（）（）（），；：，执行后转步骤（）。上述算法步骤（）中的搜索方向 可以写为共轭梯度和拟牛顿两种形式，为方便比较，这里给出拟牛顿形式的 （）其中校正矩阵 （）（）其中 ；（），（）；（）（）；式中，为模型信赖域参数，表示相邻两迭代点对应目标函数梯度的变化量，表示相邻两迭代点的位移，表示步长。上述算法步骤（）中步长 的确定使用了 搜索准则，定义为 ，满足条件（）（）（）式中，（，）为给定的下降率，（，）。本文算法在 算法的搜索方向中，和 都是常数，可见式（）中校正矩阵 的更新只与向量，有关，即在每次迭代中，只利用了最后一次迭代过程的位移和梯度变化量近似目标函数的 逆矩阵，没用到前面迭代的信息，而校正矩阵近似 逆矩阵精度的高低取决于应用前面迭代信息的多少，因此 算法中校正矩阵 精度低，导致稀疏信号重构精度低。算法用以下校正矩阵 近似目标函数 逆矩阵 （）式中，参数 ，；，定义同式（）。可见，当迭代次数 时，式（）中 的更新利用第 期许王琴，等：一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法了前面迭代全部位移和梯度变化量，其近似 逆矩阵的精度会随着迭代越来越高，因此 算法可以提高稀疏信号的重构精度。算法中步长 的确定使用了 准则以保证搜索方向为下降方向，在每次迭代中，准则要求目标函数有足够的下降量，当（）与（）很接近时，要经过很多次迭代才能得到步长，期间需要计算大量函数值。与 算法不同，算法确保了校正矩阵 的正定性，使得生成的搜索方向是目标函数的下降方向，不需要通过复杂的 搜索准则确定步长，进而可以使用其他合适的步长求解方法。算法在合理选择参数和固定步长的条件下收敛。为简化步长求解过程，基于 算法根据经验选取固定步长不合适时会导致算法不收敛，且不需要通过线搜索求取步长的特点，给出简单高效的自适应步长方法，本文考虑使用自适应 步长方法。自适应 步长利用相邻两迭代点的位移和其对应目标函数的梯度差来确定步长，即（）式中，（）（）。式（）中 的值与式（）中 的值有关。当目标函数（）非凸时，其 逆矩阵通常非正定，因此用 近似 （其中 ）的逆矩阵，可得 ，则步长 。自适应 步长方法在迭代中自适应选择步长，首先，该方法比选取固定步长时稀疏信号重构精度高，且避免了固定步长的选取不合适时算法不收敛的缺点；其次，在步长求取过程中不涉及矩阵的计算，仅仅要求一阶信息的存储，减少了步长的计算量；最后，该方法不要求目标函数在每次迭代中必须下降，比应用线搜索准则的 算法收敛速度更快。基于上述分析，本文提出一种改进的光滑化共轭 梯 度（，）算法。算法流程见算法。算法 算法输入：测量向量，感知矩阵。输出：重构出的稀疏信号。（）初始化：初始点，正则化参数 ，光滑化参数 ，初始迭代次数 ，初始校正矩阵 ，终止准则 ，算法中的 个参数 ，；（）当 且 时 进入外循环（）；当 且 时 更新光滑化参数的值，进入内循环；（）计算搜索方向 （）；（）若 ，则 ；否则；计算步长（）；（）；计算下一个迭代点（）（）（）；（）()()；（）若（）（）（），跳出内循环，执行后转步骤（）；（）：，执行后转步骤（）；（）；更新正则化参数的值（）退出外循环得到。实验结果与分析为验证本文算法的性能优势，本节设计了 算法与 算法、算法的对比实验。下面实验中，算法和 算法中的参数值分别按文献和文献的方法选取，算法的参数取值如下，稀疏信号重构实验以下实验中，感知矩阵 的元素服从，分布，原始稀疏信号 的非零元素服从（，）分布。实验 不同稀疏度下 种算法的重构成功率本实验中，取观测值 ，信号稀疏度 在区间，每隔 进行取值，对每一个 值，随机生成 个测试例子。当 时认为信号重构成功，其中是原始稀疏信号，是算法重构出的解。重构成功率定义为重构成功率 重构成功次数实验总次数 重构成功率越高表示算法恢复稀疏信号性能越好。实验结果如图 所示。由图 可知，在区间，上，算法、算法和 算法几乎可以完整重构稀疏信号；在区间，上，随着稀疏度的增加，种算法的重构成功率均降低，但在同一稀疏度下，算法的南京邮电大学学报（自然科学版）年重构成功率始终高于 算法和 算法。算法重构稀疏信号的性能更好。图 不同稀疏度下 种算法的重构成功率实验 不同稀疏度下 种算法的相对误差本实验中，数据的生成方式同实验。相对误差（，）定义为 式中，为原始稀疏信号，为算法重构出的解。对 个测试结果取平均值，相对误差越小表示算法恢复稀疏信号性能越好。实验结果分别如图 和表 所示。图 不同稀疏度下 种算法的相对误差表 不同稀疏度取值下 种算法的相对误差算法 由图 可知，在区间，上，算法和 算法的相对误差较为平稳，且 算法的相对误差值更小；由图 和表 可知，在区间，上，种算法的相对误差均随着稀疏度的增加而增大，但 算法的相对误差低于 算法和 算法。在稀疏度区间，上，算法的相对误差比 算法低出约，比 算法低出约，可见，在稀疏度较高时，算法在相对误差上的优势更明显。总体上看，本文提出的 算法的相对误差值最小，重构稀疏信号性能最好。实验 不同稀疏度下 种算法的信噪比本实验中，数据的生成方式同实验。信噪比（，）计算方式如下 式中，为原始稀疏信号，为算法重构出的解。对 个测试结果取平均值，信噪比越大表示算法恢复稀疏信号性能越好。实验结果如图 所示。图 不同稀疏度下 种算法的信噪比由图 可知，在区间，上，种算法的信噪比较为稳定，算法的信噪比最大；在区间，上，随着稀疏度的增加，种算法的信噪比都不同程度地减小，但 算法的信噪比最高。算法重构稀疏信号的性能最好。实验 不同观测值下 种算法的重构成功率本实验中，取信号的稀疏度 ，观测值 在区间，每隔 进行取值。实验结果如图 所示。由图 可知，种算法的重构成功率都随着观测值的增加而增大，在同一观测值下，相较于 算法和 算法，算法有最高的重构成功率；当纵坐标重构成功率一定时，算法需要更少的第 期许王琴，等：一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法观测值就能重构稀疏信号。因此，本文算法重构稀疏信号性能最好。图 不同观测值下 种算法的重构成功率 图像重构实验实验 不同采样率下 图像重构对比实验 近年来被广泛应用于临床医学等领域，希望在减少扫描时间的同时有效重构高分辨率图像。算法重构信号和图像需要稀疏度为先验信息，在稀疏度未知情况下，该算法不能精确重构信号和图像。在本实验中，用 算法和 算法分别对不同采样率的真实口腔 图像进行重构，采样率定义为 ，其中、分别为观测矩阵的行和列，取采样率分别为、，图像大小为，观测矩阵选择高斯随机矩阵，稀疏矩阵选择正交离散小波变换矩阵。利用峰值信噪比（，）和结构相似性指数（，）来衡量 图像的重构效果。定义为 式中，均方误差（，）（，）（，），表示原始图像，表示算法重构的图像，表示图像 中最大的像素值。越大，表示算法重构图像的效果越好。是一种衡量两幅图像相似度的指标，定义为（，）（）（）（）（）式中，为图像 的平均值，为图像 的平均值，为图像 的方差，为图像 的方差，为图像 和图像 的协方差，参数 （），（）为用来维持稳定的常数，为像素值的动态范围。的取值范围为，值越大表示两幅图像差距越小，即重构的图像质量越好。实验结果分别如图、图、图 和表 所示。图 采样率为 时算法重构结果 图 采样率为 时算法重构结果南京邮电大学学报（自然科学版）年图 采样率为 时算法重构结果表 不同采样率下两种算法重构的 图像数值采样率 由图、图 和图 可知，对于同一个算法，采样率越大，重构出的图像纹理越清晰；在同一采样率下，算法重构的图像比 算法重构的图像整体效果好。由表 可知，在同一采样率下，算法的 值和 值均高于 算法的值，其中 值最大高出约 ，值最大高出约，本文所提算法提高了 图像重构精度。结束语本文提出了一种改进的光滑化共轭梯度算法，即 算法，并将其应用于真实口腔 图像重构。该算法首先采用了对 逆矩阵近似精度更高的 算法以提高信号重构精度；其次采用了计算简单的自适应 步长方法求取步长。对稀疏信号进行仿真实验并将该算法应用于真实口腔 图像重构中，实验结果表明，与 算法和 算法相比，本文提出的算法在重构稀疏信号时的重构成功率、相对误差、信噪比结果以及重构图像时的峰值信噪比和结构相似性指数结果更优，本文算法的性能更好，具有理论意义和实用价值。参考文献：，（）：费洪涛，何雪云，梁彦 基于自适应压缩感知的 稀疏信道估计研究 南京邮电大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：（），：，：陈发堂，石贝贝，杨恒一种联合信道估计与多用户检测的新型算法南京邮电大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：（），（）：，（）：，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：第 期许王琴，等：一种改进的光滑化共轭梯度稀疏信号重构算法 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（，），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：刘加会，刘红卫，杨善学基于自适应 步长的直接搜索共轭梯度法吉林大学学报（理学版），（）：，（），（）：（），（）：杨坪坪，冯汉升，许继伟，等 图像重建中的一种新型滤波器中国医学物理学杂志，（）：，（）：（）（责任编辑：李小溪）南京邮电大学学报（自然科学版）年