一道与“曼哈顿距离”有关的轨迹问题的探索.pdf

18数学教学研究第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月一道与“曼哈顿距离”有关的轨迹问题的探索王先东（湖北省武昌实验中学，湖北武汉4 3 0 0 6 1）摘要：从欧氏几何系统中两点间的直线距离，到从城市街道的实际而引出的曼哈顿距离（也叫出租车距离），那么两点间的曼哈顿距离与欧氏几何系统中两点间的距离有何关系呢？只要把两点间的曼哈顿距离转化为直线（折线）距离，那么这个问题就迎刃而解，本文就这一问题而展开研究。关键词：曼哈顿距离；轨迹方程1问题的提出在欧氏几何系统中A（1,i),B（i,y)两点间的距离为|AB=/-）+（-2）.但由于我们居住城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此，乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进.由此产生了“出租车几何学”（也叫曼哈顿几何学），即在平面直角坐标系中，定义P（1，y）,Q（2,2)之间的曼哈顿距离（也叫“出租车距离”）为：d(P,Q)=lai-2l+ly1-y2 l.显然，这种“距离”具有以下性质：(1)非负性：两点的曼哈顿距离总是大于或等于0；(2)对称性：A到B的曼哈顿距离等于B到A的曼哈顿距离；(3)零距离：A到B的曼哈顿距离等于0，当且仅当A与B重合.那么，平面直角坐标系下到两定点A，B 的曼哈顿距离相等的点的轨迹到底是一条怎样的曲线呢？1.1从一道考题谈起例1（湖北省重点中学高二期中联考试题改编)在平面直角坐标系中,定义P（1,yi),Q（2，y2)之间的曼哈顿距离(也叫“出租车距离)为d(P,Q)=li-21+ly1-y2l.已知点A（一3，一4),B(5,7),C(9,5).（I)求到点A,B的曼哈顿距离相等的点P的收稿日期：2 0 2 2-1 2-2 2作者简介：王先东（1 96 3 一），男，湖北省特级教师，湖北省武昌实验中学数学正高级教师，武汉市“十百千人才工程”专家.轨迹方程；（)求到点A,B,C的曼哈顿距离相等的点的坐标.分析这是一道高二联考试题，试题旨在考查直线方程、分段讨论去掉绝对值符号等，同时推出一道创新试题，以此激发学生的创新能力的提升.据统计，该题的均分仅为0.1 5 分，属于超难题，考查目标没能达成.难道这个问题真的就“难不可攀”吗？本文从曼哈顿距离的定义出发，用去掉绝对值符号的最基本的方法全面解析这道题，并以此作进一步的探究.解（I)设点P(,y),因为d(P,A)=d(P，B)，由曼哈顿距离的定义知1+3|+4|=l5|+|7l显然方程（1)就是到点A，B 的曼哈顿距离相等的点P的轨迹方程.那么，如何去掉绝对值符号，实现方程的简化呢？（困难点就在于此）1.2问题的探究首先作出直线=3，=5,=4 和=7，将平面分成9 个区域（如图1）；然后讨论当点P分别落在各个区域时，将方程（1)中的绝对值符号去掉；最后再将结果合并起来.当点P落在区域时，即方程(1)可化为：(1)3,y7.C第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月(+3)+(+4)=(5)+(7),P37A即1=一2,不成立，故在此区域无轨迹.当点P落在区域时，即-35,(y7.方程(1)可化为(+3)+(y十4)=(5)+(y7),9即与一3 5).当点P落在区域时，方程(1)可化为(+3)+(y+4)=(5)+(7-),5即=一十2(-35).当点P落在区域时，方程（1)可化为(3)+(y十4)=(5)+(7),11即2(-3).故点P的轨迹方程为：(11(5).2（如图2 中的粗折线）。（I）仿照（I）的方法可得：到点B,C的曼哈顿数学教学研究距离相等的点P的轨迹方程为(6(y7).y5-489图119(3)X7-3二4图2如图2 中的粗折线虚线部分.由方程（2)和（3)得交点D（6，故到点A,B,C的曼哈顿距离相等的点的坐标5为 D(6,一21.3问题的进一步探究例2 求到点A（-3，一2）,B（5,6)的曼哈顿距离相等的点P的轨迹.解到点A,B的曼哈顿距离相等的点P的轨迹方程为1+3|+|+2|=|-5|+|-6|仿照例1 的讨论方法可化简轨迹方程（4).当点P落在区域时，即-3,(6.方程(4)可化为(+3)+(y+2)=-(-5)+(y6),即一1=一1,恒成立，因此点P的轨迹方程为-3,y6.它表示一个平面区域.同理，当点P落在区域，时，方程（4)不成立，故在此区域也无轨迹.(2)当点P落在区域时，即-3a5,1-2y6.方程(4)可化为B5TD5(下转第3 4 页）(4)34Space实用指南 M.北京：科学出版社，2 0 1 4.11Chaomei Chen et al.Emerging trends in regenerativemedicine:a scientometric analysis in Cite SpaceJ.Expert Opinion on Biological Therapy,2012,12(5):593-608.(上接第 1 9 页）(十3)+(y十2)=(5)-(y6),即十y一3=0,因此轨迹方程为y=-+3(-35,(-2.它也表示一个平面区域。因此到点A,B的曼哈顿距离相等的点P的轨迹方程为(-3,(y6,或者y=-+3(-35,(y-2.如图3（中间的粗线部分加上两个平面区域）.y6P-3A数学教学研究12潘虹，基于学生发展核心素养的初中数学作业设计J.教学与管理，2 0 1 7(2 2)：4 5-4 6.13吴立宝，孔颖等.“双减”背景下我国中小学作业研究的热点、演进与展望J.天津师范大学学报（社会科学版），2 0 2 2(0 1)：5 0-5 6.2问题的解决通过对以上两个例题的分析和总结，我们不难发现：“在平面直角坐标系下，到两定点A（1，y1），B（2,2)的曼哈顿距离相等的点的轨迹”为(1)当直线AB的斜率为0 或者不存在时，轨迹为AB的中垂线；(2)当kAB=1时，轨迹为两个平面区域加一条线段（该线段过AB中点且斜率为一1，两个平面区域位于线段的两端；当kAB=一1 时，轨迹为两个平面区域加一条线段（该线段过AB中点且斜率为1，两个平面区域位于线段的两端）。(3)当kAB1时，轨迹为“之字形”折线段.中间为过AB中点且斜率为一1 的线段，两端为平行于轴(或与轴重合)的两条射线；(4)当kABE（O,1)时,轨迹为“之字形 折线段.中间为过AB中点且斜率为一1 的线段，两端为平行于轴（或与轴重合)的两条射线；(5)当kAB一1 时，轨迹为“之字形 折线段.中间为过AB中点且斜率为1 的线段，两端为平行于轴(或与轴重合)的两条射线；B(6)当kABE（一1,0)时，轨迹为“之字形 折线段.中间为过AB中点且斜率为1 的线段，两端为平5行于轴（或与轴重合)的两条射线.X-2图3第4 2 卷第4 期2 0 2 3年7 月参考文献1王先东，查炜.折线型函数的图象与性质研究.数学教学研究 J.2014(7)：1 4-1 7.2范逸璇，出租车几何学J.数学通报，2 0 1 7（6）：5 4-5 8.(上接第 2 6 页）要想让学生的注意力集中，就要让学生保持新鲜感，为了达到这一点，教师可以多变换教学的方式，利用幽默谈谐的课堂语言与丰富的体态语言来吸引学生的注意力.此外，除了回顾以前的旧识，把握当下的课堂外，也要引进后续的内容，不要局限于在课堂上复习旧课和讲解新课，只懂得“昨天”和“今天”，而应该把“明天”引进课堂，依靠数学内容的逻辑链，牢牢吸引与把握学生的思维注意力.参考文献1 罗增儒.“圆满答案”的反思“教学价值”的拖延 J中学数学,2 0 0 3(6)：1-2.