有限差分法求解一维非线性谐振子问题.pdf

收稿日期:基金项目:辽宁省教育厅面上项目()辽宁省普通高等教育本科教学改革研究项目()辽宁省研究生教育教学改革研究项目()年辽宁大学研究生“课程思政”示范课程()辽宁大学研究生优质在线课程建设与教学模式综合改革研究项目()辽宁大学本科教学改革研究项目()作者简介:王军平()男甘肃天水人博士讲师研究方向:强激光场中原子分子的超快动力学.通讯作者:丁勇:.辽宁大学学报 自然科学版第 卷 第 期 年 .有限差分法求解一维非线性谐振子问题王军平张成园李永庆丁 勇(辽宁大学 物理学院辽宁 沈阳)摘 要:针对许多量子体系很难得到薛定谔方程解析解这个问题本文提出采用有限差分法求解薛定谔方程从而将连续的量子力学本征值问题转化为离散的矩阵运算问题.首先以一维线性谐振子为例采用有限差分法求解了该体系的本征能量以及本征函数然后与一维线性谐振子的解析解进行对比验证了有限差分法求解薛定谔方程的可行性与准确性最后又采用有限差分法求解了一维非线性谐振子的本征能量以及本征函数并与微扰法得到的近似解进行了比较.关键词:有限差分法薛定谔方程一维非线性谐振子中图分类号:.文献标志码:文章编号:()():.:引言量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支主要研究原子、分子、凝聚态物质以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论.尽管其描述的对象是微观粒子但是量子力学的建立也带动了计算机、化学、生物、医学等方面关键性技术的发展.薛定谔方程是量子力学中最基本的方程其地位如同经典力学中的牛顿方程、电磁学中的麦克斯韦方程组.每个微观体系都具有特定的薛定谔方程式通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的本征能量从而了解微观体系的性质.目前人们对氢原子体系的薛定谔方程可以严格求解但由于大部分量子体系的哈密顿算符均比较复杂不易得到薛定谔方程的解析解.例如:非线性谐振子问题 它是量子力学研究的重点之一由于包含非线性项该体系的薛定谔方程一般无解析解所以发展薛定谔方程的数值解法具有重要意义.有限差分法是一种计算给定量子体系束缚态能级以及相应本征函数的高效方法.它的基本思想是先把体系所处的空间进行网格化然后采用合适的数值微分公式把薛定谔方程中的微商转换为网格点的差商从而将连续的量子力学本征值问题转化为离散的矩阵运算问题最后通过 的矩阵对角化函数求出束缚态能级以及相应本征函数的数值解.首先本文以一维线性谐振子为例利用有限差分法求解其本征能量以及本征函数然后与其解析解进行比较验证有限差分法求解薛定谔方程的可行性与准确性最后再将该方法应用到一维非线性谐振子体系从而得到该复杂体系的能级以及本征函数并将该结果与微扰法得到的近似解进行比较.一维线性谐振子本征值问题的数值求解设一维线性谐振子的势函数为()()其中:表示谐振子质量 表示频率.其定态薛定谔方程可以表示为()()()()()根据有限差分法的思想将连续的薛定谔方程转换为离散的矩阵方程首先将体系所处的空间离散化即从 到 选取一系列等间隔的点 则对应各个离散点的波函数的值为()()().利用有限差分法中的三点差分公式方程()中的二阶微分可表示为()()()()()()其中 表示网格点的间隔.将式()代入式()可得()()()()()()()()为了书写简便令 ()则式()可以简化为 第 期 王军平 等:有限差分法求解一维非线性谐振子问题()()()()()()式()可以转换为以下矩阵形式:()()()()()()()()()()()()()表 数值求解得到的前 个能级与解析解的对比解析解/(.)数值解/(.)相对误差/.图 差分法计算的 的概率密度与解析解对比图 可以看出本文已经将薛定谔方程转换成矩阵方程只要求解出该矩阵方程的解便可以得到该量子体系的本征能量以及本征函数.我们利用 中的矩阵对角化函数可以高效地求解矩阵问题.计算中为了表示方便本文采用原子单位(.)并且使谐振子基态能量与氢原子相同即 .选取的空间为 .得到的一维线性谐振子的前 个能级如表 所示.为了验证三点差分法得到的数值解的精度表 同样给出了量子力学中推导出的解析解 进行对比并且计算了数值解与解析解之间的相对误差如表 所示.可以看出随着量子数 的增大相对误差逐渐增大但都控制在.以下.同时本文将数值求解得到的本征函数与解析解进行了比较画出了量子数 的概率密度图像如图 所示.同样可以看出数值解与解析解高度重合说明三点差分法得到的数值解具有很高的精度.一维非线性谐振子本征值问题的数值求解设一维非线性谐振子的势函数为()()其中 为常数表示非线性的程度.当 较小时非线性项可以看作微扰项可以采用微扰理论进行 辽宁大学学报 自然科学版 年 求解.但是当 较大时尤其是当非线性项与线性项相差不多时此时微扰理论就失效了因而数值求解非常必要.采用与一维线性谐振子相同的处理方法将一维非线性谐振子的薛定谔方程转换为以下矩阵方程:()()()()()()()()()()()()()选取与求解一维线性谐振子相同的参数:.通过求解方程()可得到一维非线性谐振子的能级和本征函数.同时我们将得到的数值解与量子力学中微扰法求解的一级近似解进行比较从而可以检验微扰理论的适用范围.根据微扰理论考虑一级修正的能量可以表示为 ()()考虑一级修正的波函数为()()()()()()()()()()()()()()()()()表 .时前 个能级的数值解与微扰近似解的对比数值解/(.)微扰近似解/(.)相对误差/.首先本文选取 .此时非线性项完全可以看作微扰.表 给出了此参数下利用三点差分法数值求解得到的前 个能级.作为对比表 也给出了微扰法求解的结果同时计算了两种计算结果之间的相对误差.可以看出当 .时利用微扰法得到的近似解比较精确前 个本征态的本征能量相对误差都低于.另外我们发现随着量子数的增大相对误差也逐渐增大.吴锋等将参数微扰法应用到研究体系激发态能级上使得高激发态能级的计算精度显著提高.同时本文将数值求解得到的本征函数与微扰得到的近似解进行了比较同样画出了量子数 的概率密度图像如图 所示.可以看出当 .时近似解与数值解符合得很好说明在此参数下微扰法能够给出较精确的近似解.接着本文选取 .此时非线性项与线性项的数量级相同.表 是此参数下计算得到的前 个能级.可以看出当.时相对误差已显著增大当 时相对误差接近于 说明此 第 期 王军平 等:有限差分法求解一维非线性谐振子问题 图 .时差分法计算的 的概率密度与微扰近似解对比图图 .时差分法计算的 的概率密度与微扰近似解对比图时微扰法已不再适用.同样我们画出了量子数 的概率密度图像如图 所示.可以看出当 逐渐增大时微扰法得到的概率密度图像与数值解之间的差别越来越大再次说明在此参数下微扰法已不再适用.表 .时前 个能级的数值解与微扰近似解的对比数值解/(.)微扰近似解/(.)相对误差/.结论本文利用有限差分法计算了一维非线性谐振子的本征能量以及本征函数.通过与一维线性谐振子的解析解进行对比验证了有限差分法求解薛定谔方程的可行性与准确性.此外本文将有限差分法计算的一维非线性谐振子的数值解作为参考讨论了不同程度的非线性项下微扰法得到的近似解的相对误差.有限差分法公式简单并且易于编程其结果的精确度也很高.因此对于量子力学中无法得到解析解的量子体系都可以采用有限差分法进行求解该方法在研究量子力学问题中可能会具有广泛的应用前景.参 考 文 献:周世勋.量子力学教程.版.北京:高等教育出版社.黄家寅李少强郑雨军等.量子非线性谐振子的一致有效渐近解.曲阜师范大学学报(自然科学版)():.石寿珠.处理非线性谐振子问题的方法.华北水利水电学院学报():.苟立丹张志颖朱瑞晗.二维耦合非线性谐振子的近似求解.大学物理():.蔡德欢刘兰兰程荣龙等.利用自洽平均值近似方法处理二维非线性谐振子问题.蚌埠学院学报():.张义灵梁冬梅李洁等.参数微扰法求解三维非线性谐振子问题.广西物理():.吴锋黄备兵孟丽娟.用参数微扰法求解非线性谐振子问题.大学物理():.徐建良汤炳书.量子非线性谐振子的数值计算.广西物理():.张文生.科学计算中的偏微分方程有限差分法.北京:高等教育出版社.陈皓高明汪青杰.用有限差分法解薛定谔方程.沈阳航空工业学院学报():.刘晓军.有限差分法解薛定谔方程与 实现.高师理科学刊():.朱萧霄崔艳波丁鑫等.有限差分法解薛定谔方程及其应用.常州工学院学报():.乔鹏方基宇牛中明.有限差分法求解薛定谔方程.贵州师范学院学报():.(责任编辑 郑绥乾)辽宁大学学报 自然科学版 年