线性代数试题库(矩阵).doc

(完整word)线性代数试题库(矩阵)
1．对任意阶方阵总有（ )
A。 B.
C. D.
答案:B

2．在下列矩阵中，可逆的是( )
A。 B.
C。 D。
答案：D
3．设是3阶方阵，且，则( )
A。-2 B.
C. D。2
答案：B
4．设矩阵的秩为2，则( ）
A。2 B.1
C。0 D。—1
答案:B
提示：显然第三行是第一行和第二行的和
5．设，矩阵满足方程，求矩阵.
答案：
解：

显然可逆,所以：

6．求下列矩阵的秩

答案：3
7．设矩阵，矩阵由矩阵方程确定，试求.
答案：

所以：
8．设矩阵可逆，证明
证明：因为,矩阵可逆，所以

又因为，所以：
9若是( ），则必为方阵。
A。 分块矩阵 B. 可逆矩阵
C。 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵
答案 ：B
10。设阶方阵,且，则 （ )。
A。 B。
C。 D。
答案 :A
11若（ ),则
A。 B。 秩=秩
C。 与有相同的特征多项式
D. 阶矩阵与有相同的特征值,且个特征值各不相同
答案：B
12。设，则______.
答案：
13.设矩阵,且秩，为的一个阶子式，则_____.
答案 ：0
14已知，且，则______。
答案：1
15.已知,求矩阵。
解：矩阵可逆，所以由

16.若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.
证明：因为矩阵为非奇异矩阵，所以
,即:
因为矩阵为对称矩阵，所以，则有：
所以：，即也是对称矩阵。。
17.设是矩阵，是矩阵,是矩阵,则下列运算有意义的是（　　　)
A。 B.
C. D.
答案:C
18。设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（　　　）
A. B。
C. D.
答案：B
19。设为阶矩阵，秩,则秩（　　　)
A。0 B.1
C. D.
答案:A
因为是由矩阵的代数 余子式组成，但是秩,所以其代数余子式全部为0，所以：
20矩阵的秩为（　　　)
A.1 B.2
C。3 D.4
答案：3
21。设为2阶方阵,且，则_____________。
答案：2
22。设是3阶矩阵,秩=2，则分块矩阵的秩为_____________.
答案 :5
23。设矩阵,求矩阵，使
解:由得:，，

所以：
24. 设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_____。
答案：9
提示:
25。 设，且,则____。
答案:

26. 设,，，则_____。
答案 ：

27。 （5分）设且满足，求
解:可逆
由，得

所以：
28. 设矩阵
其中,， 。
为的伴随矩阵。计算
解:

显然：
29．设是两个阶方阵，若则必有（ )
A．且 B．或
C．且 D．或
答案：D
30．若都是方阵，且，则（ ）
A．-2 B．2
C． D．
答案：C
31．矩阵的伴随矩阵（ )
A． B．
C． D．
答案：C
32．设为34矩阵,若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
33．设为4阶矩阵，，则 。
答案:3
34．设，则 .
答案：－32
35．设， ，则 。
答案:
36．= .
答案：
提示：用 分块对角矩阵做.
37．设，求满足关系式的3阶矩阵

,
所以：
38．设矩阵的秩为2,求。
解：
因为：矩阵的秩为 2，所以
39．已知阶方阵满足关系式，证明是可逆矩阵，并求出其逆矩阵。
证明：
所以是可逆矩阵，且其其逆矩阵为:
40．设是3阶方阵，且,则（　　　）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
答案：A
41．设矩阵,则（　　　)
A． B．
C． D．
答案:A
42．设是阶方阵,，则下列结论中错误的是（　　　）
A．秩
B．有两行元素成比例
C．的个列向量线性相关
D．有一个行向量是其余个行向量的线性组合
答案:B
43．设均为阶矩阵,且秩＝秩，则必有（　　　）
A．与相似 B．与等价
C．与合同 D．
答案:B
44．＝______________________.
答案:
45．若均为3阶矩阵，且，则_____________________。
答案:－54
46．设矩阵，其中则秩＝_______________。
答案：1
47．设, ,矩阵满足方程,求.
答案：
解:，

48．设是阶方阵，，证明
证：
因为,所以:
49。设是3阶方阵，且,则（ )
A．—6 B．—2
C．2 D．6
答案：B
50．设，则的伴随矩阵（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
51．__________.
答案：
52．设，则__________。
答案：
53．设且,求。
答案：
解:
,很容易得到：是可逆的。所以：

54．设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。
证：
所以:可逆，且其逆阵为。
55．设阶方阵满足，则必有（　　　)
A． B．
C． D．
答案:D
56．设阶方阵中有个以上元素为零，则的值(　　　）
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．不能确定
答案：B
56．设3阶矩阶A=（α1,β,γ），B=（α2，β，γ）,且,，则（　　　)
A．4 B．2
C．1 D．-4
答案：A
57．设是4阶方阵，，则______。
答案：-8
58．设矩阵，则________.
答案：
59．设,且矩阵满足,求。
解：
，容易证明可逆，所以

所以:
61．设均为阶方阵，则必有（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
62．设,则(　　　）
A． B．
C． D．
答案：C
63．若方阵与方阵等价,则（　　　）
A．
B．
C．
D．存在可逆矩阵，使
答案:A
64．,,（为3阶单位矩阵）,则___________。
答案：
65．已知，且，则___________。
答案:

66．设,为的伴随矩阵，则___________。

答案:
67．已知，则___________。
答案 :
68．设为阶方阵，满足
若,求矩阵。

可逆。所以：
,得
69．设是4阶矩阵,则（　　　)
A． B．
C． D．
答案：C
70．设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
71．设是2阶方阵可逆，且，则（　　　）
A． B．
C． D．
答案:B
72．设均为3阶矩阵，若可逆,秩，那么秩(　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
73．设为阶矩阵，若与阶单位矩阵等价，那么方程组（　　　）
A．无解 B．有唯一解
C．有无穷多解 D．解的情况不能确定
答案：B
74．设矩阵，则__________.
答案：
75．设矩阵，则行列式__________。
答案：4
76．矩阵的秩等于__________.
答案：3
77．设矩阵，求矩阵方程的解。
解：，很容易得到是可逆的.所以：
，所以：
78．设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵。
证:为同阶对称矩阵,所以 :

所以：也是对称矩阵。
79.设矩阵，则等于（ )
A。 B。
C。 D.
答案：B
81。设是方阵，如有矩阵关系式,则必有（ )
A. B. 时
C。 时 D. 时
答案：D
82。设， 。则 .
答案:
84。设，。求（1)；（2)。
答案：(1)
（2)，而
.
所以
85.设矩阵,求矩阵使其满足矩阵方程。
答案：
解：即，而

所以
86。设矩阵
求：秩；
解：对矩阵施行初等行变换

所以:秩为3.
87。设方阵满足，试证明可逆，且证：

可逆，且
88.设行矩阵，，且，则______.
答案：0
89。设，为的伴随矩阵，则_____。
答案：4
提示：
而，所以:
90。若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为_____.
答案：
解答：
要使得矩阵的秩有最小秩，则
91.已知矩阵满足，其中, ， ，求矩阵.(6分）
解:容易证明矩阵都可逆,所以：
，

92。设均为阶方阵,且，证明的充分必要条件是
证：
因为：,所以：
若

若，则
93．设矩阵，则下列矩阵运算有意义的是( ）
A. B。 C. D.
答案：B
94。设阶方阵满足，其中是阶单位矩阵，则必有【　　】
A. B. C. D.
答案:C
95。设为3阶方阵，且行列式 ,则 【　　　】
A.-4 B。4 C。-1 D。1
答案：A
96．设矩阵为的转置,则= 。
答案：
97．设矩阵则行列式的值为 。
答案：1
99．设是阶方阵，且的元素全都是1，是阶单位位矩阵。证明:
证明:
因为的元素全都是1，所以：的元素全部为,即:
所以：，即：
100。设是阶方阵，是矩阵,则下列矩阵运算中正确的是( )
A. B。 C。 D.
答案：A
101. 为同阶矩阵，为单位阵,若，则下列各式中总是成立的有( )
A. B. C。 D.
答案：D
102。已知有一个阶子式不等于零，则秩 （ ）
A. B. C. D.
答案：D
103。设是阶阵，且,则由( )可得出。
A。 B. C。秩 D. 为任意阶矩阵
答案：A
104。，则_______
答案：
105.A=，则秩_______
答案：3
106。 =_____
答案：
107.若，且不是单位阵，则_______
答案：0
108。 ,则_______
答案：
109。=_______
答案:
110. 均为阶可逆阵，则_______
答案：

111。设是5阶方阵，，则_______
答案:32
112，求
答案：
113。 ， ,求
答案：
解:

114.阶方阵满足，其中给定,证明可逆，并求其逆矩阵。
证：
所以可逆，且
115．设矩阵，，则为（ ）
A. B.
C. D。7
答案：D
116．设均为阶矩阵，且可逆,则下列结论正确的是（ ）
A。若,则可逆 B.若,则
C.若，则不可逆 D。若，则
答案：B
117．设3阶方阵的元素全为1,则秩为（ ）
A。0 B.1
C。2 D.3
答案:B
118．设为3阶方阵，且行列式，则之值为（ ）
A。-8 B.—2
C.2 D.8
答案：A
119．设为阶方阵,且的行列式，则等于（ ）
A. B。
C. D.
答案：C
120．设矩阵,则 .
答案:

121．设均为3阶方阵，且，则 。
答案：－6
122．设3阶方阵的秩为2,矩阵
,
若矩阵，则秩= .
答案：2
123．设，则 .
答案:
124．已知矩阵，秩，求的值。
答案：1
，所以
125．试求矩阵方程中的未知矩阵。
解：
所以:
126.设且，求
解：
可逆.又
从而得到：

所以：
127。已知，证明：可逆,且。
证：因为,又因为，所以：
,显然可逆，且。
128。设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。
证：有得：
所以：
假设不可逆,则，所以:

所以，这与题目是阶非零矩阵矛盾，所以可逆.
129.两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是______
答案：两矩阵为同阶方阵。
130。 已知,且其秩为2，则______
答案：3
131。若是阶可逆 矩阵，是阶可逆矩阵，,则______
答案：
132。
设与均为阶方阵，则下列结论中( ）成立。
A ,则，或；
B ，则，或；
C ,则,或；
D ，则,或。
答案：B
133
设为阶方阵，且，则
答案：

134.求解矩阵方程
答案：
135设3阶方阵按列分块为（其中是的第列），且，又设,则
答案:-100
136
设的伴随矩阵为,则
答案：
137
设，且,求矩阵。
答案：
138
设,为三阶非零矩阵,且，则
答案：-1
139
已知满足，求矩阵。
答案：
140
答案：
141
设则
答案：
142
若为同阶方阵，则的充分必要条件是
答案：
143设都是阶矩阵，且 , 则下列一定成立的是（ ）
或 B都不可逆
C中至少有一个不可逆 D
答案：C
144设均为可逆矩阵，则分块矩阵亦可逆,
答案:
145设为3阶可逆矩阵，且，则
答案：
146均为阶矩阵，下列各式中成立的为（ ）
（A）
（B）
（C）则或
(D）若,则或
答案:D
147设A为6阶方阵，且｜ A | =2，则=
答案：64
148设，将A表示成3个初等矩阵的乘积，即A=
答案：
149．任一个m×n矩阵A,仅经过初等行变换可化为的标准形式。（ )
答案：×
150．A为5行6列矩阵，且r ( A ） =5，则A一定没有不等于0的5阶子式.（ ）
答案：×
151．两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 ( ）
答案：×
152。A,B均为n阶方阵，A≠O，且AB=O,则B的秩（ ）
（A）等于O （B）小于n
（C）等于n （D）等于n—1
答案:B
153。已知且A2-AB=E,求矩阵B。
答案：
解：，故A可逆，由于故，即 即，即，故（注：作行变换得到也正确)
故
154．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵(m≠n），则下列（ ）的运算结果是n阶方阵。
（A） AB （B） BTAT （C） (AB）T （D） ATBT
答案:D
155设A，B为n阶方阵，A≠0，B≠0，且AB＝0,则A,B的秩（）
(A）一个小于n，一个等于n （B）都等于n
（C）都小于n （D）必有一个等于零
答案:C
156．下列结论中，不正确的是 （ )
（a） 设为n阶矩阵，则
（b） 设均为矩阵，则
（c） 设均为n阶矩阵,且满足，则
（d） 设均为n阶矩阵，且满足，则
答案：C
157．设均为n阶矩阵,为正整数，则下列各式中不正确的是 （ ）
（a） （b）
（c） (d）
答案：B
158．设为n阶可逆矩阵，,是其伴随矩阵，则
答案：
159．设矩阵。矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。

解:由

知可逆,且
由

160．设n阶矩阵非奇异,，是其伴随矩阵,则（ ）
（a)= （b） =
(c） = (d)=
答案：C
161.设为阶矩阵，为阶矩阵，且。若,
则_______
答案：
162。设，为三阶非零矩阵，且。则
答案：－3
163. 已知，其中，求矩阵.
解：由，有
所以
由

所以 .
164。 设，求和
解

设是实对称矩阵，且，证明：
证明:
其主对角线上的元素为
又，是实对称矩阵
即
已知三阶方阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵.
解:

注：也可以用初等变换求逆:

1． 解矩阵方程
(2）
解：
设阶矩阵满足是正整数。试证可逆,且

证明：
可逆且
7。若方阵满足,证明及都可逆,并求及.
证明:由,有
所以可逆且
又由有
所以可逆且
已知，其中，求及
因为，所以可逆，由
有

所以
设是三阶方阵，且求.
解:

已知矩阵的秩为3，求的值。
解：将矩阵化为行阶梯形

所以当时矩阵的秩为3
设是阶方阵，若存在阶方阵，使，证明。
证明：反证法.设，则可逆，而由，有
与矛盾，所以
确定参数,使矩阵的秩最小
解：将矩阵化为行阶梯形

当时矩阵的秩最小为2
设是三维列向量，是的转置,若,则
解：，
设为阶矩阵，分别为对应的伴随矩阵、分块矩阵,则的伴随矩阵

设是三阶方阵,则
解：
设四阶矩阵，且矩阵满足关系式
，求矩阵。
解：先化简，再计算。

因为

设列矩阵证明
（1） 的充分必要条件是
（2） 当时，是不可逆矩阵。
分析：线性代数中，若要证明不可逆或，往往可以用反证法：假设 可逆，再在已知等式两端同乘以，即可得到所需要的结论。或者直接由有非零解,得.
证明：（1）

因为所以从而
（2）若,由(1）知
假设可逆，即，将式两端同时乘以，得 即 由有 这与矛盾,故是不可逆矩阵。
或者:因 故 当有
由于故 有非零解，与只有零解矛盾，
因此
设为矩阵，为矩阵，且，证明：
（1）如果则
（2）如果则
分析:矩阵乘法不满足消去律，故不能直接由得或，也不能通过右乘得，因为不是方阵，无逆矩阵可言。本题可以从以下几个方面来考虑：
① 为了利用左乘或右乘一个可逆矩阵来得到，可以把适当分块，分出一个可逆子
② 相当于的每一列是的解，这时只需取转置即可,的每行从而的每列恰好是齐次组的解（仅有零解）
③ 利用矩阵的标准形来证明。
证明：(1）方法一
因为，把的列适当加以调整（相当于右乘可逆初等矩阵，仍保持），不妨设有，其中为矩阵，为矩阵，且
于是由得，两边右乘得，
方法二：由得,说明的每一列都是齐次方程组的解,但,即的秩与方程未知数的个数相同，齐次方程组只有零解，即的每列从而的每行必须都是零向量,也就是
方法三：因，故存在可逆矩阵，使得即
由，两边右乘，得
即有，再两边右乘,得证
（2）若，则
由（1）知，即
1． 若,则
答案：
A，B为n阶方阵，则下列正确的是 （ ）
（e） AB=0， B0， 则 A=0
（f） （A+B）=A+2AB+B
（g） 若 AC=BC， C可逆， 则 A=B
（h） 若 A=I, 则A=I
答案:C
A为n阶可逆阵,则下列各项正确的是 （ ）
（a）（2A)=2A （b） (2A)=2A (c) ［（A)］=［（A）]
（d) A=
答案：A
n 阶矩阵A和B , 且A可逆，下列正确的是 （ ）

（a） r(AB)= r(A)+r（B） （b) r（AB)=r(A)r（B) （c） r(AB）=r(B） （d） r（AB)＜r(B）
答案：C
A=，讨论A的秩。
答案：
所以 当
当
当