高考数学专题训练——解析几何(3).doc

南阳市二十一中数学组
解析几何(3)
20. （本小题满分13分）
是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.
【解析】（1）点是双曲线：上，有
，由题意又有，可得，

则
（2）联立，得，设，
则，设，，即
又为双曲线上一点，即，有
化简得：
又，在双曲线上，所以，
由（1）式又有

得：，解出，或
江西文10．如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在源点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成

今使“凸轮”沿X轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为

答案：A 根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A。
12. 若双曲线的离心率e=2，则m=____.
答案：48. 解析：根据双曲线方程：知，，并在双曲线中有：， 离心率e==2=,m=48
19.(本小题满分12分）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
解析：（1）直线AB的方程是
所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，
抛物线方程为：
（2） 、由p=4，化简得，从而
,从而A:(1,),B(4,)
设=，又，即8（4），即，解得
辽宁理3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 C
A． B．1 C． D．
13．已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．2
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，
椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1
交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得
………………4分
当表示A，B的纵坐标，可知
………………6分
（II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
解得
因为
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；
当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
23．解：
（I）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分
辽宁文
13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．

全国Ⅰ理（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 B
（A） （B） （C）2 （D）3
（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 C
（A） （B）4 （C） （D） 6
（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 。
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
(20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由题意可知（+）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为，即。
则O点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．
（23）解：（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即 从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。所以.
全国Ⅰ文
（4）椭圆的离心率为 D
（A） （B） （C） （D）
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．
(20）解：
（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为
（
故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.
则圆C的半径为所以圆C的方程为
（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
因此，从而 ①
由于OA⊥OB，可得又所以
②；由①，②得，满足故
山东理
8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即 ,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为
,故选A.
22.（本小题满分14分）
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以②；由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为所以
，又
整理得且符合（*）式，
此时

综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
山东文
（9）设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是
（A）(0，2) （B）[0，2] （C）(2，+∞) （D）[2，+∞)
C
（15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
（22）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，（i） 求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时
的外接圆方程；若不能，请说明理由.
（I）解：设直线，
由题意，
由方程组得，由题意，所以

设，
由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，
因此此时所以OE所在直线方程为

又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以
当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时 由得
因此 当时，取最小值2。
（II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由
解得，又，由距离公式及
得

由因此，直线的方程为 所以，直线

（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则

代入即，解得（舍去）
或
所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以
A（0，1）。
由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），
因此故的外接圆的半径为
，
所以的外接圆方程为
陕西理2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．
【解】选B 由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以．
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．
【答案】3
17．（本小题满分12分）
如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，
Ｍ为PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．
【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．
【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，
因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，
Ｍ为PD上一点，且，所以，且，
∵P在圆上，∴，整理得，
即C的方程是．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，
将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是：
，即所截线段的长度是．
陕西文
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．
【答案】1

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