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专题提升练(五)
(专题六)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=x对称,直线l3⊥l2,则l3的斜率为
( )
A. B.- C.-2 D.2
【解析】选C.由于直线l1与l2关于y=x对称,
所以直线l2的方程为x=2y+3,即y=x-,
所以=.又l3⊥l2,所以=-=-2.
2.直线经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是
( )
A.[0,π) B.∪
C. D.∪
【解析】选B.直线AB的斜率k==1-m2≤1,设直线l的倾斜角为α,则有
tanα≤1,即tanα<0或0≤tanα≤1,所以<α<π或0≤α≤,即直线l的倾斜角的取值范围是∪.
3.(2022·宁波模拟)已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是 ( )
A.圆或椭圆或双曲线
B.两条射线或圆或抛物线
C.两条射线或圆或椭圆
D.椭圆或双曲线或抛物线
【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,所以轨迹为两条射线;当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,轨迹为椭圆;当点P与点O重合时,圆心轨迹为圆.
4.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积是 ( )
A.5 B.10 C.20 D.
【解析】选B.由抛物线方程y2=4x易得抛物线的准线l的方程为x=-1,又由|PM|=5可得点P的横坐标为4,代入y2=4x,可求得其纵坐标为±4,故S△MPF=×5×4=10.
5.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是 ( )
A.至多为1 B.2 C.1 D.0
【解析】选B.由题意知:>2,即<2,所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.
6.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么 ( )
A.m∥l,且l与圆相交 B.m⊥l,且l与圆相切
C.m∥l,且l与圆相离 D.m⊥l,且l与圆相离
【解析】选C.直线m的方程为y-b=-(x-a),即ax+by-a2-b2=0,由于点P在圆内,所以a2+b2<r2,所以m∥l.由于圆心到直线l的距离d=>r,所以直线l与圆相离.
7.(2022·浙江五校模拟)我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,则当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,所以a1=.设双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,则e=,所以a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy.当把点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy;当把点P看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy.两式联立消去xy,得4c2=+3a2,即4c2=+3,即+3=4.又由于=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=,即双曲线的离心离为.
8.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,则满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1(x≠0) D.+=1(x≠0)
【解析】选C.依题意得,|F1F2|=2=2,所以|PF1|+|PF2|=6>|F1F2|,因此满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹是以点F1,F2为焦点,长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点),即动点P的轨迹方程是+=1(x≠0).
9.过点(2,0)的直线与双曲线-=1的右支交于A,B两点,则直线AB的斜率k的取值范围是 ( )
A.k≤-1或k≥1 B.k<-或k>
C.-≤k≤ D.-1<k<1
【解析】选B.点(2,0)为双曲线的右顶点,双曲线渐近线为y=±x.如图所示,结合图形得k>或k<-时,直线AB与双曲线右支有两交点.
10.如图所示,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,B1,A2,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于点P.若∠B1PA2为钝角,则此椭圆离心率e的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题意知,∠B1PA2就是与的夹角.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则=(a,-b),=(-c,-b).由向量的夹角为钝角得,·<0,所以-ac+b2<0.又b2=a2-c2,所以a2-ac-c2<0,所以-e2-e+1<0,结合0<e<1,解得椭圆离心率e的取值范围为.
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .
【解析】当两条平行直线与A,B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大.由于A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两平行线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
答案:x+2y-3=0
12.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值为 .
【解析】曲线C表示的圆的圆心为C(5,0),由题意可知△PMC是直角三角形,|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时,|PM|最小.当CP⊥l1时,|CP|min==4,此时|PM|最小且|PM|===4.
答案:4
13.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若动点P(x,y)与定点A(3,4)满足=5-·,则点P的轨迹方程是 .
【解析】由于=(x,y),=(3-x,4-y),依题意有x2+y2=5-x(3-x)-y(4-y),整理得3x+4y-5=0.
答案:3x+4y-5=0
14.(2022·温州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线的方程为 .
【解析】分别过A,B作AA',BB'垂直准线于A',B',由于|BC|=2|BB'|,
则直线l的斜率为,故|AC|=2|AA'|=12,从而|BF|=2,从而|AB|=8,
故==,即p=3,从而抛物线的方程为y2=6x.
答案:y2=6x
15.(2022·绍兴模拟)若直线x+my+3m=0被圆x2+y2=r2(r>0)所截得的最短弦长为8,则r= .
【解析】直线过定点(0,-3),当直线被圆截得的弦长最短时,直线为y=-3,弦长的一半为4,所以r==5.
答案:5
16.椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且⊥(O为原点),则+为定值,该定值是 .
【解析】由
得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.
由Δ=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)
=4a2b2(a2+b2-1)>0,
得a2+b2>1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=,x1x2=.
由于⊥,所以x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(1-x1)(1-x2)=0.
所以2x1x2-(x1+x2)+1=0.
所以-+1=0.
所以a2+b2=2a2b2,所以+=2.
答案:2
17.若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆+=1交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G,则k的取值范围是 .
【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2).
由
消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
由于直线y=kx+m与椭圆有两个交点,
所以Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即m2<4k2+3. ①
且MN的中点坐标P.
设MN的垂直平分线l'的方程为y=-.
由于点P在l'上,所以=-.
即4k2+8km+3=0,所以m=-(4k2+3).
将上式代入①,得<4k2+3,
所以k2>,即k>或k<-.
所以k的取值范围为∪.
答案:∪
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p×1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,
由得y2+2y-2t=0.
由于直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,
可得=,解得t=±1.
由于-1,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
19.(14分)设点P是曲线C:x2=2py(p>0)上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.
(1)求曲线C的方程.
(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)依题意知1+=,解得p=.
所以曲线C的方程为x2=y.
(2)假设存在实数k,由题意知直线PQ的方程为
y=k(x-1)+1,则点M.
联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,
解得x1=1,x2=k-1,则Q(k-1,(k-1)2).
所以直线QN的方程为y-(k-1)2=-(x-k+1),
代入曲线y=x2中,得x2+x-1+-(1-k)2=0,
解得x3=k-1,x4=1--k,
则N.
所以直线MN的斜率kMN==-.
又易知过点N的切线的斜率k'=2.
由题意有-=2.
解得k=.
故存在实数k=满足题意.
20.(14分)已知定点A(1,0)和定直线x=-1上的两个动点E,F,满足⊥,动点P满足∥,∥(其中O为坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M,N,若·<0,求直线l的斜率的取值范围.
【解析】(1)设P(x,y),E(-1,y'1),F(-1,y'2)(y'1,y'2均不为0)
由∥,得y'1=y,即E(-1,y).
由∥得y'2=-,即F.
由⊥得·=0(2,-y'1)·(2,-y'2)=0
y'1y'2=-4y2=4x(x≠0),
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0).
(2)设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),
M,N,
联立得消去x得ky2-4y+8=0,
所以y1+y2=,y1y2=,
且Δ=16-32k>0即k<.
所以·=·
=·+y1y2
=-(+)+y1y2+1
=-++1=,
由于·<0,所以-12<k<0.
21.(15分)(2022·台州一模)如图,P是☉O:x2+y2=4上任意一点,PQ⊥x轴,Q为垂足.设PQ的中点为M.
(1)求点M的轨迹Γ的方程.
(2)设动直线l与☉O相交所得的弦长为定值2,l与(1)中曲线Γ交于A,B两点,线段AB的中垂线交☉O于E,F两点,求|EF|的最小值.
【解析】(1)设M(x,y),则P(x,2y).
由于P在☉O:x2+y2=4上,
所以x2+(2y)2=4.
即M的轨迹Γ是一个椭圆,方程为x2+4y2=4.
(2)由于要求|EF|的最小值,故不妨设l:y=kx+m(k≠0).
因直线l与☉O相交所得弦长为2,而圆的半径为2,所以,点O到直线l的距离为1,即=1.
直线l与椭圆确定有两个不同的交点,
联立得
(1+4k2)x2+8kmx+(4m2-4)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-.
AB的中点为,
AB的中垂线方程为y-=-.
化简得x+ky+=0.
点O到直线EF的距离d=.当d最大时,|EF|最小.
将=1代入d=,得d=.
由均值不等式,1+4k2≥4|k|,故d≤(当且仅当|k|=时取等号).
故|EF|≥2=,
即|EF|的最小值为.
22.(15分)(2022·衢州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B1,B2,且·=-a.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P,试求的取值范围.
【解析】(1)依题意,不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则=(-1,-b),=(-1,b).
由·=-a,得1-b2=-a.
又由于a2-b2=1,解得a=2,b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)依题意直线l的方程为y=k(x-1).
由
得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
x1x2=.
所以弦MN的中点为P,
所以=
=
=
=.
直线PD的方程为y+=-,
由y=0,得x=,则D,
所以=.
所以==
=.
又由于k2+1>1,所以0<<1.
所以0<<.
所以的取值范围是.
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