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课时提升作业(五十一)
一、选择题
1.(2021·珠海模拟）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
2.(2021·韶关模拟)已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=（x-2,y）满足|a|+|b|=6，则曲线C的离心率是( )
(A) (B) (C) (D)
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)抛物线
4.（2021·广州模拟）已知椭圆若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是( )
(A)（,） (B)（,）
(C)（-,） (D)（-,）
5.已知F1,F2分别是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（O为坐标原点），若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是( )
（A）y=x （B）y=-x
（C）y=-x （D）y=x
6.(力气挑战题)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
二、填空题
7.（2021·揭阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16,那么C的方程为___________.
8.(2021·厦门模拟)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点距离为__________.
9.（力气挑战题）已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是__________.
三、解答题
10.(2022·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1: (a＞b＞0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,
(1)求椭圆C1的方程.
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.
11.（2021·深圳模拟）已知椭圆C: (a＞b＞0)的左焦点F及点A（0，b）,原点O到直线FA的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率e.
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标.
12.（2021·惠州模拟）已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为（-a,0），
点Q（0,y0）在线段AB的垂直平分线上，且求y0的值.
答案解析
1.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.
知其半径r=4,
∴长轴长2a=4,∴a=2.
又
∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
∴椭圆的标准方程为
2.【解析】选A.由于|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆，且长轴长2a=6,即a=3，
又c=2,∴e=.
3.【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M（x,y)，
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12 ①,
3x22+4y22=12 ②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部，
则
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大削减了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
5.【思路点拨】由知，A,B两点关于原点对称，设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1)，由于，所以
B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1)，=(2c,0)，
又由于=0，所以(c-x1,-y1)·（2c,0)=0，即x1=c，代入椭圆方程得由于离心率e=，所以，a=c，b=c，A(c,)，所以直线AB的方程是y=x.
6.【思路点拨】设点P(x0,y0)，将表示成关于x0的函数求最值.
【解析】选C.由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),
则y02=3(1-)(-2≤x0≤2),
=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02
=x02+x0+3(1-)=(x0+2)2+2,
当x0=2时,取得最大值为6.
7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为（a＞b＞0）.
∵e=,∴.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=，所以椭圆方程为.
答案：
8.【解析】由于|OM|=3,数形结合得|PF2|=6,
又|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|=4.
答案：4
9.【思路点拨】直接将直线方程代入椭圆方程，整理得一元二次方程的判别式Δ≥0求解，也可以利用直线过的定点在椭圆上或椭圆内求解.
【解析】方法一：由椭圆的方程，可知m＞0，且m≠5.
将直线与椭圆的方程联立方程组，得
由①，得y=kx+1,
代入②，得整理，得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0，
由于直线与椭圆恒有公共点,
故Δ=(10k)2-4×(5k2+m)×5(1-m)=20(5k2m-m+m2)≥0,
由于m＞0，所以不等式等价于5k2-1+m≥0，
即k2≥,
由题意，可知不等式恒成立,
则≤0,解得m≥1.
综上m的取值范围为m≥1且m≠5.
方法二:由于直线y-kx-1=0过定点(0,1),
要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内,即
整理，得≤1.解得m≥1.
又方程表示椭圆, 所以m＞0且m≠5,
综上m的取值范围为m≥1且m≠5.
答案：m≥1且m≠5
10.【解析】(1)由题意得c=1,b=1,
∴椭圆C1的方程为
（2）由题意得直线的斜率确定存在且不为0,设直线l方程y=kx+m.
由于椭圆C1的方程为
∴
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
直线l与椭圆C1相切，
∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.
即2k2-m2+1=0 ①；
直线l与抛物线C2：y2=4x相切,
则
消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1 ②.
由①②解得k=,m=;k=-,m=-.
所以直线l的方程y=x+,y=-x-.
11.【解析】(1)由点F(-ae,0)，点A(0,b)及得直线FA的方程为 即
∵原点O到直线FA的距离b=
∴·a=ea.
解得e=.
(2)方法一:设椭圆C的左焦点F(-a,0)关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),
则有
解得
∵P在圆x2+y2=4上,
∴(a)2+(a)2=4.
∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故椭圆C的方程为点P的坐标为
方法二:∵F(-a,0)关于直线l的对称点P在圆O上,
又直线l:2x+y=0经过圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),
∴F(-a,0)也在圆O上.
从而(-a)2+02=4，a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故椭圆C的方程为
∵F（-2，0）与P(x0,y0)关于直线l对称,
∴ 解得
故点P的坐标为.
12.【解析】（1）由得3a2=4c2,再由c2=a2-b2，得a=2b，
由题意可知,×2a×2b=4，即ab=2，
解方程组 得a=2,b=1，
所以椭圆的方程为
（2）由（1）可知A（-2，0）.设B点的坐标为（x1,y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)，
于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，
得（1+4k2）x2+16k2x+(16k2-4)=0，
由得从而
设线段AB的中点为M，则M的坐标为（），以下分两种状况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0）.线段AB的垂直平分线为y轴，于是=（-2，-y0），=（2，-y0），由=4，得y0=±.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由=（-2，-y0），=（x1,y1-y0），
=-2x1-y0(y1-y0)= =
整理得7k2=2,故k=±,所以y0=±，
综上y0=±或y0=±.
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