2021高考数学专题辅导与训练配套练习：解答题规范训练(六)解析几何.docx

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解答题规范训练(六)
解析几何
(建议用时:45分钟)
1.(2022·烟台模拟)已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点.
(1)如图所示,若=,求直线l的方程.

(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
【解析】由题知抛物线方程为y2=4x,设直线方程为x=my+4,并设A(,y1),B(,y2).
(1)由于=,所以y1=-y2.
联立可得y2-4my-16=0,
有
解得:y1=-2,y2=8,m=,
所以直线方程为2x-3y-8=0.
(2)可求得对称点P(,),
代入抛物线中可得:m=±1,直线l方程为x=±y+4,
考虑到对称性不妨取x=y+4,椭圆设为+=1(λ>1).联立直线和椭圆并消元整理得(2λ-1)y2+8(λ-1)y-λ2+17λ-16=0,由于椭圆与直线有交点,所以Δ≥0,即64(λ-1)2+4(λ-1)(λ-16)(2λ-1)≥0,解得λ≥(λ≤0舍去),即a2≥,
解得:a≥,
所以长轴长的最小值为.
2.(2022·长沙模拟)设直线l:y=k(x+1)(k≠0)与椭圆3x2+y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:a2>.
(2)若=2,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
【解析】(1)由y=k(x+1)得x=y-1,
将x=y-1代入3x2+y2=a2消去x得(+1)y2-y+3-a2=0.　①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点得
Δ=-4(+1)(3-a2)>0,
整理得+1a2>3,即a2>.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由①,得y1+y2=,
由于=2,而点C(-1,0),
所以(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),
得y1=-2y2,代入上式,得y2=.
于是,△OAB的面积S=|OC||y1-y2|
=|y2|
=≤
=.
其中,上式取等号的条件是k2=3,即k=±.
由y2=,可得y2=±.
将k=,y2=-及k=-,y2=这两组值分别代入①,均可解出a2=15.
所以△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15.
3.(2022·宁波模拟)如图,设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B,C,另有抛物线y=x2+b.
(1)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程.
(2)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求的取值范围.

【解析】(1)由四边形ABCD是菱形,得D(a,a2+b),
且解得a=,b=,
所以椭圆方程为3x2+9y2=1.
(2)不妨设P(t,t2+b)(t≠0),
由于y'|x=t=2t,
所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t2+b,
即y=2tx-t2+b.
又由于直线PQ过点B,
所以-t2+b=-b,即b=.
所以PQ的方程为y=2tx-.
联立方程组
消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.
所以点Q的横坐标为xQ=,
所以==+1.又t2=2b∈(0,4),所以的取值范围为1,.
4.已知抛物线C:x2=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.
(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程.
(2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.
【解析】(1)当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,
由消去y得x2-4kx+4=0.①
令Δ=(-4k)2-4×4=0,解得k=±1.
代入方程①,解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心P的坐标为(0,a),
由|PM|=|PB|,解得a=1.
故过M,A,B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4.
(2)设M(x0,-1),
由已知得y=,y'=x,
设切点分别为A,B,
所以kMA=,kMB=,
切线MA的方程为y-=(x-x1),
即y=x1x-,
切线MB的方程为y-=(x-x2),
即y=x2x-.
又由于切线MA过点M(x0,-1),
所以得-1=x0x1-.①
又由于切线MB也过点M(x0,-1),
所以得-1=x0x2-.②
由①,②可得x1,x2是方程-1=x0x-x2的两个实根,
由根与系数的关系得,x1+x2=2x0,x1x2=-4.
由于=,=,
所以·=(x1-x0)(x2-x0)+
=x1x2-x0(x1+x2)+++(+)+1
=x1x2-x0(x1+x2)+++[(x1+x2)2-2x1x2]+1.
将x1+x2=2x0,x1x2=-4代入,得·=0即∠AMB=90°.
所以以AB为直径的圆恒过点M.
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