2021高考数学专题辅导与训练配套练习：解答题规范训练(一)函数.docx

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解答题规范训练(一)
函　　数
(建议用时:45分钟)
1.(2022·台州模拟)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,推断函数f(x)的单调性.
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.
【解析】(1)①若a>0,b>0,则y=a·2x与y=b·3x均为增函数,所以f(x)=a·2x+b·3x在R上为增函数;
②若a<0,b<0,则y=a·2x与y=b·3x均为减函数,
所以f(x)=a·2x+b·3x在R上为减函数.
(2)①若a>0,b<0,由f(x+1)>f(x)得a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x,化简得a·2x>-2b·3x,
即>,解得x<lo;
②若a<0,b>0,由f(x+1)>f(x)可得<,解得x>lo.
2.已知f(x)=loga(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明.
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
【解析】(1)由对数函数的定义知>0.假如则-1<x<1;
假如则不等式组无解,故f(x)的定义域为(-1,1).
(2)由于f(-x)=loga=-loga=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)(i)对a>1,loga>0等价于>1,　①
而由(1)知1-x>0,故①等价于1+x>1-x,又等价于x>0.故对a>1,当x∈(0,1)时有f(x)>0.
(ii)对0<a<1,loga>0等价于0<<1.　②
而从(1)知1-x>0,故②等价于-1<x<0.故对0<a<1,当x∈(-1,0)时有f(x)>0.
3.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时,f(x)=x2.
(1)求f(x)在Ik上的表达式.
(2)对自然数k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不等的实根}.
【解析】(1)由于f(x)是以2为周期的函数,
所以当k∈Z时,2k也是f(x)的周期.
又由于当x∈Ik时,(x-2k)∈I0,
所以f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
即对k∈Z,当x∈Ik时,f(x)=(x-2k)2.
(2)当k∈Z且x∈Ik时,利用(1)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得:x2-(4k+a)x+4k2=0.
它的判别式是Δ=[-(4k+a)]2-16k2=a(a+8k).
上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
化简得由①知a>0,或a<-8k.当a>0时,因2+a>2-a,故由②,③
可得≤2-a,即
解得0<a≤,当a<-8k时,2+a<2-8k<0,
易知<2+a无解,
综上所述,a应满足0<a≤,故所求集合Mk=.
4.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发觉,销售量y(件)与销售单价x(元)满足关系y=-x+120.
(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(2)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.
【解析】(1)由题意,销售利润为W=(-x+120)(x-60)
=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
由于试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,有-(x-90)2+900≤0.45×60(-x+120),所以60<x≤87,所以当x=87时,利润最大,最大利润是891元.
(2)由于该商场获得利润不低于500元,所以(x-60)·(-x+120)≥500,所以70≤x≤110,由于x≤87,所以70≤x≤87时,该商场获得利润不低于500元.
答:(1)当x=87时,利润最大,最大利润是891元.
(2)该商场获得利润不低于500元,销售单价x的范围为[70,87].
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