2021高考数学专题辅导与训练配套练习：解答题规范训练(三)数列.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。解答题规范训练(三)数列(建议用时:45分钟)1.在数列中,a1=3,an=2an-1+n-2(n2,且nN*).(1)求a2,a3的值.(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式.(3)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)令n=2,a2=2a1=6,令n=3,a3=2a2+1=13.(2)=2,所以数列an+n是首项为4,公比为2的等比数列,an+n=42n-1,所以an=2n+1-n.(3)由于数列an的通项公式an=2n+1-n,Sn=(22+23+2n+1)-(1+2+n)=-=2n+2-.【加固训练】已知数列an满足:a1=1,an+1=(nN*),数列bn的前n项和Sn=12-12(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=,是否存在mN*,使cm9成立?并说明理由.【解析】(1)由an+1=+2,所以=1+2(n-1)=2n-1,an=(nN*).由Sn=12-12及Sn-1=12-12(n2),可得bn=Sn-Sn-1=4(n2),令n=1,则b1=S1=12-12=4也满足上式,所以bn=4(nN*).(2)cn=(2n-1)4=4(2n-1),设cm为数列cn中的最大项,则所以m=3.即c3为cn中的最大项.由于c3=20=9,所以不存在mN*,使cm9成立.2.(2022温州模拟)设是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足:+=+,S7=7.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和Tn.(3)试求全部的正整数m,使得为数列中的项.【解析】(1)设公差为d,则-=-,由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3).由于d0,所以a4+a3=0,即2a1+5d=0.又由S7=7得7a1+d=7,即a1+3d=1.联立解得a1=-5,d=2,所以an=2n-7(nN*).(2)由(1)知,当n3时,an3时,an0.Sn=n2-6n.所以当n3时,Tn=-Sn=-n2+6n;当n3时,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=(n2-6n)-2(-9)=n2-6n+18.综上,Tn=(3)=,令2m-3=t,则=t+-6.故t为8的约数,又由于t是奇数,所以t的可能取值为1.当t=1时,m=2,=3=25-7是数列中的第5项;当t=-1时,m=1,=-15=2(-4)-7不是数列中的项.所以满足条件的正整数m=2.【加固训练】已知ab,且a2-a-6=0,b2-b-6=0,数列,满足a1=1,a2=-6a,an+1=6an-9an-1(n2,nN*),bn=an+1-ban(nN*).(1)求证数列是等比数列.(2)求数列的通项公式.【解析】(1)由于a0,所以an-an-1=2.当n=1时,(a1-1)(a1+3)=4a1,所以(a1+1)(a1-3)=0.又a10,所以a1=3,所以数列an是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1),a1=3,d=2,所以an=2n+1.设bn=,nN*;由于an=2n+1,所以-1=4n(n+1),bn=-,所以Tn=b1+b2+b3+bn=+=1-=.5.已知数列an的前n项和Sn=an+n2-1,数列bn满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn.(2)设Tn为数列bn的前n项和,求Tn,并求满足Tn7时n的最大值.【解析】(1)当n2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,所以an-1=2n-1,所以an=2n+1,所以3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,所以bn+1=,所以当n2时,bn=,又b1=3符合上式,所以bn=.(2)由(1)知,bn=,所以Tn=+,Tn=+,-,得Tn=3+-=3+4-=5-,所以Tn=-,Tn-Tn+1=-=0,所以TnTn+1,即Tn为递增数列.又T3=7,所以当Tn0,n3时,(*)不成立;当a0时,(*)等价于(n-3)(n+3)a+20(*)当n=3时,(*)成立.当n4时,有(n+3)a+20,即a-恒成立,所以a-.当n=1时,有4a+20,a-.当n=2时,有5a+20,a-.综上,a的取值范围是.(3)当t1时,Sn=,bn=+1=1+-,cn=k+n+-=+n+,所以,当时,数列cn是等比数列,所以又由于a,t,k成等差数列,所以2t=a+k,即2t=t-1+,解得t=.从而a=,k=.所以当a=,t=,k=时,数列cn为等比数列.关闭Word文档返回原板块