第四章中值定理与导数应用.doc

第四章 中值定理与导数应用4.1 中值定理定理 4.1.1 (罗尔定理)如果满足：（1）在闭区间上上连续; （2）在开区间()内可导;（3）.则在开区间(上至少存在一点,使得 罗尔定理的几何意义是: 在连续高度相同的两点的一段曲线上,如果每一点都有不垂直于轴的切线,那么至少有一点上的切线是平行于轴的切线,那么至少有一点的切线是平行于轴的(图4-1).关于罗尔定理,需注意如下几点:(1) 罗尔定理的三个前提条件缺一不可,当缺少其中一个条件时,罗尔定理将不一定成立,这一点读者可以举例说明.(2) 罗尔定理的结论只强调点的存在性,至于该点究竟在区间内的什么位置,有时并不需要研究,(3) 罗尔定理结论中满足的点并不是唯一的.这一点通过图4-1可以清晰的看到.例1 设物体作直线运动,其运动方程为,如果物体在两个不同时刻和时处于同一位置,即,并且物体的运动方程连续,可导,那么根据罗尔定理,在时刻和之间,必定有某一时刻,在该时刻,物体的运动速度为0,即,上抛运动、弹簧的振动等问题中都有这个结果.定理4.1.2 (拉格朗日中值定理) 如果满足:(1) 在闭区间上连续;（2）在开区间内可导.则在内至少存在一点,使得: 拉格朗日中值定理的几何意义:如图4-2,显然,点的坐标是,点的坐标是,因此,连接、两点的直线斜率为: 。拉格朗日中值定理告诉我们,在连接、两点的一条连续的切线上,如果过每一点,曲线都有不垂直于轴的切线,则曲线上至少有一点,过该点的切线平行于直线.拉格朗日中值定理是比较重要的的一条定理,关于该定理,我们作如下说明:(1) 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例,在拉格朗日中值定理中,如果令,就得到了罗尔定理.(2) 拉格朗日中值定理的结论是”存在一点”,着重强调点的存在性,通常并不要求找到点具体的值,也不要求满足”的点的唯一性.拉格朗日中值定理有两个重要推论: 推论 1 如果对于任意的,都有,则在内恒等于常数. 证明 （略） 推论 2 若对任意的,都有,则必有为常数).证明 （略）例 2 如果一物体在直线上运动,他的路程函数为,那么它在到这一段时间内的平均速度为,而它在时刻的瞬时速度为,拉格朗日中值定理告诉我们,在时间段之间,必定有某个时刻,物体在该时刻的瞬时速度恰好等于整段时间上的平均速度,例如,如果一辆汽车在两小时内行驶了180km,那么车速表上的指针至少有一次扫过90的刻度.例 3 求证:.4.2 洛必达法则一、洛必达法则定理4.2.1洛必达法则（） 如果和满足下列条件：（1）在的某一空心领域内可导，且；（2），（3）则有 定理4.2.2洛必达法则() 如果和满足下列条件:（1）在的某一空心领域内可导，且；（2），; （3）则有 运用洛必达法则求解极限问题时,需注意以下几点:(1) 当将法则中的均换为时,法则成立(见例3);(2) 当仍然是未定式时,可继续运用洛必达法则(见例4);(3) 当不存在时,不能得出也不存在的结论(见例5);(4) 有的极限问题,虽属未定式,但用洛必达法则可能无法解出(见例6),或即便能解出也太过繁琐,这时我们通常选择其他方法.二、,型未定式的计算例1 . 例2 . 例3 .例4 . 例5 例6 三、其他类型未定式的计算除了和两种未定式外,我们经常遇到的未定式还有,等这些未定式的计算通常先化为,型未定式,然后再利用洛必达法则求解.下面我们通过例题来说明这几种未定式的处理方法.例7 . 例8 . 例9 .这是一个型未定式,对于,和型未定式,我们均可用如下方法求解.由于,而为连续函数,故的极限取决于的极限,对于,三种未定式,均为型未定式,即,三种未定式均可通过变换,从而化为型未定式,进而求解。例10 .4.3 导数在几何上的应用一、 函数的单调性定理 4.3.1 设函数在上连续,在内可导.(1) 如果在内,则函数在上单调增加;(2) 如果在内,则函数在上单调减小.定理4.3.1中的换成其他区间也是成立的.例1 考察函数的单调性.例2 考察的单调性.例3 考察函数的单调性.二、 函数的极值与最值临界点是很重要的一个概念,通过前文的叙述,我们看到,临界点经常是单调增区间和单调减区间的分界点,如果在临界点的左侧,函数单调增,而在临界点的右侧,函数单调减,则显然在临界点处的函数值比其左右两侧的函数值都要大,此时称该临界点为极大值点,该点对应的函数值称为极大值.如果在临界点左侧单调减而右侧单调增,则显然临界点处的函数值比左右两侧都要小,此时称临界点为极小值点,相应的函数值为极小值例4 求函数的极值.定理4.3.2 若在及其附近有二阶导数,且,则:(1) 若,则为极小值点;(2) 若,则为极大值点;(3) 若,则无法判别是否为极值点,此时只能用定义判断.例 5 利用定理4.3.2 讨论例4的极值点.例5 求的极值点.在对实际问题的讨论中,我们经常要考虑一个函数的最值,最值与极值的最大差别在于,最值是一个整体概念.由极值的定义可知,如果在某开区间(或无穷区间)上函数有唯一极值,那么该极值就是函数的最值.闭区间的情形有些特殊,由于极值不会出现在闭区间的端点,因而考虑闭区间的最值时,除了闭区间内部的极值外,还要考虑闭区间的端点,将端点的函数值与极值进行比较后,求出函数在整个闭区间上的最值.三、函数的凸凹性和拐点一个函数的图像，除了需要了解它在各区间的单调性外，还需要了解它的凸凹性，在曲线上任一点的切线均在曲线的下侧，这条曲线叫凹的。在曲线上任一点处的切线均在曲线的上侧，这样的曲线叫做凸的。一个函数的几何曲线上可能有的区间是凹的，有的区间是凸的，连接曲线上凸凹区间的点，称为曲线的拐点。定理4.3.3 若函数在区间上有，则曲线在区间上是凹的，如果有，则曲线在区间上是凸的，如果在某点有定义，或不存在，切在左右两侧符号不同，则为曲线的拐点。例8求的拐点4.4经济学中的最值问题 一、 边际分析一种产品的数量达到x时，所花费的成本C(x)成为成本函数，成为成本函数C(x)的变化率，即，称为边际成本函数，记为。在估计产品销售量为x时，给产品特定的价格成为价格函数，可以期望应是x的减函数。当产品售出x单位，而价格为时，总收益（销售额）称为总收益（销售额）函数，而的导数边际收益（销售额）函数，记为。称为利润函数，的导数称为边际利润函数，记为。在经济活动中，有时我们追求最低成本，有时我们追求最大利润，但更多的时候，我们追求的是最大利润，结合上一节学习的求函数极值和最值的有关方法，我们知道，为了求最大利润，可以令 =-=0从而得到 =但我们知道=0只是取极值的必要条件，根据定理4.3.2，为保证在此条件下达到最大，我们希望还有 =-0所以我们得到这样结论：当=且时，利润达到最大值。当然，在问题明显存在最值，并且有唯一的驻点的情况下，也可以直接判断。例1 设某产品的成本函数和价格函数分别为 使决定产品的生产量x，以使利润达到最大。例2 某商店以每台350元的价格每周可销售出唱机200台，市场调查指出，当价格每降低10元时，一周的销售量可增加20台，求出价格函数和收益函数。商店若要达到最大收益，应把价格降低多少元？解 设调价后每周能售出（台）唱机，那么每周增加的销售量为，按每周售20台，价格降低10元的比例，每多售一台，价格降低元，所以价格函数为收益函数为 二、税收问题随着经济的发展，收税问题越来越接近人们的生活，与边际分析不同，收税问题不仅涉及商家的利益，还涉及到国家的利益。工厂想赚钱，国家要收税，因此，如何选择一个适的税率，使得不妨碍商家生产的积极性，是商家可以达到允许范围内的最大利润，又能使政府征税收益达到最大，就成为一个最大的问题，下面利用所学过的导数知识来探讨这个问题。假设工厂以最大利润为目标而控制的产量x，政府对其产品的税率（单位产品的税收金额）为t，我们的任务是，确定一个适当的税率，使政府的收益达到最大。现已知工厂纳税前的收益函数和成本函数分别为，由于每单位产品要纳税t，故纳税后的成本函数变为： 而收益函数不变，从而利润函数是：令有：这就是在征税的情况下获得最大利润的必要条件.政府征税得到的收益是: 显然，收益与产量和税率两个量相关,税率过底，固然会减少政府收益,但税率过高,导致价格增长，需求量下降，同样会影响政府收益.因此税率的确定有着明显的现实意义,我们通过一个实例来计算一下这个问题.例3 已知厂商的收益函数和成本函数分别表达为和,厂商追求最大利润,政府对产品征税，求:(1) 征税收益的最大值及此时的税率;(2) 厂商纳税前后的最大利润及价格.解 (1) 由纳税后厂商获得最大利润的必要条件,知:即 于是 根据实际问题判断，就是纳税后厂家获得最大利润的产出水平，因此，这时政府的征税收益函数为： 要使税收达到最大值，令，得到 t=14 根据实际问题可以判定此问题必有最大值，本题只有一个驻点，因此可以说，当t=14时，T的值最大，此时的产生水平为最大征税收益为： （2）容易算得纳税前，当产品水平x=3.5时，可获得最大利润L=47，此时价格P（3，5）=将x=1.75，t=14代入到纳税后的利润函数中，有：此时产品的价格为：(1.75)= 可见，因产品纳税，产出水平由3.5下降到1.75，价格由19.5上升到24.75，最大利润由47下降到10.25。 三、 弹性分析在函数中，让自变量从到，则函数也产生一个增量 在经济学中，有时更重视的增量的相对量，即相对增量，也重视y的增量的相对量，即相对增量，其中，当时，称=为函数从到的区间上的平均弹性，平均弹性是说当自变量增长百分之一时，函数平均增长百分数是多少。如果函数在出可导，则=称为函数在点出的弹性。弹性实质是一种相对变化率，他可以理解为在点出当自变量增长百分之一时，函数增长的百分数。在应用中弹性有时根据需求添加一个负号。 在商品市场有两个很重要的函数：需求函数与供给函数，其中p是商品的价格，分别表示按价格p市场上需要和能提供多少这种商品。虽然影响需求和供给的原因很多，但价格始终是一个决定的素，价格高了，需求会响应降低而供给会相应降低而供给会相应增加，价格低了，求会响应降低而供给会相应降低而供给会相应减少。而导数来表示这种变化就是：需求增加即，而供给减少即：。我们把 称为需求的价格弹性，添加符号是因为价格的增长将引起需求量的衰减，也可以理解为降价为百分之一时，需求两增长的百分数，是p的函数，因而也记作因为收益函数,所以=如果,则递增,即价格上涨使收益增加;如果,则递减, 即价格上涨反而使收益减少.因此,当时, ,此时降价将使需求量有较大的反弹可使收益增大,我们称需求量是弹性的.当时,此时价格上涨对收益不起作用, 我们称需求是不变弹性的.当,此时收益不因价格上涨而减少,我们称需求量是无弹性的.由此不难看出,需求的价格弹性是指导市场行为的重要指标.一家公司原来以单价销售产品,现在想调整价格增加收益.因为受到需求函数的制约,提价和降价都可能要冒减少收益的风险.正确的做法应该是,首先考虑该产品目前在市场上的需求所能承受价格变化的能力,既需求价格的价格弹性.同样可以和定义和分析供给弹性.例4 设每天从甲地到已地的飞机票的需求量是:其中(元)是票价.（1）求需求弹性;(2) 问依什么样的票价，需求分别是无弹性的、不变弹性的和弹性的?解 (1) 需求弹性(2) 解得(元)因此,当时,有,需求是无弹性的；当时,有,需求是不变弹性的;当时, 有,需求是弹性的.显然，当票价底于元时,票价提高一个百分点,乘客的减少将不到一个百分点,因此航空公司的收益增大;当票价高于元时, 票价提高一个百分点,乘客的减少将超过一个百分点,因此航空公司的收益反而降低,合理的票价是元.例5 设某商品的需求函数为,求（1）需求弹性函数;（2）、5、6时的需求弹性.解 （1） (2) 分析:,说明当时,需求变动的幅度与价格变动的幅度相同;,说明时,需求变动的幅度小于价格变动的幅度,即此时价格上涨1%,需求只减少0.6%;,说明当时,需求变动的幅度大于价格变动的幅度,即此时价格上涨1%,需求减少1.2%.例6 某产品滞销,准备以降价扩大销路,如果该产品的需求弹性在1.52之间,试问当降价10%时,销售量能增加多少?解 因,由题设条件,得 于是 又由 得所以,销售量约能增加15%20%.例7 因出口需要,拟用提价的办法压缩某高档商品国内销售量的20%,该商品的需求弹性系数在1.52之间,问应提价多少?解 由题设条件,得 ,即又由 ,即所以,该商品应提价10%13.3%.4.5导数在其他问题中的应用本节我们将以例题的方式来考查导数在其他问题中的应用.例1 某车间要靠一面墙壁盖一间长方形小屋,现在存砖只够砌长的墙壁,问应为成怎样的长方形才能使小屋的面积最大?解 如图4-9,假如所砌围墙与原墙壁平行的方向长度为,则与原墙壁垂直的方向长度为,因而面积为:为了求面积的最大值,对求导，有因而得到驻点,由于本问题中最大面积(最值)必然存在，且开区间内有唯一驻点，故为最大值点,即,当与原墙壁平行的方向长为时,长方形小屋面积最大.例2 某人正处在森林地带中距公路2km的A处,在公路右方8km处有一个车站(见图4-10).假定此人在森林地带中步行的速度为,为了尽快赶到车站,他选择的路径,问点应在公路右方多少?他最快能在多少时间内到达?解 设点在公路右方处，则行走的时间为 求得的惟一驻点 由于最小值也可能出现在闭区间的端点上，我们检查一下端点的函数值:可见为最小值，所以，点在公路右方处,赶到车站的最少时间为例3 一个灯泡悬吊在半径为的圆桌的正上方,桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂线之间的夹角),而与光源的距离的平方成反比,欲使桌子的边缘得到最强的照度,问灯泡应挂在桌面上方多高?解 在桌子边缘的照度其中为比例常数,为灯到桌子边缘的距离,为入射角，设为灯泡到桌面的垂直距离,则: 于是对求=0 得 容易验证此时取得最大值,因此,当灯挂在桌面上方处时,桌子边缘的照度最大.例4 一条1m宽的通道与另一条2m宽的通道相交成直角(如图4-11),可以水平绕过拐角的梯子,其最大长度是多少?解 将梯子考虑成一条线段,以图中所示为自变量，可的梯子长度的函数为: 显然，梯子能否通过取决于的最小值,请读者考虑这是为什么。对求导,有:令得 于是求得 弧度,即时得到最小值，此时即梯子最长可以是4.16m,再长就无法水平通过拐角了.