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2011年河北省中考数学试卷
一、选择题（共12小题，1-6小题每小题2分，7-12小题，每题3分，满分30分）
1、零指数幂。
（2011•河北）计算30的结果是（　　）
A、3 B、30
C、1 D、0

2、余角和补角。
（2011•河北）如图，∠1+∠2等于（　　）

A、60° B、90°
C、110° D、180°
3、提公因式法与公式法的综合运用。
（2011•河北）下列分解因式正确的是（　　）
A、﹣a+a3=﹣a（1+a2） B、2a﹣4b+2=2（a﹣2b）
C、a2﹣4=（a﹣2）2 D、a2﹣2a+1=（a﹣1）2

4、整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。
（2011•河北）下列运算中，正确的是（　　）
A、2x﹣x=1 B、x+x4=x5
C、（﹣2x）3=﹣6x3 D、x2y÷y=x2

5、一次函数的性质。
（2011•河北）一次函数y=6x+1的图象不经过（　　）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限

6、：展开图折叠成几何体
（2011•河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（　　）

A、面CDHE B、面BCEF
C、面ABFG D、面ADHG

7、本题考查了方差的意义。
（2011•河北）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是32岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=27，S乙2=19.6，S丙2=1.6，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（　　）
A、甲团 B、乙团
C、丙团 D、甲或乙团

8、二次函数的应用
（2011•河北）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（　　）
A、1米 B、5米
C、6米 D、7米

9、本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．

（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

A、 B、2
C、3 D、4
．
10、本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边。
（2011•河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数 则这样的三角形个数为（　　）
A、2 B、3
C、5 D、13

11、本题考查了一次函数的综合运用，正比例函数的定义。
（2011•河北）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）

A、 B、
C、 D、
12、反比例函数综合题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。

（2011•河北）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：
①x＜0 时，
②△OPQ的面积为定值．
③x＞0时，y随x的增大而增大．
④MQ=2PM．
⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（　　）

A、①②④ B、②④⑤
C、③④⑤ D、②③⑤

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13、考查了实数的大小的比较．
（2011•河北），π，﹣4，0这四个数中，最大的数是　π　．

14、考查了菱形的性质以及数轴上点的距离求法。
（2011•河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC=　5　．

15、考察非负数的性质：绝对值。
（2011•河北）若|x﹣3|+|y+2|=0，则x+y的值为　1　．
16、本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质。
（2011•河北）如图，点0为优弧所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D=　27°　．

17、考查了平移的性质以及等边三角形的性质。
（2011•河北）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图2，则阴影部分的周长为　2　．

18、考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。
（2011•河北）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．
如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．
若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是　3　．

三、解答题（共8小题，满分72分）
19、考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解。
（2011•河北）已知是关于x，y的二元一次方程的解，求（a+1）（a﹣1）+7的值．
解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2=+a，
a=，
∴（a+1）（a﹣1）+7=a2﹣1+7=3﹣1+7=9．

20考察了作图-位似变换。
、（2011•河北）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△AA′B′C′和△ABC位似，且位似比为 1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
解：（1）如图所示：
（2）AA′=CC′=2．
在Rt△OA′C′中，
OA′=OC′=2，得A′C′=2；
同理可得AC=4．
∴四边形AA′C′C的周长=4+6．

21、本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（2011•河北）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形＞．
（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．

解：（1）∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2，
∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为：；

（2）列表得：

∴一共有9种等可能的结果，
两人得到的数相同的有3种情况，
∴两人“不谋而合”的概率为 = ．

22、分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
（2011•河北）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：

解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得

解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．

23、此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图。
（2011•河北）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
（4）当时，请直接写出的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△GDA，
∴DE=DG，
∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°，
∴DE⊥DG．

（2）如图．

（3）四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK、DE相交于M点，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK为平行四边形．

（4）=．

24、本题考查一次函数的应用；折线统计图；算术平均数。
（2011•河北）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次 性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．
现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图1）、上周货运量折线统计图（如图2）等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价
元/（吨•千米）
冷藏费单价
元/（吨•时）
固定费用
元/次
汽车
2
5
200
火车
1.6
5
2280
（1）汽车的速度为　60　千米/时，火车的速度为　100　千米/时：
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与 x的函数关系式（不必写出x的取值范围），及x为何值时y汽＞y火（总费用=运输费+冷藏费+固定费用）
（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？

解：（1）根据图表上点的坐标为：（2，120），（2，200），
∴汽车的速度为 60千米/时，火车的速度为 100千米/时，
故答案为：60，100；

（2）依据题意得出：
y汽=240×2x+×5x+200，
=500x+200；
y火=240×1.6x+×5x+2280，
=396x+2280．
若y汽＞y火，得出500x+200＞396x+2280．
∴x＞20；

（3）上周货运量=（17+20+19+22+22+23+24）÷7=21＞20，
从平均数分析，建议预定火车费用较省．
从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省．

25、本题考察直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形。

（2011•河北）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α=　90　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　2　．
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=　30　度，此时点N到CD的距离是　2　．
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）

解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，
∴OP=4，
∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2．
故答案为：90，2；
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，OY=4，
∴UO=2，
∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2；

探究二
（1）由已知得出M与P的距离为4，
∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；

（2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，
∴sin∠MOH==，
∴∠MOH=49°，
∵α=2∠MOH，
∴α最小为98°，
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°．

26、考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．
（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点
为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代数式表示）：
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=﹣t；

（2）①不变．
如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6．
解t2﹣t+6=，
得：t1=，t2=，
∵4＜t＜5，
∴t1=舍去，
∴t=．

（3）＜t＜．
X
13