八年级数学下册 第6章 平行四边形 6.3 特殊的平行四边形教案 （新版）青岛版-（新版）青岛版初中八年级下册数学教案.doc

6.3特殊的平行四边形
第一课时 矩形
一、教学目标
1．核心素养：
通过探索矩形的判定，发展合情推理的意识，掌握几何思维方法并渗透运动联系、从量变到质变的观点，进一步形成严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值．
2．学习目标
（1）通过实例，理解并掌握矩形的判定；
3．学习重点
定理“对角线相等的平行四边形是矩形”、“有三个角是直角的四边形是矩形”的探究与证明．
4．学习难点
选择合适的判定方法证明四边形为平行四边形．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
矩形的定义是什么？还有哪些方法可以判定矩形？
2．预习自测
1.下列说法正确的是（）
（1）两组对边分别平行且有一个角是直角的四边形是矩形
（2）对角线互相平分且一组对边相等的四边形是矩形
（3）一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
（4）四个角都相等的四边形是矩形
A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2) (4) D.(1) (3)
（知识点：矩形的判定）
2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A. AB=BC B.AC⊥ BD C.∠ABC=90° D.∠ABD=∠CBD

（知识点：矩形的判定）
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）什么是矩形？
（2）矩形有哪些性质？
（从边、角、对角线三方面去归纳）
2．问题探究
问题探究一矩形的判定？重点、难点知识★▲
●活动一回顾旧知，巩固矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的性质：
①矩形的对边平行且相等；
②矩形的对角相等；
③矩形的对角线互相平分；
④矩形的四个角都是直角；
⑤矩形的对角线相等．
●活动二逆向思维，探求矩形的判定
阅读教材：由矩形的定义，我们可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
探究：李芳同学用“边—直角，边—直角，边—直角，边”这们四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？请你按照李芳的方法画一画.
归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形.
想一想：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长度相等，那么窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
（1） 引导学生将实际问题转化为数学问题
（2） 在老师启发下解决问题
（3） 归纳总结出判定矩形的又一种方法：
归纳总结矩形的判定方法：
1．矩形的判定方法一（定义）：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90o，
∴四边形ABCD是矩形．
2．矩形的判定方法二（定理）：
对角线相等的平行四边形是矩形．
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
3．矩形的判定方法三（定理）：
有三个角是直角的四边形是矩形．
∵∠A=∠B=∠C=90o，
∴四边形ABCD是矩形．
简单记忆：
①一个直角+平行四边形=矩形；
②对角线相等+平行四边形=矩形；
③三个直角+四边形=矩形．
●活动三运用判定，解决实际问题
例1．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．

【知识点：矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质】
详解：
证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD－∠BAC=∠CAE－∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
点拨：求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线的性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．
例2．如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

【知识点：矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质】
详解：
（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，∴EF==13，
∴OC=EF=6.5．
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO．
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．

点拨：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，进而得出答案．（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长．（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
3．课堂总结
【知识梳理】
认识矩形的性质与判定互为逆定理，掌握矩形判定的常用三种方法：
①一个直角+平行四边形=矩形；
②对角线相等+平行四边形=矩形；
③三个直角+四边形=矩形．
【重难点突破】
使用矩形判定定理时要注意条件，分析条件跟哪种方法最接近，就使用哪种方法．若易得到平行四边形，则利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明；若给出的条件是直角，则利用有三个角是直角的四边形为矩形进行证明.
4.随堂检测
1.下列四边形不一定是矩形的是（）
A．四个角相等的四边形
B．有三个角是直角的四边形
C.一组对边平行且对角线相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
【知识点：矩形的判定和性质】
2.如图，已知平行四边形ABCD，有下列条件：①AC=BD ②AB=AD ③∠CAD=∠ACB ,④AB⊥BC其能说明平行四边形ABCD是矩形的有

【知识点：矩形的判定和性质】
3．如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的F处，折痕为AE，求CE的长．

【知识点：矩形的判定和性质，勾股定理的运用，翻折变换；数学思想：数形结合】
参考答案：
预习自测
1.B 2.C
随堂检测
1.C 2.①④
3.解：∵△AFE是△ADE沿AE对折后的图形，
∴△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10，DE=EF．
在Rt△ABF中，由勾股定理知，BF===6．
∴FC=BC－BF=10－6=4（cm）．
设EC=x，则DE=EF=8–x．
在Rt△EFC中，由勾股定理，得（8－x）2=x2+42．
∴x=3cm，即EC=3cm．

6.3特殊的平行四边形
第二课时 菱形
【教学任务分析】

教
学
目
标
知识
技能
理解菱形的概念，掌握菱形的性质.
过程
方法
经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.
情感
态度
在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
重点
理解并掌握菱形的性质．
难点
菱形性质的运用.
【教学环节安排】
环节
教 学 问 题 设 计
教学活动设计

情
境
引
入
【问题1】如图，在平行四边形中，保持角的度数不变，改变边的长度能否得到一个特殊的平行四边形？

小结：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【问题2】你能举出生活中你看到的菱形吗
教师用教具展示问题1的过程（如果让学生做一个学具效果会更好），学生观察边的大小变化；教师板书菱形的定义；
学生回答，并用图片展示生活中的菱形
教师讲解菱形美感，为接下来的对称性的引出打基础

自
主
探
究
合
作
交
流
【问题3】师生互动：将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，就得到一个菱形.

观察得到的菱形：
（1）它是轴对称图形吗？
（2）有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（3）你能看出图中哪些线段或角相等？
性质1：菱形的四条边都相等.
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.
【问题4】如图，四边形ABCD是菱形，
求证：（1）AB=BC=CD=DA（2）AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB ，BD平分∠ADC和∠ABC.
教师演示，学生动手（可以合作）操作折剪.教师依次提出3个问题；学生根据所剪图形，思考、合作、讨论，并依次回答.
在这个过程中教师应重点关注以下几点：（1）学生动手操作时，是否能恰当的质疑，探究的方向正确、合理，并合情地做出猜想.（2）学生口头表述性质时，所用的语言是否恰当、准确，若有出现语言表述不恰当时应当及时给予纠正.
学生在充分讨论思考的基础上口述证明过程；教师及时补充、归纳、鼓励.

尝
试
应
用

1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则
∠ABD＝_______.
3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是________.
4.在菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO＝4cm，求两对角线AC、BD的长.
5.如图1，菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
学生练习；
教师矫正.
4.教师提问：AO 、DO的长分别是多少？如何求出AD的长？
5.菱形的面积如何求出？
利用练习的结论引入讨论菱形的面积公式
=AC·BD

成
果
展
示
1. 如图2是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，
∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）.

2.已知如图3，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2. 求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积.
小组先讨论交流，师点拨疑点.
找小组代表板演,点拨1题：
∵花坛ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∠ABO=∠ABC=30°.在Rt△OAB中，AO=10m,BO=,∴AC=2AO=20m,BD=2BO=34.64m
2.点拨 ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB,∴AD=BD 又∵AB=AD
∴△DAB为等边三角形

补
偿
提
高

1.菱形的一个角是150°，如果边长为a，那么它的高为_____.
2.如果菱形的周长等于它的一组对边距离的8倍，那么它的四个角分别是________度.
3.菱形的一个内角是120°，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是__________.
4. 小明所在学校里的一处花坛是美丽的菱形图案，如图4,小明发现,他沿着花坛的边走完一个菱形图案用了12秒钟,当他以同样的速度从A到B再到C（AB=BC）,只用了6秒钟，小明说他知道了两个菱形间的夹角的度数了．你知道∠1的度数是多少吗？
5.菱形的周长为40cm，它的一条对角线长为10cm.求：
⑴菱形的每一个内角的度数；
⑵菱形另一条对角线的长；
⑶菱形的面积.
教师出示题目
学生独立完成
教师巡视解疑
小组交流4题方法
5题找学生板演
作业
设计
利用所学过的四边形设计一幅漂亮的图案

学生课下完成
教学反思:

6.3 特殊的平行四边形
第三课时 正方形
一、教学目标
1．核心素养：
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程，鼓励大胆尝试、互帮互助，勇于交流解决问题的思路，不断激发探索精神，进一步形成动手操作、合作交流和逻辑推理的能力，提高分析和解决问题的能力．
2．学习目标
（1）通过实例，理解并掌握正方形的概念；
（2） 掌握正方形的性质；
3．学习重点
（1）正方形的定义及性质；
（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
4．学习难点
正方形与矩形、菱形的关系。
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1：什么是正方形？生活中哪些图形是正方形？
任务2：正方形有哪些特有的性质？
2．预习自测
1.四边都相等，四角都相等的四边形是正方形。（知识点：正方形的性质）
2.正方形的四边，四个角，对角线。（知识点：正方形的性质）
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）什么是平行四边形、矩形、菱形？它们之间有什么关系？
（2）说出平行四边形、矩形、菱形的性质和判定方法。
除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
2．问题探究
问题探究一什么是正方形？
●活动一复习旧知
回忆矩形、菱形的性质和判定

性质
判定方法
矩形
边：
角：
对角线：
对称性：
1.
2.
3.
菱形
边：
角
对角线：
对称性：
1.
2.
3.
●活动二动手操作，生成概念
在小学中，我们是如何定义正方形的？
（四个角相等，四条边相等的四边形）
探究：你能用一张长方形的纸片折出一个正方形？
师生动手折叠，教师展示折叠课件，（如图）
你能类比前面的矩形和菱形的定义，给出正方形的定义吗？

引出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
问题探究二：正方形有哪些特殊性质？重点、难点知识★▲
想一想：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，菱形，所以它具有这些图形的所有性质，小组交流，引导学生从角，对角线，对称性等角度归纳总结.
学生讨论后总结出正方形的性质，老师补充.
归纳总结：正方形的性质
注意：正方形既是矩形又是菱形，故除具有平行四边形，菱形，矩形的所有性质外，还有特殊的性质．
①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
②正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
例1．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

【知识点：正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积】
详解：（1）作FM⊥DC交其延长线于M，连接GE.
∵正方形ABCD，∴DC∥AB，∴∠CGE=∠AEG，
∵菱形EFGH，∴GF=EH，GF∥HE，∴∠FGE=∠HEG，
∴∠MGF=∠AEH，
又∵∠M=∠A=90o，∴△GFM≌△EHA，∴FM=AH=2，
又∵DG=2，DC=6，∴GC=4，
∴△FCG的面积为==4．
（2）由（1）可知，FM=2，当DG=x，则GC=6－x，
∴△FCG的面积为==6－x．
（3）若S△FCG=1，则由6－x=1，得x=5．
此时在△DGH中，HG=．
在△AHE中，AE=>6．
即点E已经不在边AB上，故不可能有S△FCG=1．

点拨：（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出．
（2） 欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．
（3）若S△FCG=1，由S△FCG=6－x，得x=5，此时，在△DGH中，HG=．相应地，在△AHE中，AE=＞6，即点E已经不在边AB上．故不可能有S△FCG=1．
3．课堂总结
【知识梳理】
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
简记：既是矩形又是菱形的四边形就是正方形．
（2）正方形的性质：
①边的性质：两组对边分别相等且平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；
②角的性质：四个角都是直角；
③对角线的性质：对角线垂直且互相平分；每条对角线平分一组对角；
④对称性：正方形是轴对称图形，它有4条对称轴．
注意：正方形既是矩形又是菱形，故除具有平行四边形，菱形，矩形的所有性质外，还有特殊的性质．
①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
②正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
【重难点突破】
（1）记清正方形的性质，注意正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，结合图形理清其有哪些边、角、对角线方面的性质与结论.
（2）正方形的判定方法很多，但都必须符合一条要求就行，即“既是矩形，又是菱形”，故要证明一个四边形是正方形，证它既满足矩形的条件又满足菱形的条件即可.
（3）正方形的性质与判定内容很多，切忌死记硬背，要通过图形来记忆，知道图形有什么结论即可．
4．随堂检测
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分 B.四角都相等 C.四条边都相等 D.对角线互相垂直
【知识点：正方形的判定和性质】
2.四边形ABCD为正方形，其对角线AC,BD相交于点O，下列结论不正确的是（）
A.AO=OD B. OA=OC C.AB=AC D.AB=AD
【知识点：正方形的判定和性质】
3. 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O
求证：△ABO,△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。

【知识点：正方形的判定和性质】
参考答案：
预习自测
1．都相等 2．相等，相等，相等
随堂检测
1.B 2.C 3.略