资源描述
27.2.1 相似三角形的判定 第一课时
一、教学目标
1.核心素养
通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.
2.学习目标
掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.
3.学习重点
平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.
4.学习难点
平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？
任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？
任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？
2.预习自测
1.在△ABC 与中，如果 ∠A=∠，∠B=∠，∠C=∠，且 ，那么△ABC与_______，记作 _________，其中k 就是两个相似三角形的 ______； 如果 k = 1，那么这两个三角形_______.
【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】
2.已知△ABC∽△EFD，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，则∠FED=______度.
【知识点：相似三角形性质】
3.如图，AD//BE//CF，且AB=6，BC=12，EF=10，则DE=_______.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
（二）课堂设计
1.知识回顾
1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
3.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段.
2.问题探究
问题探究一 什么是相似三角形？
●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念
回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？
归纳 如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′相似记作 “△ABC∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.
说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例；
（2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.
(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.
(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△ABC∽△A′B′C′时，则△A′B′C′∽△ABC时，
（5）相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；
●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用
例 如图，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，
指出对应边、对应角，并求出相似比.
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.
对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.
问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？ 重点、难点知识★▲
●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.
问题：如图，任意画两条直线m、n，再画三条与m、n都相交的平行线、 、，分别度量、 、在m上截得的两条线段AB，BC和在n上截得的两条线段DE，EF的长度，相等吗？任意平移， 还相等吗？
探究：如图，小方格的边长都是1，直线 ∥∥ ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 .
问题1：计算 ，你有什么发现？
问题2：将向下平移到如图的位置，直线m，n与的交点分别为，，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.
问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？
学生讨论，通过计算可以发现：
将平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式：
于是有，平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
可简记为：
说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等.
●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用
例：如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
详解：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解.
∵AB∥CD∥EF，
故选项A，B，D正确.
∵CD∥EF，∴ 故选项C错误.
点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之
间的关系，即平行线分线段成比例.
●活动3 应用练习
1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x=________.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.
已知，则的值为（ )
A. B. C. D.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
解：D
问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？ 重点、难点知★▲
●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论.
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.
在图 (1)中，把看成平行于△ABC的边BC的直线；在图 (2)中，把看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用
例1.如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC，
（1）如果AE = 7，EB=5，FC = 4，那么AF的长是多少？
（2）如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？
【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】
A
B
C
E
F
详解：(1)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝＝＝.
(2)∵EF∥ BC，
∴＝.
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝＝＝，
∴FC＝AC－AF＝－5＝.
点拨：写比例式时，注意线段的对应关系.
例2：如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
【知识点：平行线分线段成比例定理推论】
解析： 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
∴（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
∴ .
点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 经常要把它转化为两个等式：我们通常把叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式.
●活动3 应用练习
1.如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是( )
A.OC∶OD＝OA∶OB B.OC∶OD＝OB∶OA
C.OC∶AC＝OD∶DB D.BD∶AC＝OB∶OA
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】
解：B
2.如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6 cm，CD＝9 cm，BF＝7 cm.则BC＝________.
【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】
解：17.5
问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ 重点、难点知识★▲
●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理
提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
分析引导：直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝.
由前面的结论可得，＝.而中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.但从要证的＝可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF＝DE，再证明＝就可以了.只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
师生活动：先证明两个三角形的角分别相等.
如图，在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
再证明两个三角形的边成比例.
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，＝.
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE＝BF，
∴＝，∴＝＝.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等、边成比例，所以△ADE∽△ABC，
追问：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？
因此，我们有如下判定三角形相似的定理.
相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)
定理的几何语言表述：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用
例1：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴BC＝＝＝14.
点拨 在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了.
例2：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC
点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法.
●活动3 应用练习
1.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为( )
A.4 B.7 C.3 D.12
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
解：B
2.在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为___________.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、分类讨论】
解：6或12
问题探究五 如何巧作平行线构造相似三角形解题？
解题时，往往会遇到要求的线段比或要证的比例式找不到成比例的线段，与相似三角形联系不上，或者说图中没有平行线也根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是解决这类几何题的一种重要方法.而作平行线构造三角形相似是常用方法.
活动1 合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题
技巧1：连接线段的中点构造相似三角形
例1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP：PQ：QD.
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D、F分别是AC、EC的中点，连接DF可得DF//AE，由此平行得线段成比例可求.
解：如图，连接DF，∵E，F是边BC的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线.
∴DF∥AE，且DF＝AE.∴DF∥PE.
∴△BEP∽△BFD.∴＝.
∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.
∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.
∴△APQ∽△FDQ.∴＝.
设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.
∴PQ：QD＝AP：DF＝3：2.∴BP：PQ：QD＝5：3：2.
点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线.口诀是“中点连中点，构造中位线”.
技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形
例2.如图，在△ABC中，F为底边AB上一点，BF：AF＝3：2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值.
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
分析：要求，不能与已知条件BF：AF＝3：2联系起来，求不出.因此可作平行线，得到成比例线段，把它们联系起来，再求出.
解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.
∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.
又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.
又∵∠ADF＝∠CDG.
∴△ADF≌△GDC.∴AF＝CG.
∵BF：AF＝3：2，∴AB：AF＝5：2.
∵AB∥CG.∴△ABE∽△GCE.
∴＝＝＝.
点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法.本题也可过顶点B作AE的平行线与CF的延长线相交求；也可过顶点A作CB的平行线与CF的延长线相交求.
技巧3：过分点作平行线构造相似三角形
例3.如图，在△ABC中，＝4，＝，求的值.
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
分析：要求，需作平行线，构造相似三角形，利用成比例线段求.
解：过D点作DN∥AC，交BE于N，如图.
易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.
∵＝，∴＝.
∴＝＝.
∵＝4，∴＝＝4.
∴＝·＝×4＝.
点拨：点D、M、E分别为线段BC、AD、AC的分点，过它们任一点作平行线都可求.
活动2 应用练习
1.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，，E为AD中点，求的值.
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
解：如图，过点D作DP∥CF交AB于点P，
∴△AFE∽△APD，.△BPD∽△BFC.
∴，.
∵E为AD中点，BD=2CD，
∴AE=ED，∴AF=FP.
∵，∴.
∴
2.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.
求证：＝.
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理】
证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F，
∴△PCF∽△PBD.∴＝.
∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.
∴＝.
3.课堂总结
【知识梳理】
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例.
（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
【重难点突破】
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：
①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “型”或“ 型”，得到相应的比例式；
②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线.
（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.
（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法.
4.随堂检测
1.如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝75°，∠A＝60°，则∠C等于( )
A.45° B.60° C.75° D.80°
【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】
2.如图，直线∥∥，若AB=4，BC=6，DE=2，则EF的值为（ ）
A. B.3 C.12 D.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
3.如图，直线∥∥，直线AC分别交、、于点A，B，C，直线DF分别交、、于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝5，GB＝3，BC＝10，则的值为( )
A. B. C. D.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
4.如图， △ABC中D，DE//BC，DF//AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，CE∶AE＝5∶3，DE＝12，则BC等于( )
A.32 B.24 C.20 D.16
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.下列各组三角形一定相似的是（ ）.
A.两个直角三角形 B.两个都有一个内角等于130°的钝角三角形
C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形
【知识点：相似三角形】
2.如图，△ABC∽△DEF，相似比为3∶7.若BC＝14，则EF的长是( )
A.3 B.6 C.7 D.8
【知识点：相似比；数学思想：数形结合】
3.已知，如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【知识点：平行线分线段成比例定理】
4.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，F是CD上一点，连接AF.延长CD到H，连接BH，分别交AF、AD于G、E，则图中相似三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【知识点：相似三角形判定的预备定理】
5.如图，已知：l1∥l2∥l3，BC=12，EF=10，DE=6，则AC= .
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
6.如图，AB//CD，AE=3，DE=2，则=_________.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】
能力型 师生共研
7.已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，＝，那么的值等于____.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，且EF：FC=3：5，CD=3，则BE的长为________.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】
9.如图所示l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝15 cm，AG＝12 cm，求GF，AF，EF的长.
【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】
10.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.延长DC到G，连接AG，分别交对角线BD、边BC于点E，F.
求证：.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】
探究型 多维突破
11.如图，已知△ABC，延长BC到点D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.
(1)求的值；
(2)若AB＝6，FB＝EC，求AC的长.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】
12.如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交CD于点G，
（1）若，求的值（用含的代数式表示）.
（2）（拓展迁移）如图2，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，求的值（用含的代数式表示）.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】
自助餐
1.如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）
【知识点：平行线分线段成比例定理】
2.如图，△ABC中，∠ADE=∠ABC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【知识点：相似三角形判定的预备定理】
3.如图，点E是平行四边形ABCD的边BC上一点，BE：EC=5：7，AE交BD于F，则BF：BD等于( )
A.5：17 B.5：7 C.5：12 D.7：12
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】
4.如图，直线l1∥l2，AF：FB＝3：4，BC：CD＝3：2，则AE：EC为( )
A.3：2 B.4：3 C.2：1 D.15：8
【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】
5.如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC中点，MN=4，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM长为（ ）.
A. B. C.或 D.或
【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】
6.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，CD＝10，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
7.如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF=4∶5，AE=27，那么AC=_______.
【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】
8.如图，AM分别交平行四边形ABCD的对角线BD、边CD于P、N，交BC的延长线于M，若MN=10，PN=8，则AP的长为_______.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
9.如图，在ΔABC中，D为BC中点，E为AD上一点，且，CE的延长线交AB于F，若AF=8，则AB= .
【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
10.如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=20，BC=24，CA=12.求AD、DC的长.
【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】
11.如图，在△ABC中，AB＝30 cm，AC＝24 cm，菱形ADEF的顶点在△ABC的边上，求EF的长.
【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】
12.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
(1)求证：；
(2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明.
【知识点：相似三角形判定的预备定理，三角形面积；数学思想：数形结合】
五.参考答案
预习自测
1.相似 ∽ 相似比 全等
2.50°
3.∵AD//BE//CE，∴，∴，∴DE=5.
随堂检测
1. C
2. B
3. D
4. B 由
5. A
课后作业
基础型
1.D
2.B
3.C
4.C
5.19.2
6.
能力型
7.
8.4.8
9.∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝2，
∴GF＝AG＝6cm，∴AF＝18 cm，∴＝，∴EF＝DF＝5 cm
10. ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，∴＝，又∵AB∥CD，
∴＝，∴＝1，∴AE2＝EF·EG
探究型
11.解：(1)如图，过点C作CM∥AB，交DF于点M.
∵点C为BD的中点，
∴点M为DF的中点，CM＝BF＝AF.
∵CM∥AB，∴△AEF∽△CEM.∴＝＝2.
∴AE＝2CE.
∴＝＝＝.
(2)∵AB＝6，∴FB＝AB＝3.
又∵FB＝EC，∴EC＝3. ∴AC＝3EC＝9.
12.(1)如图1，作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF，
∴.
∵AB=CD，∴，EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG
图1
∴，∴CG=2EH，∴
(2)如图2，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有
图2
EH∥AB∥CD.
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH.
∴.∴CD＝bEH.
又，∴AB＝aCD＝abEH.
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF.
∴.
∴.
自助餐
1.c
2.B
3.A
4. D 由题意得，∵，∴，∴.
5.C 由题意得AE=，或，∴.
6. C 由题意得，∴，∴，即，
∴.
7. 12 由题意得：，，
∴AC=12.
8. 12 ∵AB∥DN，∴ΔABP∽ΔNDP，∴.∵AD∥BM，
∴ΔADP∽ΔMBP，∴，∴，即，∴AP=12.
9. 28 过点D做DM∥FC交AB与点M，∴，∵D为BC中点，∴BM=FM.
∴，∴，∴AB=28.
10.（1）
(2) ∠BAC=∠CDA，∠B=∠DCA，∠ACB=∠DAC;
（3）∵又AB=20，BC=24，CA=12
11. 设菱形的边长为x，由题意知EF∥AB，DE∥AC，∴，，
∴，∴，解得x＝，
∴EF=cm.
12.（1）证明：∵AB∥EF，∴.
∵CD∥EF，∴.
∴.
∴.
(2)关系式为：.
证明如下：分别过A作AMBD于M，过E作ENBD于N，过C作CKBD交BD的延长线于K，
由题设可得：.
∴.
即.
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