八年级数学奥数例题苏科版.doc

奥数例题
例1 在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，P、Q分别是BC、AC上的点，试比较线段AB与△MPQ周长的大小．

解：作点M关于BC、AC的对称点、，连结、、、、MC，则由轴对称的性质可知：
，，
，，
且，，（注意体会解法中比较线段的方法）
∴　，
∴　（等式性质），
即、C、三点共线，
显然，，（两点之间，线段最短），
而，
∴　AB<MP＋PQ＋QM（等量代换），
即：线段AB小于△MPQ的周长．
注　要比较几个线段之间的大小，容易想到“三角形任何一边小于另两边之和”或“两点之间线段最短”，注意到AC与BC垂直，于是想到轴对称，把其中某些线段转移到它关于某直线对称的位置．因此，掌握好轴对称的思想，对探求解题思路是大有帮助的．
例2 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小．
解：（1）当AB的中垂线MN交AC边时，如下图（1），（有几种情况？）

（1）
∵　∠DEA＝50°，∴　∠A＝90°－50°＝40°，
∵　AB＝AC，∴　∠B＝（180°－40°）＝70°；
（2）当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如下图（2），

（2）
∵　∠DEA＝50°，∴　∠BAC＝90°＋50°＝140°，
∴　∠B＝（180°－140°）＝20°．
注　本题考察分类讨论的思想，其关键是当图形未给定时，要画出所有符合条件的图形，并加以解答．（也是难点）