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2．2 整式加减
第1课时 合并同类项
1．通过对具体情境中的问题的分析，探索同一个量的不同表现形式，体会合并同类项的合理性和可行性．
2．能运用分配律说明合并同类项的法则的正确性．
3．能熟练运用合并同类项的法则，化简多项式并求值．
重点
理解同类项的概念，并能正确进行同类项的合并．
难点
找准同类项；能熟练地进行同类项的合并．
一、复习旧知，导入新知
有理数可以进行加减计算，那么整式是否可以进行加减运算呢？又怎样化简呢？这就是我们今天要学习的内容：合并同类项．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：同类项的概念
问题：甲、乙两面墙壁上，各挖去一个圆形空洞安装窗花，其余部分油漆，请根据课本P69图2－6中的尺寸，算出：
(1)两面墙上油漆面积一共有多大？
(2)较大一面墙比较小一面墙的油漆面积大多少？
解析：(1)甲面墙原来的面积为2ab，乙面墙原来的面积为ab，挖去的圆形空洞面积为πr2，因此可先算两个长方形墙面的面积之和2ab＋ab，再减去两个圆面积之和πr2＋πr2.(2)挖去的两个圆形空洞面积相等，较大一面墙比较小一面墙的油漆面积大多少，即是原来甲面墙的面积比乙面墙的面积大多少．
思考：2ab与ab，πr2与πr2有什么共同点？
(系数不同，而所含字母及相同字母的次数都相同)
由此可得同类项的定义，老师总结并板书．
像这样，所含字母都相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项．
注意：几个常数项也是同类项．
思考：判断同类项需要注意哪些条件呢？
判断同类项的两条标准：①各项中所含的字母相同；②相同字母的指数也相同．两者缺一不可．
想一想：x与y，a2b与ab2，－3pq与3pq，abc与ac，a2和a3是不是同类项？
学生自主交流．
探究点二：合并同类项
问题1：两个苹果加三个苹果等于几个苹果？一个梨子加两个梨子等于几个梨子？(课件出示实物演示)
结合上面的实例，把一个苹果看作a，把一个梨子看作b2，试一试，2a＋3a＝？，b2＋2b2＝？
根据乘法分配律，也可以得到：
4a3＋3a3＝(4＋3)a3＝7a3；
a2b＋2a2b＝(1＋2)a2b＝3a2b.
结论：多项式中的同类项可以合并．
问题2：请同学们思考下列问题：
(1)在多项式中，某两项具有什么特点时可以合并成一项？合并前后的系数有什么关系？字母和它的指数有无变化？
(2)把具有以上特点的两项合并成一项时，我们实际上用了什么运算律？
结论：把多项式中几个同类项合并成一项的过程，叫做合并同类项．
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的次数不变．
说一说：多项式x3－4x2＋7x2－2x－5与多项式x3＋3x2－6x＋4x－5相等吗？
通过合并同类项发现两个式子都等于x3＋3x2－2x－5.得出：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等．
四、应用迁移，运用新知
1．同类项的识别
例1 指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．
(1)－x2y与x2y；(2)23与－34；
(3)2a3b2与3a2b3；(4)xyz与3xy.
解析：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可．
解：(1)是同类项，因为－x2y与x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1；
(2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；
(3)不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项；
(4)不是同类项，因为xyz与3xy中所含字母不同，xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所以不是同类项．
方法总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项．
2．已知两个单项式是同类项，求字母指数的值
例2 若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为－5x2ym和xny是同类项，所以n＝2，m＝1，m＋n＝1＋2＝3.
方法总结：注意掌握同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同．
3．合并同类项
例3 见课本P70例1.
例4 将下列各式合并同类项：
(1)－x－x－x；
(2)2x2y－3x2y＋5x2y；
(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2；
(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b.
解析：利用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则进行计算．
解：(1)－x－x－x＝(－1－1－1)x＝－3x；
(2)2x2y－3x2y＋5x2y＝(2－3＋5)x2y＝4x2y；
(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2
＝2a2＋(4－6)b2＋(－3－5)ab
＝2a2－2b2－8ab；
(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b
＝(－1＋3)ab3＋(2－4)a3b
＝2ab3－2a3b.
方法总结：合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号标记不同的同类项．
4．化简求值
例5 见课本P70例2.
例6 化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝.
解析：先将原式合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可求出值．
解：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.当a＝－2，b＝时，原式＝－(－2)2×＋2×(－2)×＋3＝－1.
方法总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号．
5．合并同类项的应用
例7 有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若这批货物共有x吨，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完．
解析：甲每天运货物的，乙每天运货物的，则两个合作运输一天后剩余的货物为x－x－x＝x(吨)，故填x.
方法总结：体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．
五、尝试练习，掌握新知
课本P71练习第1～4题．
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了：
(1)判断同类项的两条标准：①各项中所含的字母相同；②相同字母的指数也相同．
注意：同类项与系数无关；与字母的顺序无关．
(2)合并同类项的方法：系数相加，字母及字母的指数不变．
七、深化练习，巩固新知
课本P76习题2.2第1、2题．
《
第2课时 去括号、添括号
1．通过运用分配律，总结出去括号法则和添括号法则．
2．应用去括号法则，能按要求去括号．
3．应用添括号法则，能按要求正确添括号．
重点
熟练掌握去括号法则，正确去括号；能利用去括号法则解决简单的实际问题．
难点
当括号前面是“－”时的去括号问题．
一、创设情境，导入新知
周三下午，校图书馆内起初有a名同学．后来某年级组织学生阅读，第一批来了b位同学，第二批来了c位同学，则图书馆内一共有______位同学．
学生从不同角度寻求解决问题的办法，有两种答案：(1)a＋(b＋c)；(2)a＋b＋c.
讨论：1.以上两式之间有什么联系和区别？
学生答：联系：它们相等；区别：(1)式有括号，(2)式没有括号．
2．从(1)式到(2)式你能给它起个名字吗？从(2)式到(1)式呢？
学生口答，从而引入本节课题——去括号、添括号．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：去括号
1．去括号法则1
问题1：在上述问题中，两个答案是表示同一事物的结果，你认为它们相等吗？
从以上所得的结果，我们可以得到：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，把该等式记为①.
问题2：这个等式①大家熟悉吗？
学生答：这个是加法结合律．
问题3：观察等式①的左右两边，有什么规律？
教学策略：教师可提醒学生观察各项符号的变化和括号的变化．
问题4：你能用自己的语言来描述去括号法则吗？
学生回答，教师归纳，得出括号法则1：
如果括号前面是“＋”号，去括号时括号内的各项都不改变符号．
2．去括号法则2
问题5：若图书馆内原有a位同学，后来有些同学因上课要离开，第一批走了b位同学，第二批又走了c位同学，你能用两种方式写出图书馆内剩下的同学数吗？(发挥定势思维的优势又可以得到：a－(b＋c)＝a－b－c，把该等式记为②)
问题6：观察等式②中，等号左边的多项式为什么会等于等号右边的多项式？这其中有没有什么规律？如果有，又是怎样的规律呢？
师：下面我们利用乘法对加法的分配律来验证②的正确性，下面请同学计算：a＋(－1)(b＋c)．
生：a＋(－1)(b＋c)＝a＋(－1)b＋(－1)c＝a－b－c.
因为a＋(－1)(b＋c)可以表示为a－(b＋c)，所以a－(b＋c)＝a＋(－1)(b＋c)＝a－b－c，
即a－(b＋c)＝a－b－c.
问题7：你能用自己的语言来描述去括号法则吗？
学生回答，教师归纳，得出括号法则2：
如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的各项都改变符号．
探究点二：添括号
问题8：去括号：(1)＋(a＋b－c)；
(2)－(a＋b－c)．
学生口答：
(1)＋(a＋b－c)＝a＋b－c；
(2)－(a＋b－c)＝－a－b＋c.
反过来则有：
(1)a＋b－c＝＋(a＋b－c)；
(2)－a－b＋c＝－(a＋b－c)．
从中你发现了什么规律？
让学生探讨交流，然后类比去括号法则得出添括号法则：
(1)所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号；
(2)所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．
四、应用迁移，运用新知
1．去括号后进行整式的化简
例1 见课本P72例3.
例2 先去括号，后合并同类项：
(1)x＋[－x－2(x－2y)]；
(2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；
(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)．
解析：去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则进行计算，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：(1)原式＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；
(2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋；
(3)原式＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a.
方法总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序．
2．与绝对值、数轴相结合，去括号进行代数式的化简
例3 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|.
解析：根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可确定a、b、c的符号，进而确定式子中绝对值内的式子的符号，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，对式子进行化简．
解：由图可知a＞0，b＜0，c＜0，|a|＜|b|＜|c|，∴a＋c＜0，a＋b＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，∴原式＝－(a＋c)－(a＋b＋c)－(a－b)－(b＋c)＝－3a－b－3c.
方法总结：本题考查了利用数轴比较数的大小关系，对于含有绝对值的式子的化简，要根据绝对值内的式子的符号，去掉绝对值符号．
3．添括号
例4 在括号内填入适当的项：
(1)x2－x＋1＝x2－( )；
(2)2x2－3x－1＝2x2＋( )；
(3)(a－b)－(c－d)＝a－( )．
解析：(1)(2)根据添括号法则，所添括号前的符号是“＋”号还是“－”号，确定括到括号里的各项是全变号还是全不变号；(3)先去括号，再根据添括号法则解答．
解：(1)x－1；(2)－3x－1；(3)b＋c－d.
方法总结：在去括号或者添括号时，如果括号前是“－”号，那么括号内的各项都改变符号，注意不要漏项；可用去括号检验添括号是否正确．
五、尝试练习，掌握新知
课本P73练习第1～3题、P74练习第1～3题．
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了：
1．去括号法则：
(1)如果括号前面是“＋”号，去括号时括号内各项都不改变符号；
(2)如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的各项都改变符号．
2．添括号法则
(1)所添括号前面是“＋”号，括号内的各项都不改变符号；
(2)所添括号前面是“－”号，括号内的各项都改变符号．
七、深化练习，巩固新知
课本P76习题2.2第4、5题．
第3课时 整式加减
1．理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项．
2．在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤．
3．能够正确地进行整式的加减运算．
重点
知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算．
难点
能用整式加减运算解决实际问题．
一、创设情境，导入新知
七年级(一)班分成三个小组，利用星期日参加社会公益活动．第一组有学生m名；第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10；第三组的学生人数是第二组的一半．七年级(一)班共有学生多少名？
提问：七年级(一)班的学生总数是三个小组学生人数的和，大家一起说一下三个小组分别有多少人？
m，2m－10，和(2m－10)．
引导学生活动：
(1)让学生在练习本上列出求学生总数的式子，即m＋(2m－10)＋(2m－10)；
(2)对该式进行化简得出班级的具体人数．给出准确答案，让同学们互相更正．(学生回答时，教师用彩笔把运算符号写在胶片上显示出来，以引起注意．)
师提出问题：上述式子中，每个括号内的式子是什么式子？(整式)从而引出课题——整式加减，并板书课题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：整式的和差
问题1：求整式4－5x2＋3x与－2x＋7x2－3的差．
学生活动：学生在练习本上接着计算(或在投影胶片上计算)，一个学生接着老师板书继续完成以下过程．把不同层次学生的胶片显示在投影上，教师给予肯定或纠正．
解：(4－5x2＋3x)－(－2x＋7x2－3)
＝4－5x2＋3x＋2x－7x2＋3
＝(－5x2－7x2)＋(3x＋2x)＋(3＋4)
＝－12x2＋5x＋7.
提出问题：在这几个整式相加时，为什么4－5x2＋3x与－2x＋7x2－3要加上括号(学生讨论后回答，教师做必要的强调)．
注意：运算结果，常将多项式按某个字母(如x)的次数从大到小(或从小到大)依次排列，这种排列叫做关于这个字母(如x)的降幂(升幂)排列．如上面问题的结果为－12x2＋5x＋7，就是按x的降幂排列的．
问题2：(1)说出下列单项式的和(口答)．
①－3x，－2x，－5x2，5x2；②－2n，3n2，－5n2.
(2)写出下列第一个式子减去第二个式子的差．
①3ab，－2ab；②－4x2，3x；③－5ax2，－4x2a.
学生活动：(1)题学生在练习本上完成后口答．(2)题直接观察回答(先答所列式子，再回答结果)．
探究点二：整式的加减
问题3：计算：2b3＋(3ab2－a2b)－2(ab2＋b3)．
师提出问题：通过上面的学习，你发现进行整式的加减运算一般分几步？
学生活动：小组讨论，互相叙述，待讨论结果认为合理后，让学生举手回答．教师做简要归纳后，板书内容．
解：2b3＋(3ab2－a2b)－2(ab2＋b3)
＝2b3＋3ab2－a2b－2ab2－2b3
＝(2b3－2b3)＋(3ab2－2ab2)－a2b
＝ab2－a2b.
总结：整式的加减的步骤，一般分为：(1)去括号；(2)合并同类项．
四、应用迁移，运用新知
1．升、降幂排列
例1 把多项式7x3y－2x4y3－5－x2y4＋xy2按x的降幂排列是______，按y的升幂排列是______．
解析：解题时要注意看清题目要求，注意常数项的位置．所填答案为－2x4y3＋7x3y－x2y4＋xy2－5；－5＋7x3y＋xy2－2x4y3－x2y4.
方法总结：解决升幂、降幂问题时，要注意交换多项式中各项位置时连同每项的符号也一起交换．
2．整式的化简
例2 见课本P74例4.
例3 化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．
解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.
方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”号，去括号后括号里面的各项都要变号．
3．整式的化简求值
例4 见课本P75例5.
例5 化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－.
解析：先将原式去括号合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1＝－3a＋b2＋1，当a＝2，b＝－时，原式＝－3×2＋×(－)2＋1＝－6＋＋1＝－4.
方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变．
4．整式加减的应用
例6 如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光？
解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b，长为a＋，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；(2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为的圆的面积；(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．
解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2；
(2)窗帘的面积是π()2＝πb2；
(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.
方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．
五、尝试练习，掌握新知
课本P75练习第1～5题．
《探究在线·高效课堂》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了：
(1)整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合．
(2)整式的加减的一般步骤： ①如果有括号，那么先去括号．②如果有同类项，则合并同类项．
(3)求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便．
七、深化练习，巩固新知
课本P76习题2.2第3、6、7题．
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