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第九章 9.1.1不等式及其解集
知识点1:不等式的概念
用符号“<”(或“≤”)“>”(或“≥”)“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式.
知识点2:不等式的解
一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解.如x=-2、x=-1、x=- 都是不等式x-1<1的解.
注意:一元一次不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,一元一次方程的解只有唯一一个,而一元一次不等式的解可能不止一个.
知识点3:不等式的解集
1.不等式的解的全体称为这个不等式的解集.如x<是不等式x-1<1的解集.
2.解不等式:求不等式解集的过程,叫做解不等式.
3.不等式解集的表示方法:一般来说,表示不等式解集有“不等式法”和“数轴法”两种,“不等式法”简便易行,“数轴法”直观明确,在不加要求的前提下,一般用“不等式法”,有时一些题目中也要求“并在数轴上表示”.
(1)不等式法:一般地,一个含有未知数的不等式的解有无数多个,其解集是一个范围,这个范围可以用最简单的不等式来表示.
如不等式x-2≤6的解集为x≤8.这种表示方法叫做不等式法.
(2)数轴法:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无数个解.
注意:只要能使不等式成立的未知数的值都是不等式的解,不等式的解一般有无数个,这无数个未知数的值组成不等式的解集,因此不等式的解集一般是一个范围,而不是一个具体的值,但如果一个范围不包括所有未知数的值,那么这个范围也不是不等式的解集.
知识点4:一元一次不等式
含有一个未知数,并且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式.
注意:一元一次不等式必须是经过化简后含有一个未知数,且未知数的次数是一.
考点:用不等式表示实际问题中的数量关系
【例】 某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过10 m3,则每立方米收费1.6元;若每户用水超过10 m3,则超过的部分每立方米收费3元.小明家某月的水费不少于25元,他家这个月的用水量最少是多少?只列出不等式.
解:设他家这个月的用水量为x m3,则1.6×10+3(x-10)≥25.
点拨：设他家这个月的用水量为x m3,则由“小明家某月的水费不少于25元”知,他家这个月的用水量超过了10 m3,其中10 m3收费1.6×10元,其余部分收费3(x-10)元,所以小明家这个月共交水费[1.6×10+3(x-10)]元.
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