中考数学 第21讲 与圆有关的位置复习教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级全册数学教案.doc

课题：第21讲 与圆有关的位置
教学目标：
1．了解点与圆、直线与圆的位置关系．
2．了解三角形的内心和外心,会用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆．
3．了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
4．了解切线长定理并会简单运用．
教学重点与难点：
重点：能运用点与圆、直线与圆的位置关系及切线的性质定理解决相关问题；能判定一条直线是否为圆的切线．
难点：运用圆的有关知识解决综合问题.
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，知识梳理
导语：同学们，爱因斯坦曾经说过“人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多”．通过上一讲的复习，我们进一步了解了圆及其有关概念，知道了弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系．那么你知道下面各题又考察了圆的哪方面的知识吗？先做一做，再与同伴交流．
活动内容：回答下列问题.（多媒体展示）
1．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径是 ．
2．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ．
参考答案：1．4或6；2．相切．
处理方式：教师用多媒体展示初中数学知识树，并提出相关问题．学生边观看，边思考，边采用抢答的形式回答，回答时教师引导学生分析考点及相关的知识，对点与圆、直线与圆的位置关系、切线的性质定理及判定方法进行复习，完成知识建构．教师顺势导入本节课要复习的内容．
引导性问题举例：
（1）点与圆的位置关系有几种？如何判定点与圆的位置关系？
（2）直线与圆的位置关系有几种？如何判定直线与圆的位置关系？你有几种方法？
（3）什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？如何判定直线是圆的切线？你有几种方法？
（4）从圆外点可以引几条切线？它们有什么特点？
多媒体展示：
（1）点与圆的位置关系：
设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
点在圆内d r；
点在圆上d r；
点在圆外d r.
位置关系数量关系.
（2）直线与圆的位置关系：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么:
直线l与⊙O相交d r；
直线l与⊙O相切d r；
直线l与⊙O相离d r.
位置关系数量关系.
（3）切线的性质：圆的切线 于过切点的 ；圆的切线的判别：过半径的 且 于半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：①交点个数；②圆心O到直线l的距离d与半径的大小关系；
③定理：经过直径的 ,并且 于这条直径的直线是圆的切线.
（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
设计意图：本环节的安排在于让学生对与圆有关的位置有个整体的认识，便于体会知识间的内在联系．让学生在做题中回顾知识点，借助图形的一步步演变，一方面不显得枯燥无味，另一方面，为下面例题中的应用打下坚实的基础．同学间交流查漏补缺，从而提高了课堂效率．
二、考点剖析，应用升华
知识点一：切线的性质
例1 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为 ．
处理方式：先给学生10秒钟时间理解本题的条件与要求，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键.学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是正方形，可得出OD=CE=OE=CD，从而得出CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．
【简评】本题考查了切线的性质、相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．
知识点二：切线的判定
例2 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【解析】（1）①连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，（2）由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
【参考解答过程】解：（1）①如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC===8，
②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=AB=×10=5（cm）；
（2）直线PC与⊙O相切，理由：如图2，连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，
∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，∴OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．

图1 图2
【总结】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．．
知识点三：切线长定理
例3 如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
【思路点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【尝试解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，
∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切．
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得x=6，即BE=6．
【简评】（1）证明直线是圆的切线常用的方法有：①切点和半径已知型，则“有半径，证垂直”；②切点已知型，则“连半径，证垂直”；③切点未知型，则“作垂直，证半径”.凡遇到圆的切线问题时，常“遇切点，连半径，得垂直”，寻找解题途径.(2)适当设出未知数，运用代数的方程思想，也是解决几何问题的一种常用方法.
设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一是让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.二是让学生明确圆在中考中考查的方式(一般以计算或证明的形式及与圆有关的应用题、阅读理解题),只有将知识融会贯通，举一反三，才能学有所乐，学有所成．
三、拓展延伸，综合应用
1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，点D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为 ．

第1题 第2题
2．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：①当DP=　　 cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=　　 cm时，四边形AOBD是正方形．
【问题1解析】连接DI，FI，根据圆周角定理求得∠DIF，再根据四边形的内角和定理和切线的性质求得∠A的度数．
【参考解答】连接DI，FI，∵∠DEF=52°，
∴∠DIF=104°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，
∴∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A=360°-90°-90°-104°=76°．
故答案为76°．
【问题2解析】（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．②要使四边形AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，所以DP=OP﹣1．
【参考解答】解：（1）连接OA，AC，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，
在RT△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，∴∠ACP=30°，
∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP，∴△ACP是等腰三角形．
（2）①1，②．
【方法总结】本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．
四、归纳升华，反思提高
这节课我们一起回顾了哪些知识？现在你又有了哪些新的收获？
（教师引导学生总结本节课的知识体系）
设计意图：反思是重要的学习方式，能够帮助学生从整体上理顺知识间的联系，提升解决问题的策略，丰富学生的经验.
六、达标检测，反馈提高
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 .

第1题 第2题
2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

第3题 第4题
选做题：
4．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 　．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：落实基础，结合激励性评价，检测学生本节课学习的达成度，为后续的复习提升做准备.
七、布置作业，拓展提高
必做题：复习丛书 第131页 第15题．
选做题：复习丛书 第132页 第17题．
设计意图：分层布置作业，让能力不同的每个学生都能各有所得，全面提高．

板书设计:
第21讲 与圆有关的位置
基础练习：
考点解析：
例1

例2

例3

拓展：

多
媒
体
展
示
区
学生板演区