资源描述
课题：第二十二讲 与圆有关的计算
教学目标：
1．会计算弧长及扇形的面积．
2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形．
教学重点与难点：
重点：掌握弧长及扇形的面积的面积公式．
难点：灵活运用弧长及扇形的面积的面积公式进行有关计算.
课前准备：课件、导学案
教学过程：
教学过程：
一、中考调研，考情播报
活动内容：（多媒体出示复习目标）
1．会计算弧长及扇形的面积．
2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形．
处理方式：利用多媒体出示复习目标．
设计意图：在这一环节中，通过目标的揭示，让学生明确了复习内容和要求，为本节课的复习指明了方向．
二、基础梳理，考点扫描
活动内容：（复习导学案出示回顾内容）
考点一 正多边形
1．正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形．利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆；正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．对称性：
①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角．
考点二 弧长及扇形的面积
1. 弧长公式：（其中l为n°的圆心角所对的弧长）
2. 扇形的面积公式：
考点三 求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法
(1)公式法； (2)割补法 ；(3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法；
考点四 图形的变换
在图形的翻（旋）转、滚动、翻折中求弧长或面积
考点五 圆的计算的综合应用
求弧长、求面积以及与函数有关的综合题
设计意图:这一节课的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此通过“导学案”形式让学生在上课之前回顾整理相关知识，这样既节省时间又培养了学生自主学习的习惯．
三、典例分析，导练结合
活动内容1：（多媒体出示）
考点一：正多边形
例1 如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．
处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考查知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对正多边形的有关知识有更深层次的理解和认识，从而实现由理解到应用的质的跨越．
跟踪训练：
1． (2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( )
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．
A．36° B．60° C．72° D．108°
活动内容2：（多媒体出示）
考点二 弧长及扇形的面积
例2 （1） 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若=120°，OC=3，则的长为（ ）
A. B.2 C.3 D.5
（2）在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为____ .
处理方式：对于（1）中求弧长，让学生讨论交流怎么办？需要加什么辅助线？教师不要直接给出做法，要适时引导，然后师生共同总结办法．（2）中线段AB扫过的面积是什么图形？让学生去发现方法．
设计意图：圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式是求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键；要善于利用数形结合思想画出图形利用公式求解．
跟踪训练：
(1) 在半径为6cm的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留π)
(2) 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（结果保留π）
处理方式：由两名学生板演，其余学生在导学案上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评．
设计意图：通过巩固训练题组的处理，促使学生将所学知识加以应用，在应用中加深对知识的理解．
活动内容3：（多媒体出示）
考点三 求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法
例3 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30A
B
D
C
O
E
°，CD＝ ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
处理方式：由于题目中的图形不是规则图形，因此要将该图形的面积转化成易求的规则图形来解决，让学生思考：怎样添加辅助线来达到转化的目的？动员学生先尝试解决，然后交流．
设计意图：圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．
跟踪训练：
1.如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，
则（1）BD的长是 ; （2）求阴影部分的面积．
2.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是______（结果保留π）．
A
O
B
D
C
处理方式：由两名学生板演，其余学生在导学案上完成，完成后师生共评．
设计意图：通过巩固训练题组的练习，使学生加深对该知识点的理解和掌握．
活动内容4：（多媒体出示）
考点四 图形的变换
例4 （1）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．
A
B
C
O
D
（2）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了 （ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
处理方式：由学生先分析确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度，第（2）题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大，教师要引导学生动手操作一下，正确答案就出来了．
设计意图：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.
跟踪训练：
A
B
C
（1）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为 （ ）
A．10π B． C．π D．π
（2）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
处理方式：要求学生独立完成，但教师要视情况个别辅导．
设计意图：第（1）题考查的知识点有网格中的勾股定理求AC,第（2）题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
活动内容5：（多媒体出示）
考点五 圆的计算的综合应用
例5 如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F．
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
处理方式：教师要引导学生添加正确的辅助线，同时学会转化求阴影部分的面积．
设计意图：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
四、回顾反思，提炼升华
经过本节课的回顾与复习,你对这部分知识是否有了新的认识?你还存在哪些困惑?和你的同桌交流一下．
处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂实践的经历、感受和收获，然后找2—3名学生尝试谈谈自己的收获．
设计意图：教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力．
五、达标检测，反馈提高
活动内容：课堂检测（出示多媒体）
1．如图，将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动)，点B从开始到结束，所经过路径的长度为( )
A．π cm B．(2＋π) cm C．π cm D．3 cm
2．(2014·黔西南州)如图，点B，C，D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B＝∠A＝30°，BD＝2.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由线段AC，AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)
处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．
设计意图：检验学生对本节所复习到的知识的理解能力和运用程度．
六、布置作业 课后促学
《初中复习指导丛书》
强化训练126—128题
板书设计
第二十二讲 与圆有关的计算
1．基础梳理，考点扫描
2．典例分析，导练结合
考点一：正多边形
考点二：弧长及扇形的面积
考点三 ：求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法
考点四：图形的变换
考点五：圆的计算的综合应用
投 影 区
学 生 活 动 区
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