1、第20讲 圆的有关性质 考试要求:1.理解圆与圆的有关概念,了解弧、弦、圆心角之间的关系.2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.教学重点与难点:重点:理解圆心角,弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系,掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论,并能利用它们进行证明和计算难点:应用垂径定理、圆周角与圆心角的关系定理进行证明和计算教学过程:一、回眸要点,夯实基础要求:时间:5分钟;先独立填空,然后小组内交流纠错、讲解、补充1.圆的有关概念(1)圆上任意两点间的部分叫弧,_的弧叫优弧,_的弧称为劣弧.(2)_的线段叫做弦,经过圆心的
2、弦叫做直径.(3)_的角叫做圆心角;顶点在圆上且两边_的角叫做圆周角.【老师提醒:在一个圆中,圆 决定圆的 半径决定圆的 ;直径是圆中 的弦,弦不一定是直径】2.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,其对称轴是_ ;(2)圆是中心对称图形,其对称中心是_.3.垂径定理及推论 垂径定理:垂直于弦的直径_弦,并且平分_.推论:平分弦(不是直径)的直径_这条弦,并且平分_.【老师提醒:(1)垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用(2)圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线;(3)垂径定理常
3、用作计算,在半径、弦和弦心距中已知两个可求另外一个】4.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等如图所示:AB,CD是O的两条弦,OE,OF为AB,CD的弦心距,根据圆心角,弧,弦和弦心距之间的关系定理填空:(1)如果AB=CD,那么_, _, _;(2)如果OE=OF,那么_, _, _;(3)如果=,那么_, _, _老师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合.注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”;特别注意一条弦是对应两条弧的.5.圆周
4、角定理及推论(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的_,如图,ACB=_;(2)推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_,直径所对的圆周角是_,90的圆周角所对的弦是_,所对的弧是_.【老师提醒:在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有 个,它们的关系是 ;作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线】6.确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .处理方式:先小组合作交流,再小组汇报,生生互动、师生互动,纠错完善,让学生适当举例说明,加强对知识的理解,为题组训练奠定基石.【设计意
5、图】以问题串的方式帮助学生回顾本章的内容,为后面的题组训练打好基础,让学生掌握课堂的主动权,以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性帮助学生更好的掌握本节知识二、题组训练,巩固提高 活动内容【题组一】垂径定理及推论例1如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M,下列结论不成立的是【 】A CM=DM B CACD=ADC DOM=MD 处理方式:先小组合作交流,再小组汇报,生生互动、师生互动,纠错完善.让学生明白垂径定理,弦、弧和圆心角的关系,全等三角形的判定和性质. AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M, M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立; B为的中点,即,选项B成立; 在ACM
6、和ADM中,AM=AM,AMC=AMD=90,CM=DM, ACMADM(SAS),ACD=ADC,选项C成立. 而OM与MD不一定相等,选项D不成立.答案: D.【跟踪练习】1.如图,在半径为13的O中,OC垂直弦AB于点,交O于点C,AB=24,则CD的长是 2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm3.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若AB的长为8cm,则图中阴影部分的面积为cm2第1题图第2题图第3题图8mm【题组二】圆周角定理 例2 (201
7、2湖北襄阳)ABC为O的内接三角形,若AOC=160,则ABC的度数是【 】A80 B160 C100 D80或100(友情提示:本题是考查圆周角定理的一个基本题目,利用了分类讨论的数学思想.画出图形后只要掌握住圆周角和圆心角的关系,一般不会出错,但这类题目也是中考命题中高频率的题目.答案:D)处理方式:先小组合作交流,再小组汇报,生生互动、师生互动,纠错完善.让学生根据题意分析图形,由圆周角定理及圆的内接四边四边形性质易发现成立.在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,但所对的圆周角有两个且互为补角.注意运用分类讨论的思想解题. 例3 (2012广东梅州)如图,AC是O的直径,弦BD交AC于点E
8、(1)求证:ADEBCE;(2)如果AD2=AEAC,求证:CD=CB处理方式:先小组合作交流,再小组汇报,生生互动、师生互动,纠错完善.让学生理解圆周角定理,对顶角的性质,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线上点的性质(1)由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得A=B,又由对顶角相等,可证得:ADEBCE.(2)由AD2=AEAC,可得,又由A是公共角,可证得ADEACD,又由AC是O的直径,可求得ACBD,由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB.(规范学生解题步骤,多媒体出示)证明:(1)A与B都是弧所对的圆周角,A=B又AED =BEC,ADEBC
9、E(2)AD2=AEAC,.又A=A,ADEACD.AED=ADC.又AC是O的直径,ADC=90.AED=90.直径ACBD,CD=CB.【设计意图】判定两个三角形相似的常规思路:先找两对对应角相等;若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则可考虑相似三角形的“传递性”.本题结合圆周角定理较易证明第1问,在证明等积式成立时,可将等积式转化为比例式,再证明两三角形相似. 【跟踪练习】1.如下图,A、B、C是O上的三个点,ABC=25,则AOC的度数是 2.如下图,AD,AC分别是O的直径和弦且CAD=30OBAD,交AC于点B
10、若OB=5,则BC的长等于 .3. 如图,ABC是O的内接三角形,AC是O的直径,C=50,ABC的平分线BD交O于点D,则BAD的度数是【 】第1题图第2题图第3题图A45 B85 C90 D95 处理方式:先小组合作交流,请同学们独立完成上面3题,完成后互相校对你们的结果. 解题后,交流校对,并更正错误. 【答案】:1.0 2. 3.【题组三】综合应用 例4 (2012浙江台州)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为 厘米处理方式:先小组合作交流,再小组汇报,生生互动、师生互动,纠错完善.1:如右图,过球心O作IGBC,分别交BC、
11、AD、劣弧于点G、H、I,连接OF.设OH=x,HI=y,则依题意,根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质,得解得球的半径为xy=10(厘米).2:我的方法比他更简单.如图,过球心O作IGBC,分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I,连接OF,则.设OH=x,则=,则由题意得 ,解的.球的半径为(厘米). 处理方式:先小组合作交流,请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路,并让一名学生在黑板上板演,然后师生评判纠错完善.跟踪练习(2012枣庄)如图,直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧A优弧上一点,则cosOBC 的值为【 】A B C D 师:相信同学们能独立完成
12、上面的题目,等待你们的精彩展示哟! 【学生活动】认真审题、解答、展示交流 生1:如右图,连接、,由题意可知=5,即为等边三角形,OBC=OAC=60 =30, cosOBC = 生2:刚才的方法不错,我的方法更妙如右图,连接CA并延长交圆与点D,在RtOCD中,由C(0,5)OC=5 又CD=10,故ODC=30OBC=30cosOBC =. 师:这两位同学添加不同的辅助线,实现了问题的精彩转化,很棒! 此时教室里不约而同的响起了掌声 【答案】B处理方式:先小组合作交流,请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路,并让一名学生在黑板上板演,然后师生评判纠错完善.【设计意图】紧扣近年学业考
13、试中圆的重要考点,利用三个题组训练,对圆心角,弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系,垂径定理深入分析和探讨,巩固了知识要点,例题和练习题由学生来做来展示,在很大程度上提高了学生复习的积极性,而且容易发现解题过程中出现的错误,对错误印象比较深刻,对提高几何能力和探究能力有帮助,同时训练学生的思维敏捷性和解题的规范性.三、诱导反思,归纳总结师:(放幻灯片)下面请同学们看着圆的有关概念和性质知识结构图回顾这节课,你有哪些收获?还有哪些困惑?还想进一步研究的问题是什么?想一想,说一说 【学生】本节课我的收获有我还有一些困惑的地方通过刚才的过程,你有什么收获? 1:处理此类问题时,要将生活问题数学化,利用数
14、学知识解决. 2:做题时要勇于探索,比如此题设了未知数,利用列方程(组)的代数方法处理问题. 处理方式:学生总结反思自己的所学所得,畅谈收获,拾遗补缺【设计意图】利用知识结构图的直观作用,让学生积极思考、大胆发言、交流,使学生养成勤于思考、善于总结的良好习惯,听听学生的感悟、体会,以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况. 在与同学交流的过程中,增强与他人合作的意识四、限时训练,当堂达标师:前面同学们合作共进,收获颇丰,是否达到了本课的复习目标呢?请在8分钟内完成!达标检测.(1、2、3、6为必做题,4、5为选做题)1.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则
15、AED的正切值等于_2.如图,C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上一点,BMO=120,则C的半径长为【 】 A6 B5 C3 D1题图2题图3题图4题图3.如图,两个同心圆的半径分别为4cm和5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为【 】 A3cm B4cm C6cm D8cm4.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第35秒时,点E在量角器上对应的读数是 度5.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支
16、架(如图1),若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm6.如图,已知AB是O的弦,OB=2,B=30,C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交O于点D,连接AD.(1)弦长AB=_(结果保留根号);(2)当D=20时,求BOD的度数;(3)当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.处理方式:在学案上自主完成,精力集中、投入专注,象考试一般.【设计意图】必做题,要求学生在8分钟内完成.选取中考题作为课堂检测,规定时间和内容,一方面可以了
17、解学生对本节课所复习内容的掌握情况,同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力.更能让学生体验解决中考题的快乐和成功感,每一道小题都各有目的,从不同的侧面考查了这章的知识点,从学生的完成情况来看,效果很好,都能在规定的时间内完成,且准确率较高选做题,是为学有余力的同学准备的,让不同的学生有不同的发展,以便于对学生进行因材施教分类推进,让优生能吃得饱,学得好,能力最大限度的提高.五、布置作业,课堂延伸A组:复习指导丛书 117页118页 第1、2、10、11题B组:复习指导丛书 119120页 第10、12题【设计意图】复习课后分层布置作业,让不同程度的学生有不同的收获;一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况,同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力,提高应试能力板书设计:第20讲 圆的有关概念和性质例1例2例3例4投影区学生板演区