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函数考点与2006年高考题

函数是高中数学的重要内容，在高考试卷中，它可以独立命题，也可以函数为载体，综合其它数学知识，构筑成知识网络型代数推理题．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题。
[考点精析]
1．高考对函数概念与函数性质的考查侧重以下几个方面：
(1)考查求函数的定义域、值域及反函数，这类题型直接通过具体问题(几何问题或应用问题)找出函数关系，再研究函数的定义域、值域或反函数；
(2)以基础层次或中档难度的试题考查函数图象，特别是图象的平移、对称及伸缩变换，近几年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点；
(3)以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，如利用函数性质比较函数值的大小，求函数值，解不等式或求二次函数的最值问题，同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题；
2．函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出模型函数．
3．近几年，为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．
4．纵观历年的高考试题，以“二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程以及二次曲线构筑成综合解答题，这类试题立意新颖、知识覆盖面广、灵活机动性强，对各种能力和思想方法要求较高，并且常考常新，在高考试题中出现的频率相当高．
5．以函数为主线的联系实际的应用问题正是近几年高考的热点和重点题型，尤其是应用分段函数、一元二次函数等知识综合解答实际问题．
[应试对策]
1．应充分注意函数的图象题型，这类考题不仅在选择题中出现，而且在解答题中也会涉及到．所以要会处理“读图题型”和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解题，强化数形结合方法的运用，注意利用函数图形讨论方程根的分布及不等式的解集等应用性问题，充分体现图象在解题中的作用．
2.以对数函数为载体，围绕二次函数、二次不等式来考查对数不等式、数(式)的大小比较等问题，特别应注意用等价转化策略把对数问题转化为代数混合组来分类处理．
3．函数是高中数学的重要内容，它是一条纽带，以函数为载体，以不等式、方程、数列交叉汇合处为主干，把中学数学各个分支紧紧地联系在一起．因此，以函数为纲的命题原则不会改变，会构筑解题目标与已知条件之间的跨度大，题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象的高考的热点题型．
[2006年高考试题评析]
知识点一：函数定义域问题
例1 (06湖北理)f(x)=lg，则f()+f()的定义域为( )．
A.(一4，0)U(0，4) B.(一4，一1)U(1，4)
C.(一2，一1)U(1，2) D.(一4，一2)U(2，4)
解：f()=lg=lg>0=>(x+4)(x-4)<0=>-4<x<4
由f()=lg=lg>0=>(x+1)(x-1)>0=>x<-1或x>1
则f()+f()的定义域为一4<x<一1或1<x<4，故选B
评析：函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合，但实际问题的定义 域必须具有实际意义，往往具有隐蔽性，对含参数的函数定义域必须对字母参数分类讨论．所 以在研究这些问题时，必须树立“定义域优先”的原则．
知识点二：集合与二次函数网络综合问题
例2 (06年全国Ⅱ文)设a∈R，函数f(x)＝ax2—2x一2a．设不等式f(x)>0的解集为
A，又知集合B＝{x|1<x<3}，A∩B≠ø，求a 的取值范围．
解：由f(x)为二次函数知a≠0．
令f(x)＝0解得其两根为
X1=-,x2=+
由此可知x1<0，x2>0．
①当a>O时，A＝{x|x<x1}U{x|x>x2}．
A∩B≠ø的充要条件是x2<3，
即+<3，解得a>
②当a<O时，A＝{x|x1<x<x2}，
A∩B≠ø的充要条件是x2>1，
即+>1，解得a<一2．
综上，使A∩B≠ø成立的a的取值范围为(一∞，一2)U(，+∞)．
评析：此题把函数、集合、不等式的解法、充要条件等知识综合在一起进行综合考查．是基础性与综合性的较好表现形式，也考查了分类讨论的思想方法．
知识点三：“三个二次”问题
例3 (06浙江理)设．f(x)＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：
(1)一2< <一1；
(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．
(证略)
评析：以“三个二次”为载体，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，是颇难解决的重点问题．
知识点四：指、对数函数的性质问题
例4 (06重庆理)设a>0，a≠1，函数f(x)＝a有最大值，则不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为___________ ．
解：∵x2—2x+3＝(x-1)2+2≥2，而函数f(x)有最大值，∴O<a<1．
∴0<x2一5x+7<1，解此不等式得2<x<3，
loga(x2一5x+7)>0的解集为{x|2<x<3}．
评析：解有关对数函数问题，注意讨论对数函数底的变化范围是首要的，比如此例，判断 O<a<l是解题最关键步骤．
例5 (06年山东理)设f(x)＝{2e,x<2 log3(x2-1),x≥2则不等式f(x)>2的解集 为( )．
A．(1，2)U(3，+∞) B．(，+∞)
C．(1，2)U(，+∞) D．(1，2)
解：当x<2时，2e>2=> e>1=>x-1>0=>x>1,所以l<x<2；
当x≥2时，log3(x2-1)>2=>x2-1>32
=>x>或 x<-,所以x>
故选C
评析：函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查或利用函数单调性的试题屡见不鲜，即可以考察用定义判断函数的单调性，用反例否定函数是单调函数．
知识点五：函数的图象问题
例6 (06年重庆文)设函数y＝f(x)的反函数为y＝f-1(x)，且y＝f(2x-1)的图象过点， 1)，则y＝f-1(x)的图象经过点( )．
A.( ，1) B.(1，) C.(1，0) D(0，1)
解：由题意，原函数图象过(0，1)点，则其反函数图象必过(1，0)，故选C
评析：这是一道知图选式型函数图象问题，考查原函数与其反函数关于直线y＝x对称以及原函数与其反函数点的关系，通过对图象的识别来考查反函数的性质．
例7 (06年山东理)函数y＝1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是( )．

解：函数y＝1+ax的反函数为y=loga(x-1)，其图象由y＝loga x(0<a<1)的图象向右平移一个单位得到，观察所给图象，选择支A满足题意，故选A．
评析：由于近年来高考试题加强了数形结合思想的考查，最明显的是高考试卷中函数图象考题明显增多，所以要以几类基本初等函数的图象为载体来综合考查函数的图象，理解掌握常见的图象平移、对称及伸缩变换等．
例8 (06江西理)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示，已知该年的平均气温为10℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )．
解：由C(t)的含义和图象知，当t=6时，
C(t)＝0，排除C；t＝12时，C(t)＝10，排除
D；t在大于6时的某一段气温超过10，所以排
除B，故选A的．
评析：函数图象是函数的直观体现，图象中
有非常多的信息量，比如定义域、值域、最值、单调性等．图象信息选择题解法灵活，是拉开分数档次的一种重要题型，也是近几年高考命题的一个热点．因此，以数形结合为切入点，化难为易，让抽象的问题转化得直观明白，要从所给定的函数图象中读取各种信息，注意函数的对称性、函数值的变化趋势．
知识点六：函数最值问题
例9 (06江苏)设a为实数，记函数f(x)＝a++的最大值为g(a)．
(I)设t＝+，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；
(Ⅱ)求g(a)；
(Ⅲ)试求满足g(a)=g()的所有实数a．
(解略)
评析：求函数的最值与求函数的值域密切相关，因此求函数值域的方法，也是求函数最值常用的方法。本题主要考查函数的图象及基本性质、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
知识点七：函数与方程综合问题
例10 (06年福建(高职))定义“不动点”：对于函数f(x)，若存在x。∈R，使f(x0)＝x0则称x0是f(x)的不动点，已知函数f(x)=x2+(b+1)x+(2b-3)．
(1)当b＝0时，求函数f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)有两个不同的不动点，求实数b的取值范围．
解：(1)当b＝0时，f(x)= x2+x-3，
由题意知f(x)的不动点满足x2+x-3＝x，即．x2—3＝0，解得x＝士，
所以，当b=0时，f(x)有两个不动点-和
(2)∵f(x)= x2+(b+1)x+(2b一3)有两个不同的不动点，
∴x= x2+(b+1)x十(2b—3)有两个不相等的实根，
即x2+bx+(2b一3)=0有两个不相等的实根，
　　 ∴△＝b2一4(2b一3)>0，即b2-8b+12>0，
解得b>6或b<2，
∴函数f(x)有两个不同的不动点时，实数b的取值范围为b>6或b<2．
评析：函数“不动点”实质上就是对应方程的根，这样，函数与方程这二者就有机地结合在一起．此题也属于信息迁移题，读懂题意，把新概念理解消化是解题关键．
知识点八：分段函数问题
例11 (06安徽理)已知函数．f(x)在R上有定义，对任何实数a>o和任何实数x，都有f(ax)＝af(x)，
(1)证明f(0)＝0：
(2)证明f(x)＝其中k和h均为常数；(证略)
评析：解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论．本考题主要考查了分段函数的表示方法，函数的值域求法以及分段讨论数学思想方法．
知识点九：抽象函数问题
例12 (06年重庆理)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)一x2十x)=f(x)一x2十x
(1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x。，使得f(x。)＝xo，求函数f(x)的解析表达式．(解略)
评析：我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数．由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻．解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即可以赋予恰当的数值，经过运算与推理，最后得出结论．此题还侧重考查了函数与方程思想方法．
荐自＜上海中学数学＞2006/10